投影學

題解：本文命名《投影學》，是由于本文討論投影的一些最基礎的問題。

1?投影法

1.1投影的基本概念

投影，是一種通過降維的方法在平面上表示空間形體的辦法。在工程上，投影是一種光線照射下形體在地面或墻面上產生影子的模擬和抽象，通過形體輪廓點的一系列投射線與投影面交點的集合。19世紀發展出投影幾何(projective geometry)，是以綜合法得到一些定性的關系，由此圖示和圖解空間形體。它是畫法幾何學的基礎。通過物體的投射線向選定的面投射且在該面上得到圖形的方法叫投影法，它研究空間形體與其投影之間關系。根據投影法所得到的圖形叫投影。學習和掌握投影理論是實現空間到平面，以及平面到空間雙向思維的過程。投影的基本要素是：形體、投射線和投影平面。工程圖常用的投影方法有以下四種：多面正投影法、軸測投影法、透視投影法和標高投影法。從投射線性質講，分為中心投影(透視)和平行投影(正投影、軸測投影和標高投影)。從平行投影角度，有正投影和斜投影。正投影和標高投影可視作“精準”投影。這里的“精準”按不同的要求衡量。軸測投影和透視投影可視作“視覺”投影。可以說僅用于“視覺”傳遞。

1.2空間表示

形體是空間的，圖紙是平面的，在平面上表示一個空間形體是通過投影方法實現的，這是一種降維的表述。降維表述就會有信息缺失，因此，設法補充缺失的信息是降維方法的主要工作。如笛卡爾直角坐標系一樣，空間形體有三個獨立的維度去描述，日常所說立方體的“長、寬、高”就是互相垂直的三個度量維度。正投影中用三個視圖分別表示形體的三個方向(面)，軸測圖用一個視圖同時表示三直三面角，他們的目標都是要表達形體的三個方向(面)，表達形體獨立的三個維度。本文將分析正投影法、軸測投影法、透視投影法和標高投影法各自采取的空間表示策略。

2?正投影法

2.1為何三視圖

空間形體是三維的，在平面上用三個視圖分別去表達三個維度(尺寸)是很自然的想法。但細究起來，并非那么簡單。形體，都是在笛卡爾坐標系下表達的，看一下形體的構造規則：兩點決定一直線段-有序封閉直線段決定一個平面。由此，點是決定空間形體的基礎。直線，兩個點能唯一確定一直線段。點決定了，直線段也就決定了。平面，由圍成的直線確定。同樣，組成平面邊界的有序直線段一旦確定，平面也就確定了。點，可表達成P(x,y,z)，一旦x、y、z確定，點就唯一確定了。投影是降維，從三維空間降為二維平面，所以，從理論上講，點只需在兩個垂直投影面上上的投影就能唯一決定一個點。例如H面投影確定了x,y，Z面投影可確定z,x，因此兩個面的投影，P(x,y,z)就可確定。按照這個說法，理論上兩個投影面就能表述空間形體了。那么，為什么一定要用三視圖呢？考察圖2-1的情況，同時與H面和V面垂直的長方形面及三角形面，由于投影的積聚性造成空間不同面在同一投影面上產生相同的投影。在這種情況下，僅靠H面和V面上的投影，不能確定空間是長方形面或三角形面，甚至是其他的多邊形。

? ?圖2-1 投影的積聚性造成空間不同面在同一投影面上產生相同的投影?

這種“不確定性”出自何因？上述假設點決定線，線決定面的構造規則是建立在空間幾何一一對應的基礎上的，也是基于點與點投影是一一對應這個基礎上的。然而，當直線段與投影面垂直時，這個一一對應基礎被破壞了，因為此時直線段的兩個端點積聚成同一個投影點，造成了空間兩個端點只有一個投影點，點與投影間的一一對應規則被破壞。圖2-1的例子中，如果對長方形面邊界或三角形面邊界的頂點加以標識(此時，他們的投影也有相應的標識了)，那么，盡管長方形面和三角形面在H面和V面上的投影是相同的，根據投影和頂點的標識，還是能夠根據這兩個(相同的)投影分別表示空間的長方形面和三角形面的。也就是說，理論上說，完全能夠用兩個視圖表達空間形體。問題是，用投影法描述形體只有“投影”，點的投影、線的投影、面的投影，沒有形體構造關系的任何其他附加信息。設想借助于“頂點標識”(實際上是形體幾何構造關系)這個外加的信息的兩視圖表達三維形體的“對頂點加以標識加投影的方法”篡改了僅用“投影描述空間形體”的投影法規則。由此，要在平面上準確的表述任何一個空間形體，需要將二個投影面擴展到三個投影面，這就可以解釋為什么要用“第三個視圖”了，也即正投影法中用“三視圖”來表述一個空間立體策略的緣由。而且因為三個投影面是互相垂直的，而空間直線或平面垂直于投影面而產生積聚“作廢”了一個投影面，也僅僅只能“作廢”一個投影面，另兩個投影面能唯一決定空間直線或平面，因此，三視圖表示空間形體的條件又是充分的。

