看了集訓(xùn)隊(duì)答辯，感覺要學(xué)習(xí)的有杜教篩高級(jí)版、線性規(guī)劃、FFT、仙人掌、高級(jí)版線段樹

不出意外的話一個(gè)月內(nèi)博客內(nèi)都不會(huì)有別的東西了QAQ

首先是喜聞樂見的單純形法解線性規(guī)劃。

今年(2016年)和線性規(guī)劃有關(guān)的集訓(xùn)隊(duì)論文有兩篇，大家可以自行翻一下集訓(xùn)隊(duì)論文(當(dāng)然如果你沒有拿到你可以去UOJ群下載啊)，下面的大部分內(nèi)容都是參閱akf那篇

線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型一般長得像這樣：

一般我們拿到的都是像標(biāo)準(zhǔn)型這樣的問題，例如網(wǎng)絡(luò)流問題，我們就是要最大化流量并且讓每個(gè)點(diǎn)流量守恒。

假設(shè)我們把匯點(diǎn)到源點(diǎn)連一條容量為+∞的邊那么所有點(diǎn)就都流量守恒了。我們用c(u,v)表示(u,v)這條邊的容量，f(u,v)表示這條邊的流量。

那么我們不難得到這樣的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃

不難把它轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型這樣的模型。

而最小費(fèi)用流則也是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型，我們還是把匯點(diǎn)到源點(diǎn)加一條容量為+∞，費(fèi)用為0的邊。

那么也可以得到一個(gè)比較標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃：

(較論文中的配文有修改)

如果你要最小費(fèi)用最大流的話只要加一個(gè)約束條件$\sum_{(u,v)}{f(u,v)}=maxflow$

額那不等號(hào)怎么辦呢？

對(duì)于不等約束條件${\sum_{j=1}^n{a_{ij}x_j}}\leq{b_i}$

在松弛型等式左邊的那些變量我們把它們叫做基變量，在上面的松弛型表示中就是x[n+1]…x[n+m]，非基變量就是在等式右邊的那些，在上面的表示中是x[1]…x[n]。

顯然當(dāng)bi非負(fù)時(shí)令所有基變量為bi，非基變量為0，即可得到一個(gè)滿足條件的初始解。(至于bi可能為負(fù)的情況下面在單獨(dú)說)

單純形法有一個(gè)重要的操作，叫轉(zhuǎn)軸(pivot)操作。就是說我們可以把一個(gè)基變量x[b]和非基變量x[n]互換，用x[b]和其他非基變量代換這個(gè)x[n]，這樣x[b]就成了非基變量，而x[n]成了基變量。

一開始我們知道。

那么簡(jiǎn)單代換一下會(huì)發(fā)現(xiàn)，然后我們也可以把其他約束條件中的x[n]這樣代換掉，于是就完成了這個(gè)轉(zhuǎn)軸操作。

然后有了這個(gè)轉(zhuǎn)軸過程的幫助，我們就可以實(shí)現(xiàn)線性規(guī)劃算法了。

首先為了最大化目標(biāo)函數(shù)，我們考慮不停地找一個(gè)系數(shù)為正的非基變量，然后增大這個(gè)x。

具體的這個(gè)最優(yōu)化過程如下：

(注意鄒逍遙原論文在這里的做法是選擇滿足的，ysy告訴我這樣是不科學(xué)的，akf的論文里寫的也是ce>0，于是做了一些修改)

這是為什么呢？akf在論文中給出了一個(gè)例子，從中我們可以大概理解一下。

這個(gè)線性規(guī)劃是這樣的：

我們考慮第一步我們選擇換正系數(shù)的x1，因?yàn)樵龃髕1必然會(huì)增大目標(biāo)函數(shù)。

我們分別考慮三個(gè)限制，顯然第一個(gè)限制下x1<=30，第二個(gè)限制下x1<=12，第三個(gè)限制x1<=9，然后x1<=9的下界最緊，所以我們用x1代換x6，得到下面的新線性規(guī)劃：

哇目標(biāo)函數(shù)增大到了27，可喜可賀。

接下來假設(shè)我們來增大x3，類似地可以得到：

然后可以增大x2，可以得到：

由于所有非基變量系數(shù)均為負(fù)的，所以我們不可能再得到更小的解了。

咦，有沒有注意到上面漏了什么東西說要下面講啊…

對(duì)了，在bi為負(fù)的時(shí)候，如果你把所有基變量帶0，而非基變量就不一定是一組合法的初始解。

這時(shí)候我們就需要一個(gè)初始化操作，初始化操作的基本思想是引入一個(gè)輔助線性規(guī)劃：

如果我們求得了這個(gè)輔助線性規(guī)劃的最優(yōu)解，那么如果最優(yōu)解中x0>0顯然原線性規(guī)劃無解。

如果最優(yōu)解中x0=0，那么x[1]…x[n+m]就是原線性規(guī)劃的一個(gè)可行解。

而我們?nèi)菀讟?gòu)造出輔助線性規(guī)劃的一個(gè)可行解。

我們只要把x0作為換入變量，找到bi的最小值bl，把x[i+l]用x0來替代。

例如：

我們引入輔助線性規(guī)劃：

bi最小值是-4，那么我們把x4用x0來替代：

然后我們就可以得到一組x的初始解用來進(jìn)行最優(yōu)化操作。

講道理：為什么bi這樣之后一定為正？

首先bi的最小值bl一定為負(fù)(廢話，否則就不用進(jìn)行最優(yōu)化操作了)

