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預計閱讀時間?32?分鐘。

本文是「小孩都看得懂」系列的第十八篇，本系列的特點是內容不長，碎片時間完全可以看完，但我背后付出的心血卻不少。喜歡就好！

小孩都看得懂的神經網絡

小孩都看得懂的推薦系統

小孩都看得懂的逐步提升

小孩都看得懂的聚類

小孩都看得懂的主成分分析

小孩都看得懂的循環神經網絡

小孩都看得懂的 Embedding

小孩都看得懂的熵、交叉熵和 KL 散度

小孩都看得懂的?p-value

小孩都看得懂的假設檢驗

小孩都看得懂的基尼不純度

小孩都看得懂的 ROC

小孩都看得懂的 SVD

小孩都看得懂的 SVD 2

小孩都看得懂的 GMM

小孩都看得懂的貝塔分布

小孩都看得懂的多臂老虎機

小孩都看得懂的 GAN

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GAN 是什么

GAN 的全稱是 Generative Adversarial Network，中文是生成對抗網絡。

一言以蔽之，GAN 包含了兩個神經網絡，生成器（generator）和辨別器（discriminator），兩者互相博弈不斷變強，即生成器產出的東西越來越逼真，辨別器的識別能力越來越牛逼。

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造假和鑒定

生成器和辨別器之間的關系很像造假者（counterfeiter）和鑒定者（Appraiser）之間的關系。

• 造假者不斷造出假貨，目的就是蒙騙鑒定者，在此過程中其造假能力越來越高。

• 鑒定者不斷檢驗假貨，目的就是識破造假者，在此過程中其鑒定能力越來越高。

GAN 是造假者的，也是鑒定者的，但歸根結底還是造假者的。GAN 的最終目標是訓練出一個“完美”的造假者，即能讓生成讓鑒定者都蒙圈的產品。

一動圖勝千言，下圖展示“造假者如何一步步生成逼真的蒙娜麗莎畫而最終欺騙了鑒定者”的過程。

在此過程中，每當造假者生成一幅圖。鑒定者會給出反饋，造假者從中學到如何改進來畫出一張逼真圖。

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造假鑒定網絡？

回到神經網絡，造假者用生成器來建模，鑒定者用辨別器來建模。

根據上面動圖可知，辨別器的任務是區分哪些圖片是真實的，哪些圖片是生成器產生的。

接下來我們用 Python 創建一個極簡 GAN。

首先設置一個故事背景。

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故事背景

在傾斜島（slanted island）上，每個人都是傾斜的，大概像左傾斜 45 度左右。

島主想做人臉生成器，由于島上的人的臉部特征非常簡單，因此用 2 * 2 像素的模糊人臉圖片。

限于技術，島主只用了個一層的神經網絡。

但在這個極度簡單的設置下，一層的 GAN 也能生成“傾斜人臉”。

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辨別人臉

下圖展示四個人臉的樣子。

從 2*2 像素來表示人臉，深色代表此處有人臉，淺色代表此處沒有人臉。

如果不是人臉呢？那么其 2*2 像素圖中的元素就是隨機的，如下所示。

復習一下：

• 人臉：對角線上是深色，非對角線上是淺色

• 非人臉：任意四處都可能是深色或淺色

像素可以用 0 到 1 的數值來表示：

• 人臉：對角線上的數值大，非對角線上的數值小

• 非人臉：任意四處都可能是 0-1 之間的任意數值

弄清了人臉照片和非人臉照片用不同特征的 2*2 數值矩陣表示之后，接下來兩節我們來看如何構建辨別器（discriminator）和生成器（generator）。

先分析辨別器。

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辨別器

辨別器就是用來辨別人臉，那么當看到照片的像素值時，如何辨別呢？

簡單！上節已經分析過：

• 人臉：對角線上的數值大，非對角線上的數值小

• 非人臉：任意四處都可能是 0-1 之間的任意數值

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如果要用一個數值表示人臉和非人臉，該用什么樣的操作呢？也簡單，如下圖所示，加上 (1,1) 位置的元素，減去 (1,2) 位置的元素，減去?(2,1) 位置的元素，加上?(2,2) 位置的元素，得到一個數值就可以了。

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人臉得到的分數是 2（較大），非人臉得到的分數是 -0.5（較小）。

設定一個閾值 1，得分大于 1 是人臉，小于 1 不是人臉。

將上述內容用神經網絡來表示，就成了下面的極簡辨別器了。注意除了“加減減加”矩陣 4 個元素之外，最后還加上一個偏置項（bias）得到最終得分。

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辨別器最終要判斷是否是人臉，因此產出是一個概率，需要用 sigmoid 函數將得分 1 轉化成概率 0.73。給定概率閾值 0.5，由于 0.73 > 0.5，辨別器判斷該圖是人臉。

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對另一張非人臉的圖，用同樣操作，最后算出得分 -0.5，用 sigmoid 函數轉換。給定概率閾值 0.5，由于 0.37 <?0.5，辨別器判斷該圖是人臉。

