? 最近學習計算機組成原理，遇到許多疑難問題，接下來寫一寫我在學習浮點數方面知識的理解，在鞏固的同時也方便日后的復習。

一、浮點數的表示

1、浮點數的表示格式

? 浮點數，顧名思義，就是小數點不固定的數。計算機中，根據小數點位置是否固定，分為兩種數據格式，一種就是這個，小數點不固定，另一種是定點數，小數點是固定的。

? 書上科學地對浮點數表示法的定義是，以適當的形式將比例因子表示在數據中，讓小數點的位置根據需要而浮動。我們計算機的容量有限，不可能對每個數都用特別多的位數來表示，比如說2×10^99，這種非常大的數不可能用定點數來表示，所以呢利用浮點數就可以在位數有限的情況下擴大數的表示范圍，同時能保持一定的有效精度。

? 通常情況下，浮點數表示為：N = r^E × M

? 式子里面r是浮點數階碼的底在計算機中是隱含的，通常情況下r=2。E和M都是帶符號的定點數，E叫做階碼，M叫做尾數。其中E的大小越大，能表示的數范圍越大，M的位數越大，數的有效精度越高。

? 簡單地舉一個例子，1.111×2^100這里面1.111就是尾數，100就是階碼，顯然這里階碼占的位數為3位，尾數占的位數是4位，假如階碼占的位數有4位，位數占的位數是3位（階碼和尾數所占位數總和不變），那么這個數就只能表示為1.11×2^0100，顯然能表示的數的范圍變大了，就這個例子來說原來尾數1.111轉變為1.11損失了0.001，這就是精度的損失。

?浮點數的一般格式：

? 這里J是階符，表示階碼的符號，S是數符，表示浮點數的符號，階符J和階碼的m位合起來表示浮點數的表示范圍和小數點的實際位置，n位尾數反映了浮點數的精度。

2、浮點數的規格化

? 為什么要進行浮點數的規格化呢，我們知道了浮點數的一般格式，同一個浮點數可以有很多表現形式，比如1.111×2^3，還可以表示為0.1111×2^4，還可以表示為11.11×2^2，那我們總不能任意地表示一個數吧，另外還有一個問題就是，如果尾數位數只有4位，我們想要表示同一個數1111采取兩種方法，一個是 0.0111x2^5 和 0.1111×2^4（二者最高為是數符位S），我們可以很清晰地看到，如果采用階碼為5的方法，我們損失了一位精度，階碼為4的方法表示這個數更為精確。

? 所以，為了提高運算精度，就要充分利用尾數的有效數位，也就是浮點數的規格化，即規定尾數的最高數位必須是一個有效值。非規格化數轉變為規格化數，轉變過程就是通過調整尾數和階碼的大小，使尾數最高位保證是一個有效值。通常有兩種規格化操作：

? 左規：當浮點數運算結果是非規格化數的時候，要進行規格化操作，將尾數算術左移一位，階碼減1（基數為2時），左規操作可能要進行多次。

? 右規：當浮點數運算結果尾數出現溢出的時候，將尾數算術右移一位，階碼加1。需要右規操作的時候只需要操作一次。

? 規格化浮點數的尾數M的絕對值應該滿足這樣的關系：1/r ≤ |M| ≤ 1（r就是我們的階碼的底，也是基數）。

? 以r=2為例：

? 1、原碼尾數規格化后：正數為0.1xxxxxx形式，最大值為0.11......1;最小值為0.100......0。負數為1.1xxxxxx形式，最大值表示為1.10......0;最小值表示為1.11......1。

? 2、補碼尾數規格化后：正數同原碼正數。負數為1.0xxxxxx形式，最大值表示為1.01......1;最小值表示為1.00......0。

? 需要注意的是基數，剛剛是以基數為2時的規格化形式，補碼規格化數的尾數最高位一定與尾數符號位相反。基數不同的時候，規格化的形式不同，當基數為4時，原碼規格化形式的尾數最高兩位不全為0；基數為8時，原碼規格化形式的尾數最高三位不全為0。

? 如何判斷一個浮點數是否是規格化數：規格化浮點數的尾數小數點后的第一位一定是個非零的數。因此對于原碼編碼的尾數來說，只要看尾數的第一位是否為1就行；對于補碼表示的尾數，只要看符號位和尾數最高位是否相反。（IEEE 754標準的浮點數尾數是用原碼編碼的）