然后我們考慮第l個(gè)約束會(huì)變?yōu)?#xff1a;

而-bi顯然為正的。

而其他約束會(huì)變?yōu)?#xff1a;

由于bl是最小值，所以bi>=bl，所以-bl+bi>=0。

而我們發(fā)現(xiàn)UOJ上似乎有一種更加神奇的初始化方法？

我們的目標(biāo)顯然是讓所有系數(shù)bi都為非負(fù)的。

我們選擇一個(gè)bi為負(fù)的基變量x[i+n]，然后我們?cè)谠摷s束右邊找一個(gè)系數(shù)為正的非基變量，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)軸操作，如果沒有系數(shù)為正顯然就無解了。

額其實(shí)這和這個(gè)初始化操作本質(zhì)上是一樣的。

所以這樣就可以完成整個(gè)線性規(guī)劃的過程。

我們來分析一下時(shí)間復(fù)雜度？

pivot操作的復(fù)雜度顯然是O(NM)的，但是最優(yōu)化操作中pivot操作的調(diào)用次數(shù)可能會(huì)成為指數(shù)級(jí)。

但是我們可以發(fā)現(xiàn)要達(dá)到這個(gè)指數(shù)級(jí)的調(diào)用次數(shù)，邊權(quán)也必須是指數(shù)級(jí)的。所以在OI中往往跑得比誰都快。所以“能在1s內(nèi)跑出范圍為幾百的數(shù)據(jù)”。

然而一般線性規(guī)劃是可以在多項(xiàng)式范圍內(nèi)求解的，只不過…

橢球算法 O(n^6*m^2)

內(nèi)點(diǎn)算法 O(n^3.5*m^2)

改進(jìn)的內(nèi)點(diǎn)算法 O(n^3.5*m)

在oi中一般并不能有什么卵用

所以單純形法就這么講完啦。

實(shí)現(xiàn)的時(shí)候可以發(fā)現(xiàn)，寫單純形并不要真的把松弛型建出來，只要假裝第i個(gè)約束條件就對(duì)應(yīng)第i個(gè)基變量，把系數(shù)取負(fù)就可以了。

我的代碼(有一些細(xì)節(jié)寫的比較丑

#include #include#include#include#include#include#include#include#include#include

using namespacestd;

typedefdoubleld;#define SZ 233

intn,m,t,id[SZ];

ld a[SZ][SZ],vv[SZ];const ld eps=1e-7;intdcmp(ld x)

{if(xeps) return 1;return 0;

}void pivot(int r,int c) //基變量r和非基變量c

{

swap(id[r+n],id[c]);

ld x=-a[r][c]; a[r][c]=-1;for(int i=0;i<=n;i++) a[r][i]/=x;for(int i=0;i<=m;i++)

{if(dcmp(a[i][c])&&i!=r);else continue;

x=a[i][c]; a[i][c]=0;for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]+=x*a[r][j];

}

}voidsolve()

{for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=i;while(1) //init

{int x=0,y=0;for(int i=1;i<=m;i++)

{if(dcmp(a[i][0])<0&&(!x||(rand()&1))) x=i;

}if(!x) break;for(int i=1;i<=n;i++)

{if(dcmp(a[x][i])>0&&(!y||(rand()&1))) {y=i; break;}

}if(!y) {puts("Infeasible"); return;}

pivot(x,y);

}while(1) //simplex

{int x=0,y=0;for(int i=1;i<=n;i++)

{if(dcmp(a[0][i])>0&&(!x||(rand()&1))) x=i;

}if(!x) break;double w,t; bool f=1;for(int i=1;i<=m;i++)

{if(dcmp(a[i][x])<0&&((t=-a[i][0]/a[i][x]),f||t

}if(!y) {puts("Unbounded"); return;}

pivot(y,x);

}

printf("%.9lf\n",a[0][0]);if(!t) return;for(int i=1;i<=n;i++) vv[i]=0;for(int i=n+1;i<=n+m;i++) vv[id[i]]=a[i-n][0];for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.9lf",vv[i]);

}intmain()

{

scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[0][i]);for(int i=1;i<=m;i++)

{for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]), a[i][j]*=-1;

scanf("%lf",&a[i][0]);

}

solve();

}

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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