语言非递归求解树的高度_算法素颜（11）：无死角“盘”它！二分查找树
引言
《菜鳥也能“種”好二叉樹！》一文中提到了：為了方便查找，需要進行分層分類整理。而滿足這種目標的數據結構之一就是樹。
樹的葉子節點可以看作是最終要搜尋的目標物；葉子節點以上的每一層，都可以看作是一個大類別、層中的每個節點都可以看作是一個小類別。
從上圖可以看出，要定位目標物，就需要從最上面的大類依次向下定位目標物所屬的小類。
定位的效率(時間復雜度)取決于兩個因素：
研究問題都講究由簡到繁，那就讓我們先來看看最簡單的情形——分岔數最小的情形——二叉樹。
二叉樹的每層節點只有兩個節點，這表示只有兩個小類。定位屬于哪個小類時，需要做比較。比較的次數越少、比較的方法越簡單，效率也就越高。
比較次數再怎么少也得1次、最簡單的比較方法就是比大小。為了滿足這個目標，前輩們就對一般二叉樹加了如下規則：
每個非葉子節點的左孩子的值不大于該節點本身的值；右孩子的值不小于該節點本身的值。
這樣的二叉樹就稱為“二分查找樹”。
二分查找樹的數學思想
將二分查找樹從根節點(最大類)到葉子節點(目標物)的路徑扒出來，垂直放置之后就如下圖左部所示。再“倒”下來水平放置之后，就如下圖右部所示。
由此可以看出，從最大類到目標物的查找過程，其實就是從大類不斷逼近目標物的過程。
這個思想的本質其實就是數學的“逼近法”——不斷縮小范圍、直至不可再小，最終剩下的即為所求。
“逼近法”思想大量在數學中應用。牛頓當年發明微積分，其證明過程其實采用的也是“逼近法”。具體可以參見牛頓的曠世巨著《自然哲學的數學原理》第一編《物體的運動》的第1章《初量與終量的比值方法》的引理2。
牛頓
《自然哲學的數學原理》
二分查找法
基于二分查找樹數據結構的搜索算法稱為“二分查找法”。
二分查找樹是一個遞歸定義，所以很容易得出遞歸版的二分查找法。
下面以鏈表形式存儲的二分查找樹為例，數組形式存儲的，可以根據父子節點下標的線性關系(《菜鳥也能“種”好二叉樹！》一文中的推論5.2.1)，類似推導，在此就不贅述了。
還是根據《史上最猛之遞歸屠龍奧義》一文中的老套路，轉換成非遞歸版本：
整個算法的時間開銷主要由do-while循環體的循環次數決定。很顯然，在最壞情況下，循環次數等于二叉查找樹的高度。假設樹的節點總數為N，則根據《菜鳥也能“種”好二叉樹！》一文中的結論，高度等于logN，從而時間復雜度等于O(logN)。
二分查找樹的節點插入算法
向二分查找樹插入新節點很簡單，從根節點開始，根據定義逐層比較、進入對應子樹下沉、直至葉子節點：
對應的遞歸版算法代碼如下：
還是根據《史上最猛之遞歸屠龍奧義》一文中的老套路，轉換成非遞歸版本：
可以看出，整個算法結構與二分查找樹的搜索算法類似，時間復雜度也是O(logN)。
二分查找樹的節點刪除算法
直接刪除節點，會破壞二叉樹的結構，需要進行調整。
首先需要有節點補上被刪節點的空缺。這個“補漏”有兩個策略：
稍微想一想，就會知道第一種策略比較復雜，因為你需要在一開始就通盤考慮，復雜度很高；
第二種策略其實是一種局部性原理思想——先局部求解、再逐步遞進到全局解。這種局部性原理思想在整個計算機科學中大量使用：比如虛擬內存管理、人工智能的爬山算法等等。
第二種策略其實我們在上一篇《二叉堆“功夫熊貓”的速成之路》中的“Top N”章節中也提到了。有興趣的朋友也可以翻回去看看。
具體實操上，和“Top N”的方法一樣，我們用尾節點“補漏”被刪節點。
上面三張圖形象描繪了整個替換、下推調整的過程。
這里啰嗦一句：因為要先得到尾節點的位置，然后再回到待刪節點位置——這涉及到遍歷和回溯，若采用鏈表存儲整個二叉查找樹的話，就不是很方便。所以針對節點刪除場景，用數組更簡單。
但為了“炫技”，筆者在這里就挑最復雜的單向鏈表式、非遞歸版算法來實現一下：)
最壞情況無外乎刪除根節點——這種情況下下推的距離最長——極限情況下，要下推整個二分查找樹的高度。所以這個算法的時間復雜度不超過O(logN)。
至于數組式、遞歸版算法，讀者可以根據《史上最猛之遞歸屠龍奧義》和《二叉堆“功夫熊貓”的速成之路》中講到的套路，自行推導。
做一棵“穩重的”二分查找樹
上面兩棵二分查找樹是等價的，但是可以很明顯看出：第一棵一些分支會向一邊傾斜，而第二棵就顯得“穩重”多了。
試想，你要搜索值為17的節點。按照前面二分查找樹的搜索算法，對于第一棵樹，從根節點開始，一共需要進行4次比較才能找到；而對于第二棵樹，只需要進行1次比較就能找到！
為什么會有這么大的差別呢？
答案在于：第二棵樹是一棵“平衡二叉樹”，它的“穩重”特點實現了一個目標——平均查找長度最短。
下一篇文章我們就來“盤盤”平衡二叉樹。
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《算法素顏》系列連載往期回顧：
《走下神壇吧！算法》
《掃雷還可以這樣玩》
《KO！大O——時間復雜度》
《空間復雜度你真的懂了嗎?》
《小白也能玩轉數組和鏈表啦！》
《再不會"降維打擊"你就Out了!》
《神力加身！動態編程》
《史上最猛之遞歸屠龍奧義》
《菜鳥也能“種”好二叉樹！》
《二叉堆“功夫熊貓”的速成之路》
總結
以上是生活随笔為你收集整理的语言非递归求解树的高度_算法素颜（11）：无死角“盘”它！二分查找树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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