真正優秀的學生是善于方法和知識的總結、歸類、完善！多做題多思考多總結。一題多解找巧法，多題一解找通法今天包sir為大家盤點的是運動的合成與分解~希望大家能夠從中有所收獲！業精于勤荒于嬉希望大家考上理想的大學，不留遺憾！

小編亂入

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知知識會識會

知識會

01?一個平面運動的實例

1.? 建立坐標系

如下圖所示，為研究密封在玻璃管內水中蠟塊的運動，以蠟塊開始運動的位置為原點O建立坐標系．

蠟塊在浮力的作用下恰能以速度v1沿y軸方向做勻速直線運動．

玻璃管能以速度v2沿x軸方向做勻速直線運動．

若在玻璃管沿x軸方向做勻速直線運動的同時釋放小蠟塊，則小蠟塊的運動情況如下圖所示．

2.? 蠟塊運動的軌跡

從蠟塊開始運動的時刻計時，在某時刻t，蠟塊的位置P可以用它的x、y兩個坐標表示，即

x＝v₂t

y＝v₁t

以上兩式聯立，消掉t，可得

由于v₁和v₂都是常量(這里說的“常量”，指的是它不隨位置、時間變化.)所以也是常量，可見代表的是一條過原點的直線，這樣就用數學語言表達了蠟塊的運動軌跡是一條過原點的直線．

3.? 蠟塊運動的速度、位移

由上圖所示，蠟塊運動的速度為

方向：tan θ＝

由上圖所示，蠟塊位移的大小l＝

02運動的合成與分解

如下圖所示，在上面的例子中，蠟塊沿y軸方向的運動和沿x軸方向的運動都叫作分運動；而蠟塊相對于地面實際進行的運動叫作合運動．

由分運動求合運動的過程，叫作?運動的合成?；由合運動求分運動的過程，叫作?運動的分解?．運動的合成與分解互為逆運算．

運動的合成與分解遵從?平行四邊形?定則或三角形定則．

1.? 合運動與分運動的特性

(1)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他分運動的影響．

(2)等時性：各分運動經歷的時間與合運動經歷的時間?相等?，求物體的運動時間時，可選擇一個簡單的運動進行求解．

(3)等效性：各分運動疊加起來與合運動有相同的效果，即分運動與合運動可以等效替代．這樣為了解題方便，我們就可以根據解題的需要進行運動的合成和分解．

(4)同體性：各分運動與合運動是同一個物體的運動．

運動的合成與分解

實驗演示：運動的合成和分解

2.?? “三步走”求解合運動或分運動

(1)根據題意確定物體的合運動與分運動．

(2)利用“化曲為直”的思想把曲線運動分解為兩個方向上的直線運動，根據平行四邊形定則作出矢量合成或分解的平行四邊形．

(3)根據所畫圖形求解合運動或分運動的參量，求解時可以利用勾股定理、三角函數等數學知識．

示范例題

例題1.(單選題)關于合運動與分運動，下列說法正確的是(? ? )

A．合運動的速度等于兩個分運動的速度之和

B．合運動的時間一定等于分運動的時間

C．兩個直線運動的合運動一定是直線運動

D．合運動的速度方向一定與其中某一分速度方向相同

【答案】B

【解析】根據平行四邊形定則知，合運動的速度可能比分運? 動的速度大，可能比分運動的速度小，可能與分運動的速度 相等，故A錯誤；

合運動與分運動具有等時性，故B正確；

兩個直線運動的合運動不一定是直線運動，故C錯誤；

合運動的速度方向可能與某一分運動的速度方向相同，也可能不同，故D錯誤．

K重難

01?兩個互成角度的直線運動的合運動

1.? 合運動性質的判斷

2.? 兩個互成角度的直線運動的合運動性質的判斷

根據合加速度方向和合初速度方向的關系，判定合運動是直線運動還是曲線運動，具體分為以下幾種情況：

(1)兩個勻速直線運動的合運動一定是??勻速直線??運動．

(2)兩個初速度均為零的勻變速直線運動的合運動一定是??初速度為零的勻變速直線運動．

(3)一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動是?勻變速?運動，當二者速度方向共線時為勻變速直線運動，不共線時為勻變速曲線運動．