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生成器

辨別器目標是判斷人臉。而生成器目標是生成人臉，那什么樣的矩陣像素是人臉圖呢？簡單！該規則被已經分析多次了：

• 人臉：對角線上的數值大，非對角線上的數值小

• 非人臉：任意四處都可能是 0-1 之間的任意數值

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現在來看生成過程。第一步就是從 0-1 之間隨機選取一個數，比如 0.7。

回憶生成器的目的是生成人臉，即要保證最終 2*2 矩陣的對角線上的像素要大（用粗線表明），而非對角線上的像素要小（用細線表明）。

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舉例，生成矩陣 (1,1) 位置的值，w = 1, b = 1，計算的分 wz + b = 1.7。

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同理計算矩陣其他三個位置的得分。

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最后都用 sigmoid 函數將得分轉換一下，確保像素值在 0-1 之間。

注意按上圖這樣給權重 [1, -1, -1, 1] 和偏置 1，有因為 z 總是在 0 和 1 之間的一個正數，這樣的一個神經網絡（生成器）總可以生成一個像人臉的 2*2 的像素矩陣。

根據本節和上節的展示，我們已經知道什么樣的辨別器可以判斷人臉，什么樣的生成器可以生成好的人臉，即什么樣的 GAN 是個好 GAN。這些都是由權重和偏置決定的，接下來看看它們是怎么訓練出來的。首先復習一下誤差函數（error function）。

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誤差函數

通常把正類用 1 表示，負類用 0 表示。在本例中人臉是正類，用 1 表示；非人臉是負類，用 0 表示。

當標簽為 1 時（人臉），-ln(x)?是一個好的誤差函數，因為

• 當預測不準時（預測非人臉，假設 0.1），那么誤差應該較大，- ln(0.1) 較大。?

• 當預測準時（預測人臉，假設 0.9），那么誤差應該較小，-ln(0.9) 較小。

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當標簽為 0?時（非人臉），-ln(1-x)?是一個好的誤差函數。

• 當預測準時（預測非人臉，假設 0.1），那么誤差應該較小，- ln(1-0.1) 較大。?

• 當預測不準時（預測人臉，假設 0.9），那么誤差應該較大，-ln(1-0.9) 較小。

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根據下面兩張總結圖再鞏固一下 ln 函數作為誤差函數的邏輯。

接下來就是?GAN 中博弈，即生成器和辨別器放在一起會發生什么事情。

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生成器和辨別器放在一起

復習一下兩者的結構。

• 生成器：輸入是一個 0-1 之間的隨機數，輸出是圖片的像素矩陣

• 辨別器：輸入是圖片像素矩陣，輸出是一個概率值
  

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下面動圖展示了從生成器到辨別器的流程。

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因為該圖片是從生成器來的，不是真實圖片，因此一個好的辨別器會判斷這不是臉，那么使用標簽為 0 對應的誤差函數，-ln(1-prediction)。

反過來，一個好的生成器想騙過辨別器，即想讓辨別器判斷這是臉，那么使用標簽為 1?對應的誤差函數，-ln(prediction)。

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好戲來了，用 G 表示生成器，D 表示辨別器，那么

• G(z) 是生成器的產出，即像素矩陣，它也是辨別器的輸入

• D(G(z)) 是辨別器的產出，即概率，又是上面誤差函數里的 prediction

為了使生成器和辨別器都變強，我們希望最小化誤差函數

????-ln(D(G(z)) - ln(1-D(G(z))

其中 D(G(z)) 就是辨別器的 prediction。

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將我們得到的誤差函數對比 GAN 論文中的目標函數（下圖），發現還是有些差別：

解釋如下：

辨別器除了接收生成器產出的圖片 G(z)，還會接收真實圖片 x，在這時一個好的辨別器會判斷這是臉，那么使用標簽為 1?對應的誤差函數，-ln(-prediction)。那么對于辨別器，需要最小化的誤差函數是

????-ln(D(x))?-?ln(1-D(G(z))

將負號去掉，等價于最大化

????ln(D(x))?+?ln(1-D(G(z))

這個不就是 V(D,G) 么？此過程是固定生成器，來優化辨別器來識別假圖片。

V(D, G) 最大化后，在固定辨別器，來優化生成器來生成以假亂真的圖片。但是生成器的誤差函數不是 -ln(D(G(z))?嗎？怎么能和 V(D, G) 扯上關系呢？其實?-ln(D(G(z)) 等價于?ln(1-D(G(z))，這時 V(D, G) 的第二項，而其第一項 ln(D(x))?對于 G 是個常數，加不加都無所謂。

最后 V(D, G) 中的兩項都有期望符號，在實際優化中我們就通過 n 個樣本的統計平均值來實現。第一項期望中的 x 從真實數據分布 p_data(x) 中來，第一項期望中的 z 從特定概率分布 p_z(z) 中來。