2.2?投影體系

畫法幾何投影體系用三個互相垂直的空間平面，并將空間分成8個部分，稱為8個分角。我國制圖國家標準(GB/T14692-2008和GB/T13361-2012)規定采用第一分角作為投影體系(圖2-2)。第一分角投影體系正立的投影面簡稱為正面，用V標記；側立的投影面簡稱為側面，用W標記；將水平放置的投影面稱為水平面，用H標記。H、V和W3個面兩兩互相垂直，其交線OX、OY和OZ為投影軸，如果在OX、OY和OZ三投影軸標出尺寸，那么三投影面體系就可構成一個空間直角坐標系，三個投影軸相當于三個坐標軸，三軸交點O稱為原點。第一分角投影體系簡稱E法，俄、英、德、法均采用E法，而美、日、加拿大和澳大利亞等則采用第三分角投影體系，簡稱A法。第三角畫法的俯、仰、左、右視圖靠近主視圖的一邊(里邊)，均表示物體的前面，遠離近主視圖的一邊(外邊)，均表示物體的后面，與第一角畫法的“外前，里后”正好相反(圖2-3)。從外前、里后對應的角度講，似乎A法更合乎人的感覺。不管采用第一分角還是第三分角，以三面投影體系為主構筑正投影體系，在平面上表示空間物體就是正投影體系，在這三個正投影面上投影可從三個角度分別準確反映形體的形狀和大小。

2.3?換面法

通過選擇新的投影面，使空間形體的投影達到某一特殊要求的改變投影面方法叫做換面法。例如，通過換面法求得空間直線段的實長。當空間直線段與投影面不平行時，它在投影面上的投影將不反應空間線段的實長。如圖2-4中AB與V面不平行，ABb'a'將成一個直角梯形，a'b'與AB的實長不相等。如果換一個同樣與H面垂直，而與AB平行的V₁面，那么，AB在V₁面的正投影a₁'b₁'反應了AB的實長。

圖2-4 換面法

換面法可歸結到“向任意平面正投影的計算化”問題(參閱本文后面6.3節)。

3?軸測投影法

3.1解析單面投影

前面說明了正投影法描述空間形體用三個視圖的緣由，軸測投影法是用單面視圖描述空間形體。同樣，根據描述形體三個維度的基本點，單面投影需要在一個投影面上表述出三個維度。立方體的一個角可以作為參考系。立方體八個角中的一個角，它由互相垂直的三個面(三直三面角)構成，代表三個維度。因此，如果一個單面投影圖能將一個立方體及他的一個角的空間感覺表達清楚了，那么就能將一個空間形體表達清楚了，就接近于人們的視覺習慣，形象、逼真，富有立體感。因此可以用簡單的立方體作為樣板或參考系。等軸測投影法就是根據從立方體一條對角線作為投射線方向引入的。空間坐標系也可以作為一個參考系。空間坐標系與立方體的一個角一樣，也是一個三直三面角，而且，更能定量表述形體的尺寸。因此，將空間坐標系作為參考系，是一個更佳的選擇。將空間坐標系和軸測坐標系之間的對應和轉換關系搞清楚了，軸測投影體系也就搞清楚了。當然，從幾何的不變性，形體以及在平面上表述形體的正視圖、軸測圖等并不依賴于坐標系。目前的軸測投影是因“立方體的一個角可以作為參考系”啟發下，以“空間坐標系作為一個參考系”實現的。最早的軸測投影畫法出現在英國，它的奠基人是Wiliam Farish，威康?費利什(1759-1837)，1820年，他在英國哲學學會會刊上發表了題為“論等測透視圖(On Isometrical Perspective)”的論文，明確提出了表現力較好的立方體的一個面投影表示法：“從立方體一條對角線上的無窮遠點，向一個垂直于該對角線的平面投影”，這構成了等軸測投影法。這個設想的擴展便構成了后來的軸測投影法，它建立在向空間平面作平行投影的基礎上，建立了空間坐標系、投射方向、投影面三者之間的幾何關系，構成了軸測投影體系。

