??在進入正式話題之前需要引入四個概念：穩態誤差、終值定理、幅角條件和系統穩定的充要條件。
穩態誤差：系統達到穩定狀態后，系統的實際輸出量與系統希望的輸出量之間的偏差。
終值定理：設有連續函數$f(t)$，當t趨于無窮時，$f(t)$的極限存在，則有

其中。$F(s)$是$f(t)$經過拉普拉斯變換后的函數，即

幅角條件
??零點到根的夾角和與極點到根的夾角和是 $180°$ 的倍數。$\phi$表示極點，$\theta$表示零點

系統穩定的充要條件：閉環傳遞函數的極點位于$s$的左半平面。對于某個系統的傳遞函數的極點為 $p$₁ 和 $p$₂ ，它們都在實軸上,即 p₁ $=$ $?$$a$ , p₂ $=$ $?$$b$ ($a$ 、$b$均為常數)對該系統一個單位沖激信號，于是系統的響應為

當 $p$₁ $<$ $0$ , $p$₂ $<$ $0$ 時

??說明這個系統是收斂的，也就是說這個系統可以穩定。

當 $p$₁ 與 $p$₂ 有一個大于$0$ 時

??說明這個系統是發散的，也就是說這個系統無法達到穩定。
當 $p$₁ 與 $p$₂ 并沒有在實軸上，即 p₁ $=$ $?$$a$ $+$ $b$$i$ , p₂ $=$ $?$$a$ $?$$b$$i$ ,此時有

在經過拉普拉斯逆變換，得

??正弦函數是等幅振蕩函數，而 $e$^(-at) 會隨 $t$ 得增大而減小 ，最終趨向于$0$，故而 $X(t)$ 是一個振蕩衰減函數，最終仍會趨向于 $0$。圖像大概是這個樣子

如果 p₁ $=$ $a$ $+$ $bi$ , p₂ $=a?bi$ ,此時有

??此時該函數時振蕩發散的，是不穩定的，圖像就是上圖從右往左看。

??進入正式話題，在做實際工程或者學習自動控制原理的時候，PID控制經常被提起，大部分工程中涉及控制基本都是PID，那么PID到底是什么？它為什么可以做控制使用？又是如何控制的呢？所謂PID就是比例積分微分控制，下面我們就對$3$種控制稍做分析。

比例控制

??對于如下比例控制系統，輸入是$R(s)$,輸出是$X(s)$，

有

于是系統的閉環傳遞函數為

??由這個傳遞函數可知極點$p=(?1?$ K_p $)/a$,我們知道，當 $p$位于 $s$ 的左半平面時系統才會穩定，也就是說 K_p $>$ $?1$ 時系統才會穩定。
??我們給系統一個輸入一個目標值，即 $r(t)=r$, 于是

則

根據中值定理，有

那么穩態誤差為

??由上式可知，$K$_p 趨向于無窮大時，$e$_ss 趨向于 $0$，但實際工程中，$K$_p 不可能取太大，否則超調量會非常大（一階系統除外），如果超過了控制器的輸出范圍，那也就沒有意義了，但是在控制器的輸出范圍內，Kp又不會太大，所以穩態誤差還是消除不了，故而一般不單獨使用比例控制。

舉個實際的例子：
??對于系統：

??通過以上的推理，該系統在 $K$_p $>$ $?1$ 時才會穩定，那就在simulink中仿真一下，把輸入設置為$10$，示波器中的黃線代表目標值，藍線代表輸出值：
$K$_p $=$ $?$ $2$ 時，系統結構如下

輸出曲線如下

??由圖可以看出，輸出值已經跑飛了，系統不可能會穩定下來。
看看 $K$_p $=$ $2$ 時的情況

??這時候系統已經穩定了，但是穩態誤差很大。
再看看 $K$_p $=$ 100 的情況

??此時穩態誤差已經很小了，可以忽略不計了。但是此時的 $K$_p 已經非常大了，如果系統此時輸出為 $9$ ，那么偏差就為 $1$，比例控制輸出為 $100$，對于PWM調節的話，占空比最大就是$100$$\%$，很明顯這是不符合實際應用的。當然控制器的輸出我們可以不當做占空比直接使用，比如在單片機的PWM的配置過程中，令計數值為$1000$才代表$100$$\%$占空比，那么比例控制輸出$100$，對應PWM占空比也才$10$$\%$，看上去很合理，也符合實際應用，這樣一來，系統的調節時間就會變長，同樣我們也可以理解為此時 $K$_p 還較小。所以比例控制一般不單獨使用。

