深入學習二叉樹(三) 霍夫曼樹

1 前言

霍夫曼樹是二叉樹的一種特殊形式，又稱為最優二叉樹，其主要作用在于數據壓縮和編碼長度的優化。

2 重要概念

2.1 路徑和路徑長度

在一棵樹中，從一個結點往下可以達到的孩子或孫子結點之間的通路，稱為路徑。通路中分支的數目稱為路徑長度。若規定根結點的層數為1，則從根結點到第L層結點的路徑長度為L-1。

圖2.1所示二叉樹結點A到結點D的路徑長度為2，結點A到達結點C的路徑長度為1。

2.2 結點的權及帶權路徑長度

若將樹中結點賦給一個有著某種含義的數值，則這個數值稱為該結點的權。結點的帶權路徑長度為：從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。
圖2.2展示了一棵帶權的二叉樹

2.3 樹的帶權路徑長度

樹的帶權路徑長度規定為所有葉子結點的帶權路徑長度之和，記為WPL。
圖2.2所示二叉樹的WPL：
WPL = 6 * 2 + 3 * 2 + 8 * 2 = 34；

3 霍夫曼樹

3.1 定義

給定n個權值作為n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若帶權路徑長度達到最小，稱這樣的二叉樹為最優二叉樹，也稱為霍夫曼樹(Huffman Tree)。
如圖3.1所示兩棵二叉樹

葉子結點為A、B、C、D，對應權值分別為7、5、2、4。
3.1.a樹的WPL = 7 * 2 + 5 * 2 + 2 * 2 + 4 * 2 = 36
3.1.b樹的WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3 = 35
由ABCD構成葉子結點的二叉樹形態有許多種，但是WPL最小的樹只有3.1.b所示的形態。則3.1.b樹為一棵霍夫曼樹。

3.2 構造霍夫曼樹

構造霍夫曼樹主要運用于編碼，稱為霍夫曼編碼。現考慮使用3.1中ABCD結點以及對應的權值構成如下長度編碼。
AACBCAADDBBADDAABB。
編碼規則:從根節點出發，向左標記為0，向右標記為1。
采用上述編碼規則，將圖3.1編碼為圖3.2所示：

構造過程：
3.1.a所示二叉樹稱為等長編碼，由于共有4個結點，故需要2位編碼來表示，編碼結果為：

則AACBCAADDBBADDAABB對應編碼為：
00 00 10 01 10 00 00 11 11 01 01 00 11 11 00 00 01 01
長度為36。
3.1.b構造過程如下：
1）選擇結點權值最小的兩個結點構成一棵二叉樹如圖3.3：

2）則現在可以看作由T1，A，B構造霍夫曼樹，繼續執行步驟1。
選則B和T1構成一棵二叉樹如圖3.4：

3）現只有T2和A兩個結點，繼續執行步驟1。
選擇A和T2構成一棵二叉樹如圖3.5：

經過上述步驟則可以構造完一棵霍夫曼樹。通過觀察可以發現，霍夫曼樹中權值越大的結點距離根結點越近。
按照圖3.5霍夫曼樹編碼結果：

則AACBCAADDBBADDAABB對應編碼為：
0 0 110 10 110 0 0 111 111 10 10 0 111 111 0 0 10 10
編碼長度為35。
由此可見，采用二叉樹可以適當降低編碼長度，尤其是在編碼長度較長，且權值分布不均勻時，采用霍夫曼編碼可以大大縮短編碼長度。

