完美數

完美數(perfect number，又稱完全數)指，它所有的真因子(即除了自身以外的因子)和，恰好等于它自身。

第一個完美數：6，

第二個完美數：28，

第三個完美數：496，

第四個完美數：8128，

第五個完美數：33550336,

.......

2 探索

在茫茫數海中，第五個完美數(33550336)要大得多，居然藏在千萬位數的深處！它在十五世紀被人們發現，計算機問世后，借助這一有力工具，數論愛好者們繼續探索。

笛卡爾曾公開預言：“能找出的完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。”

時至今日，人們一直沒有發現有奇完美數的存在。于是是否存在奇完美數成為數論中的一大難題。只知道即便有，這個數也是非常之大，并且需要滿足一系列苛刻的條件。

經過不少數學家研究，到2013年為止，一共找到了48個完美數。

3 有趣性質

1. 目前發現的完美數都是以6或8結尾，會不會有奇完全數存在？如果存在，它必須大于10^300，至今無人能回答這些問題。

2. 所有的完美數都是三角形數。例如：6=1+2+3

28=1+2+3+...+6+7

8128=1+2+3…+126+127

3. 所有完美數的倒數都是調和數。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

4. 可以表示成連續奇立方數之和。除6以外的完全數，都可以表示成連續奇立方數之和，并規律式增加。例如：28=13+3^3

496=1^3+3^3+5^3+7^3

8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3

33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

4 判斷

如何判斷是為否完美數呢？在計算機數值型可以表達的的范圍內，我們可以嘗試找一找。

這是一道leetcode題(No.507)，我前段時間寫過一個解，在leetcode平臺上已通過：class Solution:

def checkPerfectNumber(self, num: int) -> bool:

sum = 1

tmp = num

if num == 0 or num==1:

return False

while num%2 == 0:

num /= 2

sum += num+tmp/num

return sum==tmp

已知完美數都以6或8結尾，所以才有了上面的方法，注意這不是尋找一個數所有因子的方法。使用6或8結尾這個小trick，實現更高效（ > 95.26%），但不嚴謹。

很遺憾，今天我發現這是一個錯誤的解法，雖然在Leetcode上已經通過。原因如下，我們試圖打印盡可能多的完美數：import sys

if __name__ == "__main__":

s = Solution()

i,j = 0,0

while(i

isPerfect = s.checkPerfectNumber(i)

if isPerfect is True:

j+=1

print("第%d個完美數: %d"%(j,i))

i+=1

第1個完美數: 6

第2個完美數: 28

第3個完美數: 120

第4個完美數: 496

第5個完美數: 2016

第6個完美數: 8128

第7個完美數: 32640

第8個完美數: 130816

第9個完美數: 523776

第10個完美數: 2096128

很明顯，120不是一個完美數，因此，可以確定Leetcode平臺遺漏了這些cases，已經將此問題提交到Leetocode，如下所示：

5 正解

如果遍歷所有的小于num的數，check是否為其因子，時間復雜度為o(n),在平臺上提交會超時。

一種更好的解法，時間復雜度為O(sqrt(n)), 因為num的兩個因子：num_i和num_j，假設num_i < num_j ，則 num_i 的最大值為 sqrt(num), 所以我們只需要遍歷到sqrt(num)即可。

代碼如下：class Solution:

def checkPerfectNumber(self, num: int) -> bool:

if num <= 0:

return False

i, sum = 1, 0

while i*i <= num:

if num % i == 0:

sum += i

if i*i != num:

sum += num / i

i += 1

return sum - num == num

6 更多完美數

6. 8,589,869,056

7. 137,438,691,328

8. 2,305,843,008,139,952,128

9. 2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176

10. 191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216

11. 13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128

12. 14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128

……

……

47 ……2^42643800 X (2^42643801-1)

48 ……2^57885160 X (2^57885161-1)

由于后面數字位數較多，例子只列到12個，第13個有314位。

到第39個完全數有25674127位數，據估計它以四號字打出時需要一本字典大小的書。

推薦閱讀：

點個好看

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python判断是否为完全数_Python识别完美数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。