(4)兩個勻變速直線運動的合運動一定是?勻變速?運動．

若兩運動的合初速度方向與合加速度方向在同一條直線上，則合運動是勻變速直線運動，如下圖所示．

若合初速度方向與合加速度方向不在一條直線上，則合運動是勻變速曲線運動，如下圖所示．

兩個直線運動的合運動性質的判斷

示范例題

例題1.(單選題)關于兩個運動的合運動，下列說法中正確的是(????? )

A．兩個直線運動的合運動一定是直線運動

B．兩個互成角度的勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動

C．兩個互成角度的勻變速直線運動的合運動一定是勻變速直線運動

D．兩個分運動的時間和它們的合運動的時間不相等

【答案】B

【解析】兩個分運動是直線運動，其合運動不一定是直線運動；兩個勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動，故選項B正確，A錯誤．

兩個互成角度的勻變速直線運動，合初速度為v，合加速度為a，由物體做曲線運動的條件可知，當v與a共線時，合運動為勻變速直線運動，當v與a不共線時，合運動為勻變速曲線運動，故選項C錯誤．

分運動和合運動具有等時性，故選項D錯誤．

例題2.(單選題)如下圖所示，一塊橡皮用不可伸長的細線懸掛于O點，用鉛筆靠著細線的左側水平向右勻速移動，運動中始終保持懸線豎直，則橡皮運動的速度(????? )

A．大小和方向均不變

B．大小不變，方向改變

C．大小改變，方向不變

D．大小和方向均改變

【答案】A

【解析】橡皮參與了兩個分運動，一個是沿水平方向與鉛筆速度相同的勻速直線運動，另一個是沿豎直方向與鉛筆移動速度大小相等的勻速直線運動，這兩個直線運動的合運動是斜向上的勻速直線運動，故選項A正確．

點撥

?先確定兩個分運動，再確定合運動．

(1)橡皮在水平方向做勻速直線運動，在豎直方向也做勻速直線運動．

(2)橡皮的實際運動是兩個勻速直線運動的合運動．

02?小船渡河問題

1.? 小船渡河問題可以基于以下幾點進行理解和分析

(1)將船的實際運動看成船隨水流的運動和船在靜水中的運動的合運動．船的航行方向是實際運動的方向，即合速度的方向．

(2)如下圖所示，v_水表示水流速度，v_靜水表示船在靜水中的速度，將船在靜水中的速度v_靜水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，則v_水－v_靜水cos θ為船實際上沿水流方向的運動速度，v_⊥＝v_靜水sin θ為船在垂直于河岸方向的運動速度．兩個方向的運動情況相互獨立、互不影響．

2.? 兩類渡河問題

2-1 渡河時間最短問題

問題：船在靜水中的速度為v_船，水流的流速為v_水．船怎樣行駛才能使過河時間最短呢？最短時間是多少呢？

解決：為船任意選擇一個行駛方向進行研究，如下圖所示，船頭與河岸的夾角為θ．那么，船速可以分解為：用以過河的v₁和順流而下的v₂，v₁垂直于河岸，v₂平行于河岸．

v₁=v_船sin θ

v₂=v_船cos θ

(1)從物理角度分析，順流而下的速度v₂對過河毫無意義，他疊加到水速的效果上，只是使船沿河向下游的速度變大了而已．只有v₁才有意義．那么當船頭垂直于河岸行駛時，速度就不會浪費了，所以船頭應該垂直于河岸行駛．

