【考試要求】

1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)；

2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數.

【知識梳理】

1.數列的定義

按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.

2.數列的分類

3.數列的表示法

數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數列的通項公式

(1)通項公式：如果數列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式.

(2)遞推公式：如果已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

【微點提醒】

1.若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝

2.數列是按一定“次序”排列的一列數，一個數列不僅與構成它的“數”有關，而且還與這些“數”的排列順序有關.

3.易混項與項數的概念，數列的項是指數列中某一確定的數，而項數是指數列的項對應的位置序號.

考點一　由數列的前幾項求數列的通項

【規律方法】　由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略

(1)常用方法：觀察(觀察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.

(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理.

考點二　由an與Sn的關系求通項

【規律方法】數列的通項an與前n項和Sn的關系是an＝①當n＝1時，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；②當n＝1時，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數的形式表示.

考點三　由數列的遞推關系求通項

【規律方法】

由數列的遞推關系求通項公式的常用方法

(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.

(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.

(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系數法確定)，可轉化為{an＋k}為等比數列.

(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數)的數列，可通過兩邊同時取倒數的方法構造新數列求解.

【易錯警示】　本例(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式.

考點四　數列的性質

【規律方法】1.在數學命題中，以數列為載體，常考查周期性、單調性.

2.(1)研究數列的周期性，常由條件求出數列的前幾項，確定周期性，進而利用周期性求值.(2)數列的單調性只需判定an與an＋1的大小，常用比差或比商法進行判斷.

【反思與感悟】

1.數列是特殊的函數，要利用函數的觀點認識數列.

2.已知遞推關系求通項公式的三種常見方法：

(1)算出前幾項，再歸納、猜想.

(2)形如“an＋1＝pan＋q”這種形式通常轉化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數法求出λ，再化為等比數列.

(3)遞推公式化簡整理后，若為an＋1－an＝f(n)型，則采用累加法；若為＝f(n)型，則采用累乘法.

【易錯防范】

1.解決數列問題應注意三點

(1)在利用函數觀點研究數列時，一定要注意自變量的取值是正整數.

(2)數列的通項公式不一定唯一.

(3)注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.

2.數列{an}中，若an最大，則an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，則an≤an－1且an≤an＋1.

總結

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