codeforces 7.22 F Pairwise Modulo

給出n個數的數列a，每個數互不相同且都小于3e5，求出$q_k={\sum }_{1<=i,j<=k}{a}_{i}mod{a}_j$
其中n <= 2e5

題意很簡單，就是求出前1到n個數兩兩之間相互取mod之后的和，但是拿到題的時候一點思路都沒有，靠著題解過活。

分析$q_k$，可以將其分為兩個部分，一個是$s_k$，表示編號大的數mod編號小的數的和，另一個是$t_k$，表示編號小的數mod編號大的數。這兩個部分可以分開分析然后求和。容易得到$s_k=s_{k?1}+{\sum }_{i=1}^{k?1}{a}_{k}mod{a}_i$，把mod拆成兩個部分$a_{k}mod{a}_i=a_k?a_i?\frac{a_k}{a_i}?$，那么$s_k=s_{k?1}+(k?1)a_k?{\sum }_{i=1}^{k?1}{a}_i?\frac{a_k}{a_i}?$

關鍵就是最后面一個部分怎么求解。對于每個數$a_i$，當它后面加入一個新的數$a_k$時，這個部分對于答案的貢獻就是$?a_i?\frac{a_k}{a_i}?$。所以，當我們在加入$a_i$的時候，可以計算出對于其余可能出現的每一個數，對于答案的貢獻是多少。也就是，如果后面出現的數是0到$a_i?1$，那么貢獻為0；如果是$a_i$到$2a_i?1$，那么貢獻是$?a_i$;如果是$2a_i$到$3a_i?1$，那么貢獻是$?2a_i$，以此類推。這是一個區間修改，并且這個貢獻是可以疊加的，也就是說，它可以直接加在$a_{i?1}$對于$a_k$的貢獻上，當后面出現$a_k$時，不用去糾結這個貢獻是$a_{i?1}$還是$a_i$所帶來的。這就可以想到用線段樹維護。

不過會發現，每一次加一個數進去會進行$\frac{MAXN}{a_i}$次修改(MAXN==3e5)，不過我們已經知道了$a_i$兩兩互不相同。有一個結論：$$n/1+n/2+n/3+...+n/n=nlogn$$
來自ccpc綿陽站的痛苦面具

而$t_k$的轉化與$s_k$大同小異，$s_k$是區間修改單點查詢而$t_k$是區間修改單點查詢。

這樣復雜度是$O(nlo{g}^{2}MAXN)$，是可以過的。不過我T了，應該是線段樹常數太大，今天不想改了，有空學一下非遞歸線段樹。

并且由于我們需要的操作是區間修改單點查詢和區間修改單點查詢，那么可以用樹狀數組來維護，常數會優秀很多。

貼的是T的代碼，感受一下原理即可。

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更新：樹狀數組又好寫又快，換成樹狀數組的ac代碼了

const int N = 2e5 + 10, MAXN = 3e5 + 10;long long bitree[MAXN][2]; int a[N];inline int lowbit(int x) {return x & -x; }void change(int x, int d, int num) {while (x < MAXN){bitree[x][num] += d;x += lowbit(x);} }long long search(int x, int num) {long long ans = 0;while (x){ans += bitree[x][num];x -= lowbit(x);}return ans; }int main() {//freopen("in.txt", "r", stdin);//freopen("out.txt", "w", stdout);int T = 1;//T = read();while (T --){int n = read();long long ans = 0, sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++){a[i] = read();ans += (long long)(i - 1) * a[i];ans += sum;ans -= search(a[i], 0);for (int j = a[i]; j < MAXN; j += a[i])ans -= (search(min(MAXN - 1, j + a[i] - 1), 1) - search(j - 1, 1)) * (j / a[i]) * a[i];sum += a[i];for (int j = a[i]; j < MAXN; j += a[i]){change(j, (j / a[i]) * a[i], 0);change(j + a[i], -(j / a[i]) * a[i], 0);}change(a[i], 1, 1);cout << ans;if (i < n) cout << " ";}}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的codeforces 7.22 F Pairwise Modulo的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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