(2)從數學角度分析，當時，v₁最大，過河時間最短．

以上兩種分析方法殊途同歸，得到相同的結論：

敲黑板

雖然這樣過河時間最短，但是，位移不是最短的哦！小船真實的運動軌跡如下圖所示．

小船如何渡河時間最短

2-2? ?渡河位移最小問題

(1)問題1：船在靜水中的速度為v_船，水流的流速為v_水，v_船>v_水．船怎樣行駛才能使過河的位移最短呢？最短位移是多少呢？過河時間是多少呢？

分析：船即使不開動自己的動力，也能獲得一個水給它的速度v_水，即船順流而下．船還有自己的動力能產生速度v_船．

船頭朝向不同，船行駛的真實軌跡就會不同，這樣船可以行駛出無數條軌跡．很明顯其中垂直于河岸的軌跡位移最短．

解決：

①合成法

水給予船的漂流速度大小和方向不變，為了使船的真實軌跡垂直于河岸，就需要通過調整船頭方向，使船速與水流速合成一個垂直于河岸的實際過河速度，如下圖所示．其中：設船與河岸的夾角為α，則

②分解法

為了抵消水流的影響，船必須有一個逆流而上的速度v_船1，且v_船1=v_水，另外船還必須有一個垂直于河岸過河的速度v_船2，它們是v_船的兩個分速度．所以，船頭必須沿斜向上游方向行駛．設船與河岸的夾角為α，則

以上兩種分析方法殊途同歸，得到相同的結論：

敲黑板

雖然這樣過河位移最短，但是，時間不是最短的哦！

(2)問題2：船在靜水中的速度為v船，水流的流速為v水，v船

分析：船是否能垂直河岸過河呢？因為v船船走不出垂直于河岸的軌跡．

雖然走不出垂直于河岸的軌跡，但是由于船頭不同的指向，依然可以走出無數條不同的軌跡，在這些軌跡中跟河岸的夾角最大的軌跡位移最短．

解決：當船頭指向與水流方向成θ角時，依據運動合成的平行四邊形定則，船的實際運動速度v合表示如圖．

應用矢量三角形法則，平移v船，使v船和v水首尾相接，連接v水的首端和v船的尾端的有向線段就是v合．

隨著船頭指向變化，v船繞著v水的尾端形成一個半圓，v水不變，v合的大小與方向均發生變化．當v合與半圓相切時，與河岸的夾角最大，這時船過河的位移最短．

當v合與半圓相切時，v合與v船成直角，設船頭跟河岸的夾角為α，則有：

cos α=v船/v水，(α與θ互補)

v合=v水sin α

最短位移xmin＝d/cos α

過河時間t=d/(v船sin α)

劃重點

當面對復雜問題沒有頭緒的時候，聰明的人總是先任選一種情況進行探索，找一下規律，例如剛才我們就是通過研究船頭與河水流向成θ角時的情況找到了解決問題的方法．

小船如何渡河距離最短？

示范例題

例題1.(解析題)小船要渡過200m寬的河，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s．

(1)若小船的船頭始終正對對岸，它將在何時、何處到達對岸？

(2)要使小船到達正對岸，應如何航行？歷時多久？

(3)小船渡河的最短時間為多少？

(4)若水流速度為5 m/s，船在靜水中的速度為3 m/s，則怎樣渡河才能使船駛向下游的距離最小？最小距離為多少？(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，結果取整數)

【答案】(1)50s時在正對岸下游100m處靠岸；

(3)50s；

(4)船頭與上游河岸的夾角為53°；最小距離為267m；

【解析】(1)小船渡河過程參與了兩個分運動，即船隨水流的運動和船在靜水中的運動．因為分運動之間具有獨立性和等時性，故小船渡河時間等于它在垂直河岸方向上的分運動的時間，即

小船沿水流方向的位移

s水＝v水t⊥＝2×50m＝100m

即小船將在正對岸下游100m處．

(2)要使小船到達正對岸，即合速度v應垂直于河岸，如下圖所示．

則

(3)考慮一般情況，設船頭與上游河岸成任意角α，如下圖所示．

小船的渡河時間取決于小船垂直于河岸方向上的分速度

v⊥＝v靜水sin α

故小船渡河時間為

當α＝90°，即船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間為??tmin＝50s．

(4)因為v′靜水

設船頭(v′靜水)與上游河岸成β角，合速度v′與下游河岸成γ角，可以看出γ角越大，船駛向下游的距離x′越小．以v′水矢量的末端為圓心，以v′靜水的大小為半徑畫圓，當合速度v′與圓相切時，γ角最大．

