2D凸多邊形碰撞檢測算法（二） - GJK（上）

原理

在 Narrow Phase 精細碰撞檢測中，除了 SAT ，另外一個就是 GJK（Gilbert–Johnson–Keerthi）算法。它足夠高效，且很容易了解它是如何進行碰撞檢測的。同樣的，它也只適用于 凸多邊形 間的碰撞檢測。

首先，重新回顧一下：當兩個物體碰撞，發生部分重疊的時候，我們是怎樣讓計算機知道他們發生了碰撞呢？在上一篇中，SAT 告訴我們：

如果存在一條直線，能夠將兩個物體分隔開，則兩個物體沒有發生碰撞。
反之，如果兩個物體發生碰撞，則找不到這一條直線，將兩個物體分隔開。

SAT 讓我們從 分離 的角度，去思考物體間的碰撞。

而 GJK ，則是從 重疊 的角度來探索物體之間的碰撞。

為了方便理解，我們先創建兩個相互重疊的多邊形，并標記兩個多邊形重疊的部分：

目光聚焦到紅色的重疊部分，并想一想，它的幾何意義究竟是什么？

我們在中學就已經學過，兩個直線相交，會產生一個點。這個點都在這兩條直線上，這意味著，反應在坐標系上，兩條直線享有一個 共同的坐標 。而對于平面，就是無數條直線構成。兩個圖形產生了重疊，意味著他們有著一組共同的點， 共享一組坐標 。

而產生碰撞的條件是，兩個圖形必須 至少重合一個點 ，否則將不會產生碰撞。翻譯成計算機能聽懂的話：

“是否能從兩個圖形中，各自找到一個點，使得它們相減后為原點？”

這就是 GJK 算法的核心目的。當兩個圖形發生重疊時，他們 必然會有一個坐標，相減后為原點。

計算機想要“看見”兩個圖形重疊的部分，可以利用自身的計算優勢，把左邊整個圖形所包含的坐標 減去 右邊圖形所包含的坐標，并得到一系列的點。將所有計算后的點包圍起來，如果這個新生成的圖形 包含原點，則意味著兩個圖形發生了重疊，從而判斷兩個圖形發生了碰撞。我們把計算后的點稱為 閔可夫斯基差 ( Minkowski Difference )，將生成的三角形/線形稱為 單純形 ( Simplex )。

為了直觀地理解，我將兩個圖形所有坐標相減后的結果稱為 Minkowski Difference。實際上，似乎只存在 Minkowski Sum （閔可夫斯基和）這個說法。其實也可以理解為，將第二個圖形的所有坐標點取反后，加到第一個圖形的所有坐標點。

將兩個圖形所有的坐標相減，顯然不是我們能夠手算的。但是，我們可以根據多邊形的特點，只需將他們的頂點相減，就可以達成我們的目的。但是這樣，排列組合后，需計算 20 個點，這顯然也不是我們想要的，并且可能會出現多余的計算結果。所以，我們需要盡量得到足夠大的單純形，這樣才會提升包含原點的幾率。

在GJK 算法中，我們定義一個名為 support 的函數。在這個例子中，它的作用是這樣的：

假設初始方向為 ，那么將 黃色 多邊形的所有頂點投影到這個方向上，求出最大點。

再將初始方向取反， 。然后將 藍色 多邊形的所有頂點投影到這個方向上，求出最大點。

獲得的兩個點相減，即可得到兩個圖形的單純形上的一點。

為了便于理解，我們創建兩個多邊形，并且規定

為藍色圖形的位置坐標， 為黃色圖形的位置坐標，從 指向 為 support 函數的起始方向。我們的目標是至少能夠算出三個點，構成一個包含三個頂點的單純形。

第一次

依次按照上述步驟，我們得到這樣的一個結果：

得到黃色圖形在

方向上的最大投影點為來自于點 ，記錄坐標 ；得到藍色圖形在 方向 上的最大投影點為來自于點 ，記錄坐標 。

將兩個坐標相減，得到單純形上的一個頂點 ：

。

第二次

然后，我們將初始方向取反，作為新的初始方向，再進行如上的步驟：

得到黃色圖形在

方向上的最大投影點為來自于點 ，記錄坐標 ；得到藍色圖形在 方向上的最大投影點為來自于點 ，記錄坐標 。

將兩個坐標相減，得到單純形上的一個新的頂點 ：

。

第三次

之后，我們取與起始向量垂直的向量作為新的方向向量，值得注意的是，這樣的方向向量有兩個，一個是 指向原點的

，一個是 背離原點的 。

我們不妨以先背離原點的

作為新的方向，重復 support 函數。

得到黃色圖形在

方向上的最大投影點為來自于點 ，記錄坐標 ；得到藍色圖形在 方向 上的最大投影點為來自于點 ，記錄坐標 。

將兩個坐標相減，得到單純形上的一個新的頂點 ：

。

構造單純形

我們得到了三個點：

，畫出單純形：

我們似乎沒能構成一個包含原點的單純形。

如果我們換成

，計算后，我們將會得到一個新的點 。畫出這個新的單純形：

這一次，我們 幸運地 包含了原點！

從以上幾個步驟，不難看出， GJK 是一種 迭代算法，它需要不斷地檢測單純形是否包含原點。它退出迭代的條件是：

單純形包含原點

單純形最后添加的頂點與搜尋方向點乘小于0

到目前為止，我們離真正實現 GJK 碰撞檢測還有一段距離，以及碰撞之后，如何通過EPA算法，獲得它的穿透向量。這些內容，將在稍后的篇章中詳細介紹。

總結

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