21-5-22校賽J 下圍棋

給出一個節點個數為n的樹，其根節點為1，兩個人輪流操作，每一次操作可以選擇一個非根節點，刪除這個節點及其子樹，當一個人無法進行操作的時候，他就輸掉了。問后手是必勝還是必敗。

一個樹上的博弈問題，只能說自己的sg函數生疏了，也可能是根本沒有掌握好（可以考慮刷點博弈的題了）。
對于一個節點來說，其子節點所對應的每一個子樹都可以看做nim游戲當中的一個石堆，所以相當于每一個節點的sg函數的計算就是一個nim模型

然后就是一個樹上刪邊博弈問題，主要是為了證明一個結論：$$S{G}_A=S{G}_B+1(當A只有B這一個兒子節點)$$這個結論的證明是用的數學歸納法，當K個點滿足這個要求時，在B的子樹當中刪掉一條邊，可以轉移到$0$到$S{G}_B?1$當中任何一個值，此時A為根的數也是K個，可以轉移到$1$到$S{G}_B$當中任何一個值，且可以直接刪掉A使其為0，所以其SG函數值為$S{G}_B+1$

得到上面的結論之后，代碼實現是非常簡單的

const int N = 100010; int head[N], num, sg[N];struct edge {int nxt, to; }; edge e[N << 1];void addEdge(int x, int y) {e[++ num].nxt = head[x];head[x] = num;e[num].to = y; }void dfs(int x, int fa) {int temp = 0;for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){int to = e[i].to;if (to == fa) continue;dfs (to, x);temp ^= (sg[to] + 1);}sg[x] = temp; }int main() {int T;scanf ("%d", &T);while(T --){int n;scanf ("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i ++)head[i] = sg[i] = 0;num = 0;for (int i = 1; i < n; i ++){int u, v;scanf ("%d %d", &u, &v);addEdge(u, v);addEdge(v, u);}dfs(1, 0);if (sg[1] == 0)printf ("YES\n");elseprintf ("NO\n");}return 0; }

總結

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