編寫程序，求n至少為多大時(shí)，n個(gè)1組成的整數(shù)能被2013 整除。

使用python黑科技:

i = 1

while int('1' * i) % 2013:

i += 1

print(i)

不使用黑科技:

i = s = t = 1

while s % 2013:

i += 1

t = t * 10 % 2013

s = (s + t) % 2013

print(i)

而事實(shí)上可以從數(shù)論的角度看。

2013=3*11*61

，故:

欲被3整除，n得是3的倍數(shù)

欲被11整除，n得是2的倍數(shù)

故 n 是 6 的倍數(shù)。

而n個(gè)1若被 61 整除，則n個(gè)9亦然。因?yàn)?61 和 10 互素，由費(fèi)馬小定理知 60 符合條件。故只須嘗試 6，12，30 這三個(gè)數(shù)即可。

樓上已經(jīng)有答案了，但私以為沒(méi)有解釋的很詳細(xì)，因此才有此次回答。

首先，先列下本次回答的題綱:

代碼解法(由于沒(méi)有做要求，就用JS實(shí)現(xiàn)了)

數(shù)論解法(費(fèi)馬小定理)

代碼解法

function getMinDividedNum(n) {

var sum = 1,

len = 1;

while (sum % n) {

len++;

sum = (sum % n) * 10 + 1;

}

return len;

}

// 測(cè)試用例-注意，并不是所有數(shù)字都能輸入，只能是素?cái)?shù)或者由素?cái)?shù)乘積組成的數(shù)

var num = 2013;

console.log('n:' + num + ',len:' + getMinDividedNum(num));

//輸出:n:2013,len:60

代碼詳解

以上代碼的核心其實(shí)就是判斷

1,11,111

等N位數(shù)能否被n整除，也就是

sum=sum*10+1

。

但是考慮到最大值邊界問(wèn)題，于是將上述公式換為了

sum= (sum % n)*10+1

之所以能這樣轉(zhuǎn)換，是因?yàn)? (舉例)

譬如判斷

111

是否能被3整除

可以是

(1*10+1)*10+1

也可以是判斷

第一步: 1%3=1 (1整除3的余數(shù)為1)

第二步: 11%3=2 (11整除3的余數(shù)為2)

第三步: 21%3=0 (符合條件)

換一個(gè)思路，假如判斷(8+7)是否能被3整除，那么我們只需要現(xiàn)將它們能被3整除的部分去除調(diào)，用余數(shù)累加起來(lái)判斷即可，也就是說(shuō)只需要判斷

2+1

能否被3整除即可

數(shù)論解法

費(fèi)馬小定理簡(jiǎn)介

首先得知道的是，費(fèi)馬小定理是歐拉定理的一種特殊情況，歐拉定理描述的是關(guān)于同余的性質(zhì)，而費(fèi)馬定理如下:

假如a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)(兩者只有一個(gè)公約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1

即

a^(p-1)%p=1

費(fèi)馬小定理在本題中的應(yīng)用

關(guān)鍵來(lái)了，本題與費(fèi)馬小定理有什么關(guān)系呢？

如上樓中有人提到，本題中，

2013=3*11*61

，所以需要滿足

能被3整除

能被11整除

能被61整除

而前兩者很容易就根據(jù)下面的條件判斷出:

若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。

若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。

因此馬上就可以將條件轉(zhuǎn)換為:

n得是3的倍數(shù)(因?yàn)閚個(gè)1加起來(lái)要是3的倍數(shù))

n得是2的倍數(shù)(奇位和偶數(shù)直接的差為0)

因此n是6的倍數(shù)

n個(gè)1這個(gè)數(shù)(x)能被61整除

接下來(lái)就剩下了一個(gè)問(wèn)題: n個(gè)1能被61整除，需要滿足什么？接下來(lái)費(fèi)馬小定理就派得上用處了。

我們可以得知: 61和10互素。

所以套用上述的公式，可以得出:

10^(60)%61=1

所以:

10^(60)-1=0 (mod 61)

而

10^60 -1

就是

60個(gè)9組成的數(shù)

，也就是說(shuō) 60個(gè)9組成的數(shù)能夠被61整除。

那么自然60個(gè)1組成的數(shù)能夠被61整除(因?yàn)?1與3無(wú)關(guān))，同時(shí)60又是6的倍數(shù)，因此滿足條件。

更新，之前有不嚴(yán)謹(jǐn)之處

繼續(xù)判斷，60的符合條件的約數(shù)(6的倍數(shù))有，6，12，30，60。

檢查計(jì)算得出后可以知道只有60滿足條件。

因此得出了結(jié)論: n至少為60時(shí)，n個(gè)1組成的數(shù)能夠被2013整除

function sum($num,$int=1){

$sum = 0;

foreach (range(0,$num-1) as $key => $value) {

$sum += $int*pow(10,$value);

}

return $sum;

}

$i=1;

while($i++) {

if (sum($i) % 2013 == 0) {

echo $i;//26

break;

}

}

var num = 2013;

var pow = Math.pow;

var floor = Math.floor;

var result = '';

var temp = 0;

var i = 0;

var flag = true;

while(flag){

for (var n = 0; n < 10; n++) {

if ((3 * n + (temp%10)) % 10 === 1) {

result = n + result;

temp = floor((num*result)/pow(10, i + 1));

break;

}

}

if(/1{3,4}/.test(temp.toString())){

flag = false;

}

i++;

}

console.log(result);//55196776508251918087983661754153557432245956836120770547

console.log(result*2013);//1.1111111111111112e+59

跟樓上大神推理的結(jié)果一致，60個(gè)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的n个1组成的整数能被2013整除c语言,求大神解算法，“编写程序，求n至少为多大时，n个1组成的整数能被2013 整除。”...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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