3.2?軸測投影體系

1)軸測投影的基本定理

德國幾何學家K?波克證明了波克定理：“平面上從一個點引出的任意3條(不共線的)線段，總可以作為空間3條互相垂直的相等線段的平行投影。”波克定理被稱為軸測投影的基本定理，它不僅奠定了軸測投影的理論基礎，而且定性地描述了軸測投影中各參數之間的互相關系：投影平面上軸測軸的各種位置(軸間角)和軸測單位的各種長度(軸向伸縮系數)是與空間坐標軸的各種位置和投射方向相對應的。當任意選定了軸向伸縮系數的比值和軸間角以后，總能求出空間坐標軸的位置和相應的投射方向。

2)平行投影體系

軸測投影建立在一個平行投影體系上。平行投影體系。設在空間坐標系下表述的一個平面Π，一個方向L和任意一點A。如果通過A點引一條與方向L平行的直線使它與平面Π相交，則交點a就叫做A點沿L方向的平行投影。直線Aa叫做投射線，平面Π叫做投影面。如果投影方向L與投影面Π垂直，這種投影就叫做正投影，否則叫做斜投影。由空間坐標系、投影面和投射方向構成的一組元素叫做平行投影系，它表達空間坐標系、投射方向、投影面三者之間的幾何關系。

3)軸測投影的表述

軸測投影的完整表述：在一空間笛卡爾坐標系下有一投影平面和一投射方向構成一個平行投影系，軸測投影是在這個平行投影系下，將一個空間直角坐標系(三維坐標系)沿投射方向投射到投影面上，構成軸測坐標系，用以在一個平面上表達三直三面角(平面上表達的空間坐標系)。因此，簡單的說，軸測投影就是：用平行投影的方法，將一空間坐標系向設定的投影面投影，構成投影面上的軸測坐標系。在這個軸測坐標系下表示的有立體感的圖形叫做原空間形體的軸測圖。

4)軸測投影三角形

Oxyz的三個坐標軸與Π的交點A、B、C構成一個三角形△ABC，稱為“軸測投影三角形”，△ABC是投影面Π與空間笛卡爾坐標系三個軸相交的交點形成的三角形，它與三直三面角的空間坐標系的三個坐標面構成一個四面角O-ABC。這個△ABC在軸測投影理論與應用的研究中有特別的意義。以后關于軸測投影的研究基本上是基于這個軸測投影三角形展開的。

3.3?軸測投影的原理圖

如圖3-1‐圖3-4所示，空間笛卡爾坐標系Oxyz，投影平面Π，投射線L(圖3-1‐圖3-2投射線L同 OO₁)，三坐標軸Ox,Oy,Oz與Π的交點分別為A、B、C。在投影面Π上，空間坐標系原點O在Π上的投影為O₁，空間三坐標軸(Ox,Oy,Oz)在Π面上的三投影(O₁x₁,O₁y₁,O₁z₁)構成軸測坐標軸，三者以O₁為原點，構成軸測坐標系。 若L⊥Π，構成正軸測投影(圖3-1‐圖3-2，投射線L與OO₁重疊)；否則，構成斜軸測投影(圖3-3‐圖3-4，OO₁//L，OO^*⊥Π)。