3、IEEE 754標準

? IEEE 754標準采用的浮點數的格式：

? ms為數符，表示浮點數的符號，E為階碼部分，用移碼表示，M是尾數部分，用原碼表示。

? IEEE 754標準規定常用的浮點數格式有短浮點數（單精度、float）、長浮點數（雙精度、double型）、臨時浮點數。

? 短浮點數數符占1位；階碼占8位，以2為底，用移碼表示，階碼偏置值為127（階碼全1表示無限大，E的范圍是1~254，空出全0表示非規格化數）；尾數部分為23位。

? 長浮點數數符占1位；階碼占11位，以2為底，用移碼表示，階碼偏置值為1023（階碼全1表示無限大，E的范圍是1~2046，空出全0表示非規格化數）；尾數部分為52位。

? 在IEEE754標準中長浮點數和短浮點數的尾數采用隱藏位策略的原碼表示，什么意思呢。舉個例子來說，以短浮點數為例，尾數占23位。我們知道，規格化浮點數后，尾數最高位一定是一位有效值，對于二進制浮點數來說，尾數最高位一定是1，那么我們為了充分利用資源，既然最高位一定是1了，我們干脆就把它隱藏好了，因此尾數實際上是24位，在表示的時候尾數23位是純小數。比如說十進制12（1100），轉化為二進制浮點數規格化后為1.1×2^3，這里我們就把整數部分的1 隱藏了，整數部分的1不存在23位尾數中，存的時候就是這樣的32位：0 ? 1000 0010 ? 1000 0000 0000 0000 0000 000。

二、浮點數的加減運算

? 浮點數運算的特點是階碼運算和尾數運算分開來算。加減運算一律采用補碼。具體運算分為以下幾步。

? 1、對階：對階的目的是讓兩個數小數點的位置看齊，使這兩個數的階碼相等。顯然1.1×2^3和1.1×2^4是不能直接相加減的。原則是小階向大階看齊，像這個例子，就是1.1×2^3的尾數右移一位，階碼加一，直到兩個數的階碼相等。

? 2、尾數求和：階碼對齊之后就可以直接按照定點數的加減法則運算尾數了。

? 3、規格化：尾數求和后的結果如果不是規格化數需要規格化，以雙符號位運算為例的話，如果運算結果為正數，規格化的形式應該是00.1xxx......x,如果運算結果為負數，規格化后的形式應該是11.0xxx......x，不符合這種形式的數要進行左規或者右規的操作讓其變成這種形式。（在尾數沒有溢出的情況下，即尾數結果的雙符號為不是10或01的時候，操作都是左規操作，左規操作可能不止進行一次，倘若雙符號位為01或10則表明尾數已經溢出了，就要進行右規操作，右規只需要進行一次）

? 4、舍入：在對階和右規的操作中，我們都是將尾數右移，階碼加一，由于我們的位數是有限的，在右移的操作過程中很有可能就將低位的尾數丟失了，這會引起誤差和精度問題。常用的減小誤差的方法有“0”舍“1”入法：即在尾數右移時，被移去的最高數值位為0則舍去，如果被移去的最高數值位為1則在尾數末位加1，如果加1之后又產生溢出則再右規操作一次。恒置“1”法：看名字就可以知道，無論丟掉的最高數值位是1還是0，都使右移后的尾數末位置1。這種方法可能使尾數變大或者變小。

? 5、溢出判斷：既然定點數運算可能溢出，浮點數同樣也會溢出，我們已經知道浮點數的表示方法和加減運算規則，既然是溢出，那么肯定是超出了浮點數能表示的范圍，浮點數的范圍主要是由階碼決定的，如果運算結果規格化后階碼產生了溢出，那才是浮點數的溢出。浮點數的溢出與否是由階碼的符號決定的。以雙符號位的補碼為例，如果階碼的符號位出現01或10則說明階碼溢出了，01表示階碼大于最大階碼，上溢，進入中斷處理；10表示階碼小于最下階碼，下溢，按機器零處理。（溢出時真值的符號位和高位符號位保持一致）還要注意的一點是尾數之和（差）可能會造成尾數的溢出，這并不代表整個的溢出，需要右規一次看階碼是否溢出才能判斷。

? 以上便是我學習浮點數的時候結合書與自己的理解做出的總結，例子都是以基數為2時舉的，如果有錯誤還望看出來的小伙伴勿責怪，幫忙指明一下下。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的计组学习笔记（一）：浮点数的表示和运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。