最长单调递增子序列_最长递增子序列(动态规划 + 二分搜索)
生活随笔
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最长单调递增子序列_最长递增子序列(动态规划 + 二分搜索)
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
題目
給定數組arr,返回arr的最長遞增子序列
舉例:arr = [2,1,5,3,6,4,8,9,7],返回的最長遞增子序列為[1,3,4,8,9]
要求:如果arr的長度為N,請實現時間復雜度為O(nlogn)的方法。
分析
這一題也是經典的動態規劃,那么常規的動態規劃時間復雜度為O(n^2);
如果加入二分的話,可以將動態規劃優化到O(nlogn)。
解法1 O(n^2)的動態規劃
了解題目以后,狀態為數組的當前位置i就能決定返回值,那么dp[i]表示arr[0...i]的最長遞增子序列
dp[i] = max{dp[i], dp[j]+1} (0<=j<i && arr[i]>arr[j])
// dp O(n^2) int* getdp1(int arr[], int length){int* dp= new int[length];for(int i=0;i<length;i++){dp[i]=1;for(int j=0;j<i;j++){dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);}}return dp; }如果還需要求出遞增序列的話,可以這么做:
首先我們arr從右往左找出最大值,然后根據這個最大值往前遞推,滿足:
- arr[j] < arr[i] && dp[i] = dp[j] +1
這種遞推會推出一種特殊的情況,如果要找出所有的情況,就要再加一個循環。
解法2 O(nlogn)的動態規劃
我們在上面的查找過程中,一直都是在對arr進行比較,那么可以通過空間換取時間,將遞增序列保存到數組中,然后對這個數組做二分查找。
舉例如下:
arr = [2,1,5,3,6,4,8,9,7]
采用ends[length+1]作為遞增序列數組,right記錄數組的長度
- 遍歷arr數組,arr[i]
- 查詢arr[i]在ends中的位置
- 如果arr[i] 大于 ends[right],那么直接將arr[i]加入ends,說明符合遞增
- 否則用arr[i]替代調二分查找的位置(一直更新最小的結尾數)
詳細部分看代碼
int* getdp2(int arr[], int length){int* dp = new int[length+1];int* ends = new int[length+1];ends[0] = arr[0];dp[0] =1;int right = 0;int l =0;int r = 0;int m =0;for(int i=1;i<length;i++){l=0;r=right;while(l<=r){m = l + (r-l)/2;if(arr[i]>ends[m]) {l=m+1;}else{r=m-1;}}right = max(l,right);ends[l] = arr[i];dp[i] = l+1;}return dp; }Conclusion
這一個題目的動態規劃優化是采用了二分來優化,是采用空間換時間;
之前還有路徑壓縮,縮小空間復雜度的題目 機器人到達指定位置方法數
總結
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