3.4?軸測投影體系參數

1)軸測投影參數

軸測投影體系表述空間坐標系、投射方向、投影面三者之間的幾何關系。軸測投影體系也由這三者決定，其基本參數分為空間參數和軸測參數(參閱圖3-1‐圖3-4)。空間參數七個：三直三面空間坐標系Oxyz、投射方向L、投影面Π。其中，L和Π都是在Oxyz下表達的。空間參數包括α、β、γ與α₁、β₁、γ₁和φ等7個參數。投射方向與空間坐標系的互相位置由α₁、β₁、γ₁確定。空間坐標系與投影面的互相位置由α、β、γ確定。投射方向與投影面的互相位置由φ確定。軸測參數六個。軸向變形系數η_x、η_y、η_z和軸間角∠1，∠2，∠3等共6個參數可稱為軸測參數。他們是在軸測投影圖上決定物體空間形狀的作圖依據。知道了軸間角和軸向變形系數，就可以沿著軸向度量形體的尺寸，也可以沿著軸向量畫出形體上各點、各線段和整個形體的軸測投影。空間7個參數和軸測6個參數(參閱圖3-1‐圖3-4)不全是獨立的，他們間有一些制約關系。其中，式(3-1)稱為軸測投影體系的基本公式，它反映了軸測投影中各軸測參數之間的定量關系。

2)軸測投影體系的自由度

一般形式的軸測投影體系有4個自由度。在基本式(3-1)中，3個軸間角只有2個是獨立的，那么基本式本身也只包含有5個獨立參數，所以有4個自由度，只要任給出其中4個獨立參數，就能求出其余空間參數，從而也就能確定軸測系統的位置。

3.5?正軸測投影要素

1)正軸測投影的基本關系式

正軸測投影是軸測投影中的一個特例當投射方向與投影面垂直，即投射角φ=90°時，就是正軸測投影，此時式(3-7)可化為正軸測投影基本關系式：?

ηx 2+ ηy 2+ ?ηz 2=2? ?(3-9) 將它代入基本式(3-1)，就得到 (ηxηysin∠1)2 +(ηy ?ηz sin∠2)2 ?+(ηzηxsin∠3)2 ?=1??(3-10)

這就是正軸測投影基本定理。

2)正軸測軸向變形系數與軸間角的關系

軸向變形系數η_x、η_y、η_z與軸間角∠1、∠2、∠3間的關系是確定的。

3.6?斜軸測投影要素

1)斜軸測投影的基本關系式

如名所述，斜軸測投影時(圖(3-3)~圖(3-4))，平行投影的方向L是不平行于投影面法線方向的，設它與投影面△ABC成φ角，斜軸測投影軸為O₁A、O₁B和O₁C，坐標原點O在投影面△ABC上的正投影是O^*。斜軸測投影時有：η_x²+η_y²+η_z²=1+1/sin²φ=2+cot²φ? ? ? ? ? ?這是斜軸測投影的基本關系式——投影方向與變形系數之間的關系。斜軸測投影的變形系數的平方和隨投射線對軸測投影面的夾角而變化。

2)空間參數與軸測參數間的關系

在斜軸測投影中，還有以下的結論：笛卡爾坐標軸(空間參數)與對應的軸測投影軸(軸測參數)的放射比(軸向變形系數)和他們兩者的夾角余弦的乘積之和等于2，即有：

ηx cosα+ηycosβ+ηzcosγ=2???? (3-17) 但與正軸測投影不同，在斜軸測投影中，下列三式不成立：cosα=ηx，cosβ=ηy，cosγ=ηz但是有：ηx (cosα-ηx)+ηy(cosβ-ηy)+ηz(cosγ-ηz)=-ctg2φ???(3-18)

此式給出了笛卡爾坐標軸在任意軸測投影面上作軸測投影時，坐標軸與軸測軸兩者仿射比(變形系數)之間的關系，以及斜投射方向與投影面法向的夾角之間的關系。

3.7 投影面和軸測軸的求取

投影面改變的本質是投影方向的改變，即投射方向的改變。投影面問題。投影面選擇的本質是投射方向的選擇，投射方向的改變是相對的！方式一，可以是形體不動，改變投影面。這常是一種斜投影方式。方式二，固定投影面，對形體作空間變換。這常是一種正投影方式。方式一多用于理論研究，方式二多用于實際應用，工程制圖中就用坐標平面作為投影面。坐標軸問題。“形體連同它的三個坐標軸向設定的投影面投影”，軸測圖是依賴于坐標軸的，需要在投影中附件上笛卡爾坐標系。現在軸測圖的繪制先決定坐標軸(軸測軸)。

