計算機數學基礎課件教學課件作者劉樹利11課件.ppt

第十一章　線性方程組 第十一章　線性方程組 后頁 首頁 前頁 后頁 首頁 前頁 基本要求、重點難點 11.1　線性方程組的消元法 11.2　線性方程組解的結構 11.3　線性代數的應用實例 11.4　演示與實驗十 ? 基本要求 ? 理解線性方程組解的概念。 ? 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。 ? 理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。 ?理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念；掌握用行初等變換求線性方程組的通解的方法，會用特解及相應的導出組的基礎解系表示非齊次線性方程組的通解。 ? 重點難點 重點： ?線性方程組的解的理論與求解方法。 ? 11.1 線性方程組的消元法 　　用消元法解線性方程組的具體做法是：對方程組反復施行初等變換，化為階梯形方程組，然后從階梯形方程組中看出原方程組是有惟一解，無窮多解，無解。這種方法稱為高斯消元法。 ??? 上一章中，我們研究了用克拉默法則和逆矩陣求線性方程組的解。它要求方程組必須是n個未知量和n個方程的線性方程組，而且系數行列式不等于零。對于未知量個數和線性方程組的個數不相等，或者相等但系數行列式為零時，上一章的兩種方法將無能為力。 　　設含有n個未知量、有m個方程式組成的方程組 　 ?其中系數a ij，常數b j 都是已知數，x i是未知量(也稱為未知數)。當右端常數項b1,b2 , …, b m不全為0 時，稱方程組(11.1.13)為非齊次線性方程組；當b1=b2= … =b m= 0時，即 (11.1.13) 　 ?稱為齊次線性方程組。 (2) 　　由n個數k1, k2, …, k n組成的一個有序數組( k1, k2, …, k n )，如果將它們依次代入方程組(11.1.13)中的x1,x2, …,x n后，(11.1.13)中的每個方程都變成恒等式，則稱這個有序數組(k1, k2, …, k n)為方程組(11.1.13)的一個解。顯然由x1=0, x2=0, …, x n=0 組成的有序數組(0, 0, …, 0)是齊次線性方程組(2)的一個解，稱之為齊次線性方程組(2)的無解，而當齊次線性方程組的未知量取值不全為零時，稱之為非零解。 　　非齊次線性方程組(1)的矩陣表示形式為：可用矩陣形式表示為???? ???????????????????? ? AX = b? 稱A為方程組(1)的系數矩陣，X 為未知矩陣，B 為常數矩陣。 　　將系數矩陣A 和常數矩陣B放在一起構成的矩陣 　　 稱為方程組(1)的增廣矩陣。??? 齊次線性方程組(2)的矩陣表示形式為：AX = O?? (11.1.20) 。 定理11.1　　線性方程組(11.1.13)有解的充要條件是系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，即r(A)=r(B).對于方程組(11.1.14)中，若b=(0，0，…，0)T，則方程組為 AX=O，?? (11.1.20) 稱為齊次線性方程組。 定理11.2 　　齊次方程組(11.1.20)一定有解：若r(A)=n則只有零解；它有非零解的充要條件是r(A)＜n。 由上述定理可知，若m是系數矩陣的行數：(1) 當m＜n 時，r(A)≤m＜n，此時方程組(11.1.20)一定有非零解，即齊次方程中未知量的個數大于方程的個數就一定有非零解； (2) 當m=n 時，方程組(11.1.20)有非零解的充要條件是它的系數行列式det A=0 (3) 當m=n且r(A)=n 時，此時系數矩陣的行列式det A≠0，故方程組(11.1.20)只有零解； (4) 當m＞n 時，此時r(A)≤n，故存在方程組(11.1.20)的同解方程組，使“m≤n”。 　　在10.3.2中我們給出了兩個特殊的矩陣——列向量和行向量，為了討論方便用小寫的希臘字母a，β，…表示，而對于n元線性方程組(11.1.13)，每一個方程的系數都可以看成一個n維行向量，即α i=(ai1，ai2，…，a in) (i=1，2，…，m)，共有m個n維行向量a1，a2，…，am，叫做系數矩陣的行向量組。 每個未知數的系數構成一個列向量 共有n個列向量，稱為系數矩陣m 維列向量組。相應地，方程組(11.1.13)的常數項也可以表為一個m 維列向量： 可見，線性方程組(11.1.13)與n+1個m 維列向量組β1，β2…，β n，β之間是一一對應的。可用向量組表示方程組。若方程組有解，即存在x1,x2,…,x n，使得β=x1β1+x2β2+…+x nβ n成立，此時稱β是向量組β1,β2,…,β n的線性組合。 ? ?1

總結

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