題意：有一個a*b的整數組成的矩陣，現請你從中找出一個n*n的正方形區域，使得該區域所有數中的最大值和最小值的差最小。

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數據規模：

（1）矩陣中的所有數都不超過1,000,000,000

（2）20%的數據2<=a,b<=100,n<=a,n<=b,n<=10

（3）100%的數據2<=a,b<=1000,n<=a,n<=b,n<=100

------------------------------------------------------------------我是分割線--------------------------------------------------------

題解：對于20%的數據，樸素做法是O（A*B）枚舉每個邊長為 N 的矩形，再O（N^2）求出矩形內最大值和最小值，取差值最小即可，總時間復雜度O（A*B*N^2）。

由于A*B的枚舉矩形是最小下限，無法再優化，于是我們考慮優化求最值的 N^2 過程。

由題意，知道這種題的一般套路都是預處理。

對于以（i，j） 為左上角，長度為K的矩形，我們顯然有以下的遞推式：

Max(i，j，k) = max{Max(i，j，k)， Max(i-1，j-1，k-1)，Max(i，j-1，k-1)， Max(i-1，j，k-1) }

最小值同理。

由于空間限制，數組大小超內存限制，于是我們使用滾動數組優化，去掉K的一維，先預處理上邊長為1的正方形，然后進行k-1次矩陣遞推，得到的數據就一定是以k為邊長的矩形的大小，總時間復雜度O（A*B*N），期望得分50分。

具體過程見代碼實現：

#include<bits/stdc++.h>#define ll long long #define mp make_pair #define rep(i, a, b) for(int i = (a);i <= (b);++i) #define per(i, a, b) for(int i = (a);i >= (b);--i)using namespace std;typedef pair<int, int> pii; typedef double db; const int N = 1e6 + 50; int a, b, n, Map[1010][1010]; int Max[1010][1010], Min[1010][1010]; int ans = 1e9; inline int read(){int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch = getchar();}return x*f; } void init(){a = read(); b = read(); n = read();rep(i, 1, a) rep(j, 1, b){ Map[i][j] = read();Max[i][j] = Min[i][j] = Map[i][j];}rep(k, 2, n) per(i, a, k) per(j, b, k){Max[i][j] = max(max(Max[i-1][j-1], max(Max[i][j-1], Max[i-1][j])), Map[i][j]);Min[i][j] = min(min(Min[i-1][j-1], min(Min[i][j-1], Min[i-1][j])), Map[i][j]);} } void work(){rep(i, n, a) rep(j, n, b) ans = min(ans, Max[i][j] - Min[i][j]);printf("%d\n", ans); } int main(){init();work();return 0; } View Code

由于O（A*B*N）的時間復雜度并不夠優秀，需要優化，而預處理復雜度已經達到下限，于是我們需要變換一下式子。

Max(i，j，k) = max{Max(i，j，k)， Max(i+2^(k-1)，j+2^(k-1)，k-1)，Max(i，j+2^(k-1)，k-1)， Max(i+2^(k-1)，j，k-1)) }

即用倍增的方法，發現這就是個二維ST表，預處理即可，總時間復雜度為O（A*BlogN）。

具體過程見代碼實現：

#include<bits/stdc++.h>#define ll long long #define mp make_pair #define rep(i, a, b) for(int i = (a);i <= (b);++i) #define per(i, a, b) for(int i = (a);i >= (b);--i)using namespace std;typedef pair<int, int> pii; typedef double db; const int N = 1e6 + 50; int a, b, n, Map[1010][1010]; int Max[1010][1010], Min[1010][1010]; int ans = 1e9; inline int read(){int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch = getchar();}return x*f; } int ask_max(int l, int r){int k = log2(n);return max(Max[l][r], max(Max[l + n - (1<<k)][r + n - (1<<k)], max(Max[l + n - (1<<k)][r], Max[l][r + n - (1<<k)]))); } int ask_min(int l, int r){int k = log2(n);return min(Min[l][r], min(Min[l + n - (1<<k)][r + n - (1<<k)], min(Min[l + n - (1<<k)][r], Min[l][r + n - (1<<k)]))); } void init(){a = read(); b = read(); n = read();rep(i, 1, a) rep(j, 1, b){ Map[i][j] = read();Max[i][j] = Min[i][j] = Map[i][j];}int t = log2(n);rep(k, 0, t-1) rep(i, 1, a - (1<<k)) rep(j, 1, b - (1<<k)){Max[i][j] = max(Max[i][j], max(Max[i + (1<<k)][j + (1<<k)], max(Max[i + (1<<k)][j], Max[i][j + (1<<k)])));Min[i][j] = min(Min[i][j], min(Min[i + (1<<k)][j + (1<<k)], min(Min[i + (1<<k)][j], Min[i][j + (1<<k)])));} } void work(){rep(i, 1, a-n+1) rep(j, 1, b-n+1){ans = min(ans, ask_max(i, j) - ask_min(i, j));}printf("%d\n", ans); } int main(){init();work();return 0; } View Code

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轉載于:https://www.cnblogs.com/smilke/p/11569612.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的luogu P2216 [HAOI2007]理想的正方形 递推+ST表的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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