1)方式一：固定形體尋找投影面

先討論固定形體，形體在這樣的局部坐標系下表示：它至少有一個主面平行于坐標平面。在總坐標系下決定一個投影面P，給出P的一個表達形式：P面上的一個點，和P在總坐標系下的單位法向量，使得形體在P面上的投影是形體的軸測圖。①?正等測圖投影面的決定軸測投影初始是得到正等測投影，投影面P的法向與總坐標系三個坐標軸有相同的夾角，所以它在總坐標系的單位法向是：N_p(0.577350,0.577350, 0.577350)。圖3-6和圖3-7是正等測在不同軸測圖下顯示的投影原理圖。

②?正二測圖投影面的決定正二測投影面P在總坐標系的X、Y、Z下的單位法向是：N_p(0.881931,0.333333, 0.333297)。下面是一組構成投影面的3點的例子，為方便，這3點可取在原坐標軸的軸上。其中，第一個可先決定，任選，后面兩點根據選定的首點及正二測投影面的單位法向經計算得到(圖3-8-圖3-10)：P₁(0.0, 0.0, 1.0)，P₂(0.377918,0.0, 0.0)，P₃(0.0,0.999892, 0.0)根據顯示要求，P₁點可以離原點遠一點，例如，取P₁(0.0,0.0, 2.0)P₁(0.0, 0.0,3.0)等，P₂和P₃由正二測投影面的單位法向重新計算得到。

③???斜二測圖投影面的決定一般的敘述。斜二測圖中，形體有一個主平面與投影面平行，投射線的方向是垂直于這個投影面的。所以，可以選擇與H面垂直的面作為斜二測圖的投影面，投影面的法向與H面平行。構筑一個以P面法向作為新的z軸，P面作為新的xy平面的新坐標系，在這個新坐標系向經錯切變換后向xy平面投影，這個投影就是形體的斜二測投影圖。但是，因為需要“形體有一個主平面與投影面平行”這樣一個條件，而這個條件在選擇形體坐標系時更為需要，所以，在斜二測圖產生中，不建議選擇除了坐標平面外的投影面。例如，選擇的投影面是xy平面，那么，投射線的法向是：N_p(0.0, 0.0, 1.0)。

2)方式二：固定投影面而變換形體

這是產生軸測變換的另一種方式：通過對空間形體的旋轉或者錯切變換，將軸測投影轉化為正投影。方法如下(圖3-11-圖3-13)。①正等測圖。如果以x-y平面作為投影面，在這個面上產生正等測圖。那么可先將空間形體繞y軸旋轉-45?，再繞x軸正旋轉35.26442 ?(35?15.865')然后向x-y平面投影(取x、y坐標)，得到正等測圖。②正二測圖。如果將空間形體繞y軸旋轉-69.297539?(-69?17'10'')，再繞x軸正旋轉19.47122?(19?28'16'')，然后向x-y平面投影(取x、y坐標)，得到正二測圖。③斜二測圖。先沿x向錯移-0.3535且離開z軸(T[3,0]=-0.3535)，然后沿y軸錯移-0.3535且離開z軸(T[3,1] =-0.3535)，然后向x-y平面投影(取x、y坐標)，得到斜二測圖。

4?透視投影法

4.1透視的基本概念

“透視”是一個繪畫理論術語，通過一塊透明的平面去看景物，在平面上所見的景物的畫面就是該景物的透視圖。將這個現象抽象，就是把視點固定為一點，觀測者的視點與空間形體輪廓的各個點形成的一系列視線與畫面的交點在平面上按照空間形體的構造用線條來顯示形體的空間位置、輪廓，描繪可較好的顯現出空間形體之間的遠近和層次關系。透視體系先設定一個畫面V和一個視點E，由視點E出發，與描述空間形體輪廓的各個定點連接形成一系列的直線，這些直線將與畫面V產生的交點，遵照空間形體輪廓原來的連接次序連接起來，就構成了該空間形體在畫面上的透視圖。如圖4-1所示，形體底面所在的平面稱為基面，常選取水平面或地平面(圖4-1中H平面)，基面在透視投影系統中稱為物面或地面，因為被繪形體放在這個平面上。在建筑透視中常有這樣的表述：觀察者所站立的水平地面，或形體所在的水平面。為了用齊次矩陣描述一個透視變換，先要構筑一個參考坐標系xyz。在計算機里表述時，一般將畫面(V面)設為xy坐標平面，基面(H面)設為y=0坐標平面，y軸表示高度，視點在z軸正向，而形體放在z軸負向。下面給出透視體系的一些術語。

