離散傅里葉變換（DFT）

離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform）的實質是有限長序列傅里葉變換的有限點離散采樣，實現了頻域離散化，使數字信號處理可以在頻域采用數值運算的方法進行，增大了數字信號處理的靈活性。

一、DTF的定義

設x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變化為：

逆變換為：

二、DFT與傅里葉變換的關系

上述式子說明了：DFT的X(k)是x(n)傅里葉變換X(e^jw)在區間[0,2π]上的N點等間隔采樣。

三、DFT與Z變換的關系

**上述式子說明了：DFT的X(k)是Z變換X(z)在單位圓上的N點等間隔采樣

四、DFT的性質

（1）線性

（2）循環位移

設x(n)為有限長序列。長度為M，M≤N，則x(n)的循環位移為

循環過程如下所示：

（3)時域循環移位定理

設x(n)是長度為M(M≤N)的有限長序列，y(n)為x(n)的循環移位。即:
則：
證明過程如下：

令n+m=n’，則有

（4)頻域循環移位定理

同（3）

（4)復共軛序列的DFT

設x*(n)是x(n)的復共軛序列，長度為N，則
證明如下，根據DFT唯一性

五、用DFT進行譜分析的誤差

(1)混疊現象：

對連續信號進行譜分析時，首先要對其采樣，由時域連續變時域離散信號，再用DFT（FFt）進行譜分析。采樣速率必須滿足采樣定理，否則會在w=π附近發生頻率混疊現象。
對于Fs確定的情況，一般在采樣前進行預濾波，濾除高于折疊頻率Fs/2的頻率成分

（2）柵欄效應：

N點DFT是在頻率區間[0,2π]上對時域離散信號的頻譜進行N點等間隔采樣，二采樣點之間的頻譜是看不到的。
采用提高頻率分辨率，對原序列尾部補零，增大截取長度及DFT變換區間長度等方法解決柵欄效應

（3）截斷效應

對無限長序列進行譜分析時，需要將其截斷 成有限長序列。
影響有
（1）泄露
（2）譜間干擾

六、用Python語言編寫DFT算法

編程思路：
1、利用歐拉公式

得到
2、幅值計算

計算sin(0.4pin+pi/3)+10sin(0.2pin+pi/4)

代碼如下：

from math import * import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def signal(n):return (sin(0.4 * pi * n + pi / 3) + 10 * sin(0.2 * pi * n + pi / 4))# 生成WN項 def wn_k(k, n, N):return complex(cos(2 * pi * n * k / N), sin(-2 * pi * n * k / N))amplitude = [] # 準備一個空列表 power_spectrum = [] sums = 0# 256點DFT，X(0)到X(255) for k in range(0, 256):for n in range(1, 257):# n的取值為從1到256sums = sums + signal(n) * wn_k(k, n, 256)amplitude.append(sums)sums = 0print(amplitude, len(amplitude))for i in range(0, 256):power_spectrum.append(amplitude[i] ** 2)plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(np.abs(amplitude)) plt.title("amplitude_spectrum") plt.subplot(2, 1, 2) plt.plot(np.abs(power_spectrum)) plt.title("power_spectrum") plt.show()

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字信号处理学习笔记（一）|离散傅里叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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