3.3 代碼實現

#include <iostream> #include <stdlib.h> using namespace std; const int MaxValue = 10000;//初始設定的權值最大值 const int MaxBit = 4;//初始設定的最大編碼位數 const int MaxN = 10;//初始設定的最大結點個數 struct HaffNode//哈夫曼樹的結點結構 {int weight;//權值int flag;//標記int parent;//雙親結點下標int leftChild;//左孩子下標int rightChild;//右孩子下標 }; struct Code//存放哈夫曼編碼的數據元素結構 {int bit[MaxBit];//數組int start;//編碼的起始下標int weight;//字符的權值 }; void Haffman(int weight[], int n, HaffNode haffTree[]) //建立葉結點個數為n權值為weight的哈夫曼樹haffTree {int j, m1, m2, x1, x2;//哈夫曼樹haffTree初始化。n個葉結點的哈夫曼樹共有2n-1個結點for (int i = 0; i<2 * n - 1; i++){if (i<n)haffTree[i].weight = weight[i];elsehaffTree[i].weight = 0;//注意這里沒打else那{}，故無論是n個葉子節點還是n-1個非葉子節點都會進行下面4步的初始化haffTree[i].parent = 0;haffTree[i].flag = 0;haffTree[i].leftChild = -1;haffTree[i].rightChild = -1;}//構造哈夫曼樹haffTree的n-1個非葉結點for (int i = 0; i<n - 1; i++){m1 = m2 = MaxValue;//Maxvalue=10000;(就是一個相當大的數)x1 = x2 = 0;//x1、x2是用來保存最小的兩個值在數組對應的下標for (j = 0; j<n + i; j++)//循環找出所有權重中，最小的二個值--morgan{if (haffTree[j].weight<m1&&haffTree[j].flag == 0){m2 = m1;x2 = x1;m1 = haffTree[j].weight;x1 = j;}else if(haffTree[j].weight<m2&&haffTree[j].flag == 0){m2 = haffTree[j].weight;x2 = j;}}//將找出的兩棵權值最小的子樹合并為一棵子樹haffTree[x1].parent = n + i;haffTree[x2].parent = n + i;haffTree[x1].flag = 1;haffTree[x2].flag = 1;haffTree[n + i].weight = haffTree[x1].weight + haffTree[x2].weight;haffTree[n + i].leftChild = x1;haffTree[n + i].rightChild = x2;} } void HaffmanCode(HaffNode haffTree[], int n, Code haffCode[]) //由n個結點的哈夫曼樹haffTree構造哈夫曼編碼haffCode {Code *cd = new Code;int child, parent;//求n個葉結點的哈夫曼編碼for (int i = 0; i<n; i++){//cd->start=n-1;//不等長編碼的最后一位為n-1,cd->start = 0;//,----修改從0開始計數--morgancd->weight = haffTree[i].weight;//取得編碼對應權值的字符child = i;parent = haffTree[child].parent;//由葉結點向上直到根結點while (parent != 0){if (haffTree[parent].leftChild == child)cd->bit[cd->start] = 0;//左孩子結點編碼0elsecd->bit[cd->start] = 1;//右孩子結點編碼1//cd->start--;cd->start++;//改成編碼自增--morganchild = parent;parent = haffTree[child].parent;}//保存葉結點的編碼和不等長編碼的起始位//for(intj=cd->start+1;j<n;j++)for (int j = cd->start - 1; j >= 0; j--)//重新修改編碼，從根節點開始計數--morganhaffCode[i].bit[cd->start - j - 1] = cd->bit[j];haffCode[i].start = cd->start;haffCode[i].weight = cd->weight;//保存編碼對應的權值} } int main() {int i, j, n = 4, m = 0;int weight[] = { 2,4,5,7 };HaffNode*myHaffTree = new HaffNode[2 * n - 1];Code*myHaffCode = new Code[n];if (n>MaxN){cout << "定義的n越界，修改MaxN!" << endl;exit(0);}Haffman(weight, n, myHaffTree);HaffmanCode(myHaffTree, n, myHaffCode);//輸出每個葉結點的哈夫曼編碼for (i = 0; i<n; i++){cout << "Weight=" << myHaffCode[i].weight << " Code=";//for(j=myHaffCode[i].start+1;j<n;j++)for (j = 0; j<myHaffCode[i].start; j++)cout << myHaffCode[i].bit[j];m = m + myHaffCode[i].weight*myHaffCode[i].start;cout << endl;}cout << "huffman's WPL is:";cout << m;cout << endl;return 0; }

4 結語

本文主要介紹了霍夫曼樹的實際意義和如何構造一棵二叉樹。學習霍夫曼樹主要是掌握霍夫曼樹的構造思想以及構造過程，至于代碼實現則是次要的，而且霍夫曼編碼實現過程中運用到了貪心算法。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的深入学习二叉树(三) 霍夫曼树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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