基面：形體底面所在的平面稱為基面。 畫面：垂直于基面H的平面V是投影面，又稱為圖畫平面或畫面。 視點：點E是投影中心，相當于觀察者眼睛的位置，通常稱為視點。 站點：視點E在基面上投影e稱為站點(在建筑透視中將站點定義為觀察者站立的位置)。 視高：視點到基面的距離，即人眼到地面的高度。 視心：視點E在畫面的投影點E0稱為視心，也稱主點。 視距：線段E0E表示視點至畫面之距離，稱為視距。 畫面中線：在畫面上通過視心E0的鉛垂線E0e0稱為畫面中線。 基線：畫面與基面的交線gg'稱為畫面的基線。 視線：即投射線，視點與形體上任一點的連線。 視平線：通過視點E的水平面(EGG')與畫面V的交線GG'稱為視平線。 空間點：A、B、C表示空間的點。 點的透視：通過任一點的視線與畫面的交點，如 A0、B0、C0。 基點：空間各點在基面H平面上的投影。如a、b、c分別表示A、B、C的基點。 基透視：形體的基面投影到透視，如a0、b0、c0。

圖4-1 透視體系

4.2透視的類型

透視的一個關鍵要素是“滅點”的概念，與畫面不平行的空間直線的無限遠點在畫面上的透視點稱為滅點，一組平行的直線有同一個滅點。空間形體主方向平行直線的滅點稱為主滅點。根據滅點的個數，透視變換可以分成平行透視(一滅點)??、成角透視(兩滅點透視)和三滅點透視等3種類型，而三滅點透視又可分為由旋轉方法產生和通過傾斜畫面產生，產生方法將在后面詳細敘述。建筑圖常用傾斜畫面產生三滅點透視圖。表4-1列出了一些透視的類型。

4.3透視參數的設定

一般認為，人眼的視域接近于橢圓，因此被繪形體、視點及畫面三者之間的相對位置應使得形體在空間中整個地落在這樣的一個橢圓錐體內：該橢圓錐體以視點為頂點，中心視線為軸線，軸線垂直畫面，視錐的頂角為視角，視錐與畫面相交所包圍的區域稱為視域，視域為橢圓。橢圓的長軸是水平的，水平視角α在120°~148°之間，垂直視角β約為110°。但是，清晰的視域只是視域范圍的一部分，水平視角α大約在28°~37°之間，控制在60°。表4-2給出繪制建筑透視圖時參數的經驗值。視野：指人眼像一點注視時所能看到的空間范圍，視野近乎一個橢圓錐，水平方向寬一些。水平視角：水平方向的兩條極限視線間的夾角稱為水平視角。垂直視角：垂直方向的兩條極限視線間的夾角稱為垂直視角。視圓錐：清晰視野下，將視野橢圓錐看做一個以視點為頂點，主視線為軸線的圓錐。

表4-2繪制透視圖時參數的經驗值

類型	參數	說明
水平視角	140-176°	一只眼睛時，120-148°
垂直視角	110-125°	一只眼睛時，110-125°
清晰視野	28-37°	清晰視野將視野看成圓錐形，可達90°，一般不超過60°。
圓錐頂角	60°	應使形體全部落在頂角為60°的視圓錐內。
視點選擇		圓錐頂角約為28°，一般取30°。視點過近，失真，過遠，透視不明顯。
站點		站點引出的與建筑物相接觸的兩邊緣視線間的夾角約為30°
視點高度	1.5-1.8米	視點高于建筑物，產生鳥瞰圖；視點低于建筑物，產生仰望透視圖。
一點透視		使形體上兩組主向直線(正平線和鉛垂線)平行于畫面。
二點透視		使形體上一組鉛垂主向直線平行于畫面，另兩組主向直線與畫面相交。
三點透視		當畫面傾斜于地面時，三組主向直線均與畫面不平行。

5 標高投影法

標高投影法是一種單面正投影，用以表達那些水平尺度較大、豎向尺度相對較小、形體又不規則的物體，如地形地貌、河床、堤壩、道路等(圖5-1)。標高投影法是唯一一個用投影圖表示二維形狀，而用數字直接表示第三維度量的投影方法。標高投影法采用一種特殊的方法去表述空間的三個維度，在水平投影面上反映出形體特征的水平正投影圖形去表述兩個維度，而在每個截面上用數字標志該截面的高度去表述形體的第三維。用這個方法也可以完全確定物體的空間形狀和位置。標高投影法同樣有點、直線、平面和平面立體、 曲線、曲面和曲面立體的標高投影。

