計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件教學(xué)課件作者劉樹(shù)利11課件.ppt

第十一章　線(xiàn)性方程組 第十一章　線(xiàn)性方程組 后頁(yè) 首頁(yè) 前頁(yè) 后頁(yè) 首頁(yè) 前頁(yè) 基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn) 11.1　線(xiàn)性方程組的消元法 11.2　線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu) 11.3　線(xiàn)性代數(shù)的應(yīng)用實(shí)例 11.4　演示與實(shí)驗(yàn)十 ? 基本要求 ? 理解線(xiàn)性方程組解的概念。 ? 理解齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件。 ? 理解齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。 ?理解非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念；掌握用行初等變換求線(xiàn)性方程組的通解的方法，會(huì)用特解及相應(yīng)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示非齊次線(xiàn)性方程組的通解。 ? 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)： ?線(xiàn)性方程組的解的理論與求解方法。 ? 11.1 線(xiàn)性方程組的消元法 　　用消元法解線(xiàn)性方程組的具體做法是：對(duì)方程組反復(fù)施行初等變換，化為階梯形方程組，然后從階梯形方程組中看出原方程組是有惟一解，無(wú)窮多解，無(wú)解。這種方法稱(chēng)為高斯消元法。 ??? 上一章中，我們研究了用克拉默法則和逆矩陣求線(xiàn)性方程組的解。它要求方程組必須是n個(gè)未知量和n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組，而且系數(shù)行列式不等于零。對(duì)于未知量個(gè)數(shù)和線(xiàn)性方程組的個(gè)數(shù)不相等，或者相等但系數(shù)行列式為零時(shí)，上一章的兩種方法將無(wú)能為力。 　　設(shè)含有n個(gè)未知量、有m個(gè)方程式組成的方程組 　 ?其中系數(shù)a ij，常數(shù)b j 都是已知數(shù)，x i是未知量(也稱(chēng)為未知數(shù))。當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng)b1,b2 , …, b m不全為0 時(shí)，稱(chēng)方程組(11.1.13)為非齊次線(xiàn)性方程組；當(dāng)b1=b2= … =b m= 0時(shí)，即 (11.1.13) 　 ?稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組。 (2) 　　由n個(gè)數(shù)k1, k2, …, k n組成的一個(gè)有序數(shù)組( k1, k2, …, k n )，如果將它們依次代入方程組(11.1.13)中的x1,x2, …,x n后，(11.1.13)中的每個(gè)方程都變成恒等式，則稱(chēng)這個(gè)有序數(shù)組(k1, k2, …, k n)為方程組(11.1.13)的一個(gè)解。顯然由x1=0, x2=0, …, x n=0 組成的有序數(shù)組(0, 0, …, 0)是齊次線(xiàn)性方程組(2)的一個(gè)解，稱(chēng)之為齊次線(xiàn)性方程組(2)的無(wú)解，而當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組的未知量取值不全為零時(shí)，稱(chēng)之為非零解。 　　非齊次線(xiàn)性方程組(1)的矩陣表示形式為：可用矩陣形式表示為???? ???????????????????? ? AX = b? 稱(chēng)A為方程組(1)的系數(shù)矩陣，X 為未知矩陣，B 為常數(shù)矩陣。 　　將系數(shù)矩陣A 和常數(shù)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣 　　 稱(chēng)為方程組(1)的增廣矩陣。??? 齊次線(xiàn)性方程組(2)的矩陣表示形式為：AX = O?? (11.1.20) 。 定理11.1　　線(xiàn)性方程組(11.1.13)有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，即r(A)=r(B).對(duì)于方程組(11.1.14)中，若b=(0，0，…，0)T，則方程組為 AX=O，?? (11.1.20) 稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組。 定理11.2 　　齊次方程組(11.1.20)一定有解：若r(A)=n則只有零解；它有非零解的充要條件是r(A)＜n。 由上述定理可知，若m是系數(shù)矩陣的行數(shù)：(1) 當(dāng)m＜n 時(shí)，r(A)≤m＜n，此時(shí)方程組(11.1.20)一定有非零解，即齊次方程中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就一定有非零解； (2) 當(dāng)m=n 時(shí)，方程組(11.1.20)有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式det A=0 (3) 當(dāng)m=n且r(A)=n 時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣的行列式det A≠0，故方程組(11.1.20)只有零解； (4) 當(dāng)m＞n 時(shí)，此時(shí)r(A)≤n，故存在方程組(11.1.20)的同解方程組，使“m≤n”。 　　在10.3.2中我們給出了兩個(gè)特殊的矩陣——列向量和行向量，為了討論方便用小寫(xiě)的希臘字母a，β，…表示，而對(duì)于n元線(xiàn)性方程組(11.1.13)，每一個(gè)方程的系數(shù)都可以看成一個(gè)n維行向量，即α i=(ai1，ai2，…，a in) (i=1，2，…，m)，共有m個(gè)n維行向量a1，a2，…，am，叫做系數(shù)矩陣的行向量組。 每個(gè)未知數(shù)的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)列向量 共有n個(gè)列向量，稱(chēng)為系數(shù)矩陣m 維列向量組。相應(yīng)地，方程組(11.1.13)的常數(shù)項(xiàng)也可以表為一個(gè)m 維列向量： 可見(jiàn)，線(xiàn)性方程組(11.1.13)與n+1個(gè)m 維列向量組β1，β2…，β n，β之間是一一對(duì)應(yīng)的。可用向量組表示方程組。若方程組有解，即存在x1,x2,…,x n，使得β=x1β1+x2β2+…+x nβ n成立，此時(shí)稱(chēng)β是向量組β1,β2,…,β n的線(xiàn)性組合。 ? ?1

總結(jié)

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