船頭與上游河岸的夾角

β＝53°

代入數據解得

x′≈267m．

點撥

小船渡河問題主要考查合運動與分運動的關系，要弄清物理情境．要使小船渡河的時間最短，只要小船在靜水中的速度方向垂直河岸即可，但是求渡河的最小位移時，要注意小船在靜水中的速度與水流速度的大小關系，選用不同的分析方法．在分析求解具體問題時，要明確小船渡河時其航行的方向為合速度的方向，這是解答此類問題的關鍵．

03實際運動中的關聯速度問題

關聯速度問題一般是指物拉繩(或桿)和繩(或桿)拉物問題．高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長且不可壓縮的，即繩或桿的長度不會改變．

1.? 速度規律

繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關聯速度．

2.? 解決關聯速度問題的一般步驟

第一步：先確定合運動，即物體的實際運動．

第二步：確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿繩(或桿)方向的平動效果，這個效果改變速度的大小；二是沿垂直于繩(或桿)方向的轉動效果，這個效果改變速度的方向．即將實際速度分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)方向的兩個分量．

第三步：按平行四邊形定則進行分解，作出運動矢量圖．

第四步：根據沿繩(或桿)方向的速度相等列方程求解．

3.? 常見的模型

3-1 車拉船模型

問題：車拉船運動，車勻速前進，速度為v，當繩與水平方向成α角時，船速v′是多少？

分析：繩與船接觸的點M是個特殊的點，此點既在繩上又在船上．在船上，是實際運動(合運動)．在繩上，同時參與兩個分運動．

點M從A到B的運動情況比較復雜，為了便于理解和觀察，把運動過程等效分解為兩個獨立的運動過程．一個是繞滑輪做的圓周運動，這個運動不改變繩長，每一時刻的速度方向都垂直于繩的方向．另一個是沿著繩的方向做的直線運動，這個運動是由于車拉動繩向O點收縮引起的．

所以點M的速度每時每刻都可以分解為兩個速度．

一個是垂直于繩的方向的v₁．

另一個是沿著繩的方向的v₂．

則有：

v₁=v′sin α

v₂=v′cos α

車和船都在同一根繩上，由于繩的長度不會改變，所以車和船的實際速度沿繩方向的分速度大小相同．

解決：車在繩上的分速度等于船在繩上的分速度．即

v=v₂

v=v′sin α

所以

v′=v/sin α

繩子的“關聯”速度問題

3-2? 其他模型

(1)兩個物體的繩子末端速度的分解

如下圖所示，兩個物體的速度都需要分解，其中兩個物體的速度沿著繩子方向的分速度是相等的，即v_A∥=v_B∥．

(2)兩個物體的硬桿末端速度的分解

如下圖所示，a、b沿桿的方向上各點的速度大小相等．

v_acos θ=v_bcos α

v_a：v_b=cos α：cos θ

示范例題

例題1.(單選題)固定在豎直平面內的半圓形剛性鐵環，半徑為R，鐵環上穿著小球，鐵環圓心O的正上方固定一個小定滑輪．用一條不可伸長的細繩，通過定滑輪以一定速度拉著小球從A點開始沿鐵環運動，某時刻小球運動至如下圖所示位置，若繩末端的速度為v，則小球此時的速度為(????? )

【答案】A

【解析】小球的速度方向沿鐵環的切線方向，將小球的速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向的分量，沿繩方向的速度為v，則v′cos 30°＝v，解得

選項A正確．

點撥

找準合運動，分解合運動，不能分解分運動．

聲明：以上內容摘自包學習APP_動態教輔《高中物理丨必修第二冊》，歡迎來包學習和更多小伙伴一起學習更多知識吧。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矢量合成和分解的法则_重点解析丨抛体运动 之 运动的合成与分解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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