圖5-1標高投影圖

6 投影計算化

6.1三視圖

“長對正、高平齊、寬相等”的三等關系是三面投影圖的基本規律，把相關的投影圖共同對照、分析、思考，識別形體的實際情況，是制圖與讀圖的基本方法(圖6-1)。為了更廣泛的應用和三視圖的計算化，下面給出六個視圖(圖6-2)的變換矩陣(表6-1)，經過變換后均取x*y*坐標即可得到相應的視圖，保留的第三維坐標供三維處理之用。

為了安排六個視圖的習慣分布，投影平面上坐標系的選取是不一樣的，其中有一個坐標需要作負變換。同時，表6-1中也并未考慮這種視圖分布還需要加上的相應平移量，這個平移量一般依賴于各視圖坐標系原點在原坐標系下的定位。

6.2?軸測變換

任意軸測變換矩陣的構造。在軸向變形系數下的軸測變換矩陣通式為：為了應用軸間角來代替上述公式，可選取三維z軸和二維Y軸一致(機械學常用，圖6-2)或三維y軸與二維Y軸軸一致(計算機圖形學常用，圖6-3)，分列如下：6.3向任意面的正投影先構建一個新的坐標系，將新投影面S作為新坐標系的z*=0坐標平面，在這個新坐標系O*x*y*z*下向平面S上的投影就變成向z*=0坐標平面的正投影了。設原xyz坐標系下新投影面S由一點P₀(x₀,y₀,z₀)和單位向量n(a b c)構造，以P₀為坐標原點，向量n為新的坐標軸(x*或y*或z*)，構筑新的坐標系x*y*z*(圖6-4)。將向量n(a b c)設為向量n₁ (a₁ b₁ c₁)，即a₁=a，b₁=b，c₁=c；從P₀(x₀,y₀,z₀)出發的3條互相垂直的單位向量n₁、n₂和n₃就構成以P₀為坐標系原點，以n₁為x*軸，n₂和n₃分別為y*和z*軸的新坐標系x*y*z*(圖6-5)。構筑以下2個矩陣：

6.4?斜投影斜投影不能轉化為正投影。直線與平面的相交算法。

6.5?透視變換不失一般性，以描述P_z，視點E選在z軸上，取與此軸垂直的畫面為xy坐標平面，視心E₀為坐標原點，構建透視計算坐標系(圖3-5)，此時視點的坐標為E(0,0,z_e)，透視畫面為z=0。得到透視變換矩陣P_z(同理得到P_x，P_y)：變換式為下列三者之一：(X Y Z H)=(x y z 1)P_z(XY Z H)=(x y z 1)P_x(X Y Z H)=(x y z 1)P_y

6.6???透視投影轉化為平行投影

定理：對一個空間形體，一定存在另一個空間形體，使前者在畫面上的透視投影與后者的平行投影是一樣的，且保留了深度方向的對應關系。這個變換就是上節(6.5透視變換)的三個變換之一。它將空間線段AB變換成空間線段A'B'，AB在畫面上的透視投影與A'B'在畫面上的正投影是一致的，均為A"B"，且保留了他們在空間的前后關系(圖6-6)。這個定理可使復雜的透視投影轉化成簡單的平行投影，使計算大為簡化。

圖6-6透視投影轉化為平行投影的機理

6.7透視投影的兩種方式與畫面成一角度的平行直線經透視變換后，它們在投影平面上交于一點，此類點就被稱作透視投影的滅點。因此，一般可采用兩種不同的方法使形體的主體與畫面成一角度，從而獲得透視圖：一是保持畫面鉛垂而通過旋轉形體使之與畫面構成一個角度以達到透視變換效果。二是通過傾斜投影畫面而達到透視變換效果。