綜上，先通過 D 最大化 V(D,G) 再通過 G 最小化 V(D, G)。

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訓練 GAN

在訓練中，當人臉來自生成器，通過最小化誤差函數，辨別器輸出概率值接近 0。

當人臉來自真實圖片，通過最小化誤差函數，辨別器輸出概率值接近 1。

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當然所有神經網絡的訓練算法都是梯度下降了。

OK，接下來的內容確實不適合普通小孩了，對數學和編程有強烈興趣的小孩可以繼續看下去 。

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數學推導

辨別器：從像素矩陣到概率

生成器：從隨機數 z 到像素矩陣

得到誤差函數相對于生成器和辨別器中的權重和偏置的各種偏導數后，就可以寫代碼實現了。

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Python 實現 - 準備工作

引入 numpy 和 matplotlib。

import numpy as np from numpy import random from matplotlib import pyplot as plt %matplotlib inline

編寫繪畫人臉像素的函數。

def view_samples(samples, m, n):fig, axes = plt.subplots(figsize=(10, 10), nrows=m, ncols=n, sharey=True, sharex=True)for ax, img in zip(axes.flatten(), samples):ax.xaxis.set_visible(False)ax.yaxis.set_visible(False)im = ax.imshow(1-img.reshape((2,2)), cmap='Greys_r') return fig, axes

畫出四張人臉，注意其像素矩陣中對角線上的數值大，非對角線上的數值小。

faces = [np.array([1,0,0,1]),np.array([0.9,0.1,0.2,0.8]),np.array([0.9,0.2,0.1,0.8]),np.array([0.8,0.1,0.2,0.9]),np.array([0.8,0.2,0.1,0.9])]_ = view_samples(faces, 1, 4)

畫出二十張非人臉，注意其像素矩陣中的數都是隨機的。

noise = [np.random.randn(2,2) for i in range(20)] def generate_random_image():return [np.random.random(), np.random.random(), np.random.random(), np.random.random()]_ = view_samples(noise, 4,5)

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Python 實現 - 構建辨別器

首先實現 sigmoid 函數。

def sigmoid(x):return np.exp(x)/(1.0+np.exp(x))

用面向對象編程（OOP）來編寫辨別器，代碼如下：

其中

• __init__() 是構建函數

• forward() 函數將像素矩陣打平成向量 x，乘上權重 w 加上偏置 b 得到得分，再通過 sigmoid() 函數轉成概率

• error_form_image() 計算當接收真實圖片為輸入的誤差函數

• error_form_noise()?計算當接收生成器為輸入的誤差函數

• derivatives_form_image()?計算當接收真實圖片為輸入誤差函數對權重 w 和偏置 b 的偏導數?

• derivatives_form_noise()?計算當接收生成器為輸入誤差函數對權重 w 和偏置 b 的偏導數?

• update_form_image()?計算當接收真實圖片為輸入時的梯度下降法

• update_form_noise()?計算當接收生成器為輸入時的梯度下降法

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Python 實現 - 構建生成器

用面向對象編程（OOP）來編寫生成器，代碼如下：

其中

• __init__() 是構建函數

• forward() 函數將隨機數?z 乘上權重 w 加上偏置 b 得到得分，再通過 sigmoid() 函數轉成像素

• error()?計算當固定辨別器為輸入的誤差函數，分兩步：

  • 生成器的 forward() 函數得到像素

  • 辨別器的 forward() 函數得到概率
    

• derivatives()?計算當固定辨別器為輸入誤差函數對權重 w 和偏置 b 的偏導數，對著上一節數學公式看代碼?

• update()?計算當固定辨別器為輸入時的梯度下降法

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Python 實現 -?訓練 GAN

設定 1000 期（epoch），即將數據遍歷 1000 遍開始訓練，記錄每期生成器和辨別器的誤差。

畫出生成器和辨別器的誤差函數圖，發現生成器逐步趨于穩定。

plt.plot(errors_generator) plt.title("Generator error function") plt.legend("gen") plt.show() plt.plot(errors_discriminator) plt.legend('disc') plt.title("Discriminator error function")

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Python 實現 -?結果展示

生成圖片。

generated_images = [] for i in range(4):z = random.random()generated_image = G.forward(z)generated_images.append(generated_image) _ = view_samples(generated_images, 1, 4) for i in generated_images:print(i)[0.94688171?0.03401213?0.04080795?0.96308679] [0.95653992?0.03437852?0.03579494?0.97063836] [0.95056667?0.03414339?0.03893305?0.96599501] [0.94228203?0.03386046?0.04309146?0.95941292]

打印出最終 GAN 的參數，即生成器和辨別器的權重和偏置。

print("Generator weights", G.weights) print("Generator biases", G.biases) print("Discriminator weights", D.weights) print("Discriminator bias", D.bias)Generator?weights?[ 0.70702123 0.03720449 -0.45703394 0.79375751] Generator?biases?[ 2.48490157 -3.36725912 -2.90139211 2.8172726 ] Discriminator?weights?[ 0.60175083 -0.29127513 -0.40093314 0.37759987] Discriminator?bias?-0.8955103005797729

帶有權重和偏置的 GAN 如下所示。

圖中粗線對應大權重，細線對應小或者負權重。對照前面生成器要生成逼真人臉的目標來看（即 2*2 矩陣的對角線上的值大），是不是這個權重很合理。

朋友們，你們弄懂了 GAN 了嗎？

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【机器学习】小孩都看得懂的 GAN的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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