積分控制

??上面我們研究了比例控制器，他不能消除穩態誤差，所以需要設計新的控制器$C(s)$，系統結構框圖如下：

求得系統傳遞函數

??我們同樣令$r(t)=r$ ,拉普拉斯變換后， $R(s)=r/s$,于是有

??我們的目標是消除穩態誤差，即 $e$_ss $=$ $0$

繼續推導

??這個 $C(s)$不就是積分嘛，$K$_i 就是積分增益。我們來驗證一下，還是拿前面的系統

設置 $K$_p $=$ $2$ , $K$_i $=$ $1$,看看比例控制與積分控制的效果

??黃色的直線表示目標值，藍色的線是比例控制，橙色線是積分控制。由圖可以看出，積分控制很明顯的消除了穩態誤差，但是積分控制的調節時間卻比比例控制要長很多，那將比例控制與積分控制放在一起，同時作用，效果又是怎樣的？

更改系統框圖

??最上面一個閉環是比例控制，第二個是積分控制，最下面一個是比例積分控制，為方便對比我們稍稍做下參數調整，將比例積分控制的 $K$_i 增加到 $2$，看看效果

??這條綠色的線就是比例積分控制，其余三條不變。由圖可知，比例積分控制不僅吸取了比例控制的快速響應并穩定特點，還吸取了積分控制能消除穩態誤差的特點，所以比例積分控制的有點明顯勝于比例控制。

引入微分控制

??設一個二階系統的一對根為 $p$₁ $=?a+bi$ , $p$₂ $=?a?bi$,對該系統輸入一個單位沖激信號，那么該系統的響應為

經過拉普拉斯逆變換后，得

??我們知道這個函數得曲線是振蕩衰減直至到$0$，也就是說這個系統是穩定的。我們的目標是讓系統更快速穩定，也就是加快系統的收斂速度，也就是$?a$ 越小，系統的收斂的速度才會越快，減小 $?a$ 也就是改變根軌跡，讓根左移。我們以實例來說明：
設有系統的開環傳遞函數為

??該系統有$2$個極點,$\phi$₁$=$ $0$,$\phi$₂$=$ $?2$,沒有零點，漸近線交點$\sigma$_a$=$$?1$,與實軸得交角為$90°$，根軌跡如下

那么所有的根都將在實部為$?1$這條豎線上，我們要讓系統快速衰減，也就是讓根左移，并且越左越好，我們就讓他移到實部為$?2$得這條豎線上，為便于計算，我們設這個根為$k=?2+2\surd 3i$。

根據幅角條件

得

這也就是說，$k=?2+2\surd 3i$不在原根軌跡上，如果要使這個根滿足幅角條件，或者說改變原根軌跡使得$k$在新的根軌跡上，該怎么辦呢？那就加個30°，也就是加個零點嘛，如圖

通過計算，補償的30°這個零點為$?8$,那么這個新的控制器不就是$H(s)=s+8$,這不就是微分控制和比例控制嗎，即$PD$控制，這里就把微分控制引進來了，我們可以仿真一下

??這個結構中，上面一個閉環是$PD$控制，下面一個就是$P$控制，$Kp$ $=8$,得到得輸出響應

藍色的線表示$PD$控制,橙黃色得線表示$P$控制，可以清楚得看到$PD$控制得超調要小的多，收斂的速度也明顯比比例控制快很多。我們在修改修改參數，將$K$_i $=2.9$,看看效果

很明顯，現在的超調已經變得很小了，收斂速度更快。對于微分控制，在實際應用中，不會拿微分控制單獨做一個控制器，因為微分控制對高頻干擾十分敏感，比如在系統中存在這樣一個干擾：$D(t)=0.01sin(100t)$，它的幅值很小，頻率很高，一旦遇到微分控制，于是$D(t)$對$t$求導，此時 $D$¹(t)=$cos(100t)$,賦值被放大了100倍，所以微分控制在很多時候并不被使用，$PI$控制被廣泛應用。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的为什么是PID控制的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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