1)通過旋轉生成透視圖

先介紹“保持畫面鉛垂而通過旋轉形體使之與畫面構成一個角度以達到透視變換效果”的方法。分別進行不同次數的旋轉變換，再施以透視變換P_Z(式9.6-3)后，分別得到一滅點(不旋轉)、二滅點(1次旋轉)和三滅點(2次旋轉)矩陣。?1)平行透視(一滅點)由于EP_z=P_z，因此透視變換后的x、y、z無窮遠點將變為P_z的前三行(1 0 0 0)、(0 1 0 0)和(0 0 1 -1/z_e)(它表示三個點)。這說明原來平行于x軸和y軸的向量仍互相平行，而平行于z軸的向量則交于一點(0,0)。2)成角透視(二滅點)如果把單位立方體繞y軸轉α_y角，再施以透視變換Pz，即得二滅點透視變換：由矩陣第一行可知，原來平行于x軸的向量將在投影平面xoy上有滅點(ctgα_y?ze，0)；由矩陣第三行可知，原來平行于z軸的向量將在投影平面xoy上匯集于滅點(-tgα_yze，0)。3)三滅點透視將形體繞x軸轉α_x角，再繞y軸轉α_y角，最后施以透視變換P_z即得三滅點透視變換：表6-2列出了通過對形體進行不同的旋轉并施以透視變換Pz后產生的一、二、三個滅點的情況。從表中可以看出，如果分別采用1、3和6三種旋轉變換，它們可以保證經透視投影后形體不出現傾斜狀態，是實際應用中(例如建筑透視)的三種較好的透視變換矩陣。

根據表6-2，如果選擇下邊給出的透視變換：視點在z軸上，投影平面為xy平面，經過平移-旋轉-旋轉-平移-透視，在有二滅點和三滅點情況下，其中二個滅點將同在一水平線上，表6-3列出了建議采用的產生所產生較好透視圖的產生方法、透視參數和滅點的坐標。

2)通過傾斜投影畫面生成透視圖與畫面成一角度的平行線簇經透視變換后交于滅點。首先使物體繞平行于y軸的直線旋轉α_y角，然后選取與原畫面V(垂直面)成θ角的平面K作為新畫面(平面K與V的交線為GG')，產生原平行于y軸的平行線簇的第三個滅點。圖6-7表示了一個在斜平面K上建立透視圖的方法。在地面H上放一個旋轉角為α_y的立方體ABCDabcd，以E為視點，e為站點，斜平面K與垂直面V的夾角為θ。

圖6-7??傾斜畫面得到三滅點透視原理圖

設物體原已建立在如下的坐標系e₀x₁y₁z₁上：以H面為y₁=0平面，e₀e₁為z₁軸。畫面K與垂直坐標平面z₁=0的夾角為θ。|eE| =h，e₀e₁=z_e。建立一個由物體的原坐標系e₀x₁y₁z₁從原點e₀平移到E₀而得到的新的坐標系E₀xyz(即Oxyz)。可求得視點在E，畫面為K的透視變換陣：

7?總結闡述了投影學的以下問題。1)投影是一種降維處理，會造成信息缺失，需要采用合適的方法彌補這些缺失的信息。2)基于笛卡爾直角坐標系思想，如何在平面上將三直三面角表述清楚。3)闡述了正投影為什么需要三個視圖。空間點在平面上的投影是二維的，理論上兩個投影就能表達三維點，為什么需要三個投影面(三視圖)？4)軸測投影和透視投影都采用了對形體的旋轉方法，而透視投影除了旋轉以外，還可以采用傾斜畫面畫面。所有這些，都是因為兩者都是單面投影，為了表述三直三面角。5)立方體的表述是研究各類投影的基礎。6)透視投影可轉化為平行投影：對任何一個空間形體，一定存在另一個空間形體，使前者在畫面上的透視投影與后者的平行投影是一樣的，且保留了深度方向的對應關系。7)嚴格地說，斜投影不能轉換為正投影。錯切變換是其中的一個方法。8)換面法、軸測投影都需要一個解決“向任意面投影”的問題。9)4種投影法的投影策略：

投影法	投影策略	立方體投影方式
正投影	多(三)面平行正投影	三直三面角三平面平行于坐標平面
軸測投影	單面平行(正或斜)投影	三直三面角同時可見平行投影于投影面
透視投影	單面中心投影	三直三面角同時可見中心投影于投影面
標高投影	單面平面投影圖+數字第三維	水平投影+數字標高

注：本文根據文獻[1]改編，內容有補充，源代碼在文獻[1]中。

參考文獻

[1] 何援軍，幾何計算，北京：高等教育出版社，2013年3月

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c#垂直投影法_投影学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。