給c種不同顏色寶石能穿成多少種長度為s的寶石項鏈（本質不同）

Burnside定理的應用：

當n為奇數時，有n種翻轉，每種翻轉都是以一個頂點和該頂點對邊的中點對稱。有k^(n/2+1)*n種。

當n為偶數時，有n種翻轉，其中一半是以兩個對應頂點，另一半是以兩條對邊對稱。有k^(n/2+1)*n/2+k^(n/2)*n/2種。

考慮旋轉：枚舉旋轉角度360/n*i，(0<i<=n)，也就是一個置換。經過該置換，顏色仍保持不變的著色方案有k^GCD(n,i)種。

?

一個長度為n的環，每i個上同一種顏色，可以上多少種顏色。

假設起點在x，則x，x+i，x+2*i，……，x+k*i，……

假設在第t次，第一次回到起點，則x=(x+t*i)%n => t*i%n=0 => t=LCM(i,n)/i=n*i/GCD(n,i)/i=n/GCD(n,i)。

那么可以上n/t種顏色，即n/(n/GCD(n,i))種，所以旋轉的著色方案有k^GCD(n,i)種。

#include<cstdio>

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll power(ll a,ll b)

{

ll ans=1ll;

while(b)

{

if(b&1)

ans=ans*a;

a=a*a;

b=b>>1;

}

return ans;

}

ll gcd(ll a,ll b)

{

return b ? gcd(b,a%b) : a;

}

int main()

{

int c,s;

ll ans;

while(scanf("%d%d",&c,&s)!=EOF)

{

if(s&1)

ans=power(c,s/2+1)*s;

else

ans=power(c,s/2)*(s/2)+power(c,s/2+1)*(s/2);

for(int i=1;i<=s;i++)

ans+=power(c,gcd(s,i));

printf("%lld\n",(ans/2)/s);

}

return 0;

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的组合数学中的项链计数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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