VSLAM中特征點的參數化表示有很多，最直接的是用三維坐標XYZ來表示，但通常大家更喜歡用逆深度表示，因為逆深度優勢在于能夠建模無窮遠點。Open VINS文檔中給出了五種特征參數化表示：Global XYZ，Global Inverse Depth，Anchored XYZ，Anchored Inverse Depth，Anchored Inverse Depth (MSCKF Version)，區別在于：

• Global vs Anchored：特征點的表示是全局坐標系的坐標還是局部相機坐標系的坐標。
• XYZ vs Inverse Depth：使用的XYZ還是逆深度
• Two different Inverse Depth：兩種不同類型的逆深度參數

特征的參數化表示即以何種方式表示特征點的位置，在優化中它決定了特征以何種參數進行的迭代更新

，在EKF中它決定了以何種參數構建高斯模型。不論在優化還是EKF中，我們關心的都是特征在圖像上的投影與特征參數之間的關系（Jacobian）。

本文理論推導全部參考Open VINS，感興趣的可以直接閱讀原版，鏈接如下：

Measurement Update Derivations " Camera Measurement Update?docs.openvins.com

1. 特征點重投影過程

設k時刻特征在圖像上的投影為

，特征參數為，特征參數到圖像投影的轉換過程為：

特征參數轉換為特征點的全局坐標：

特征點的全局坐標轉到觀測相機坐標系：

相機坐標系投影到normalize平面：

normalize平面轉到圖像平面：

根據鏈式法則有：

下面分別計算每一步的轉換關系及Jacobian。

a. normalize平面轉到圖像平面

對于Normalize平面上的觀測點

，先畸變得到畸變觀測點，再通過內參矩陣轉成圖像平面上的觀測點 。

轉換關系：

• 對于Radial畸變模型：

• 對于Fisheye畸變模型：

Jacobian：

• 對于Radial畸變模型：
• 對于Fisheye畸變模型：

b. 透視投影

轉換關系：

Jacobian：

c. 剛性變換

轉換關系：

Jacobian：

2. 特征參數表示

針對不同的特征參數表示

，都先將其轉換成世界系下的XYZ，即，再投影到圖像上。這樣做的好處在于到的轉換關系和Jacobian保持不變，只需要構造不同的并推導，就能很方便求得與的關系。

a. Global vs Anchored

Global XYZ表示為：

，很容易寫出Jacobian為：

Anchored XYZ表示選擇某個相機坐標系作為Anbchor坐標系

，用特征在下的位置作為參數表示，Anchored XYZ的表示為：，很容易寫出Jacobian為：

值得一提的是參考文檔中將世界系中的相機位姿拆分成了IMU位姿以及相機到IMU的外參，這樣是為了分別對IMU位姿和相機外參求Jacobian，這里只討論了對特征點的Jacobian，所以未進行拆分。

b. 球坐標逆深度 vs MSCKF逆深度

逆深度顧名思義是用

作為特征參數，根據逆深度和一個單位方向向量(baering)共同確定3D空間中的一個點：

逆深度的好處是能夠表示無窮遠點(

)，當特征點較遠時， 數值比較大，直接估計 會存在數值問題，此外，有論文覺得將逆深度建模成高斯分布 比直接將深度建模成高斯分布 效果要更好。

單位方向向量

的構造有兩種，一種是《Inverse Depth Parametrization for Monocular SLAM》中提出的球坐標表示，另一種是《 A multi-state constraint kalman filter for vision-aided inertial navigation》（MSCKF）中提出的表示。

• 球坐標表示：

• MSCKF表示：

可以看到MSCKF的

表示比球坐標表示要簡潔得多，但MSCKF逆深度有個缺點是當時，，存在數值奇異，所以只能用在相機坐標系，因為相機系下特征點的深度都大于0。而球坐標逆深度僅在都趨近于0時才存在數值奇異，所以能用在全局坐標系。

將Achored和逆深度結合起來得到Anchored逆深度表示：

總結

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