Description

In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn ? 1 + Fn ? 2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number ?1.

Output

For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).

Sample Input

0
9
999999999
1000000000
-1
Sample Output

0
34
626
6875

這個題是出題人好心，直接把規(guī)律給我們找出來了，那我們就只需要求那個矩陣的n次方，然后輸出a[0][1]即可

1.先說說矩陣快速冪
為了類比快速冪，我們先寫出快速冪的代碼
快速冪求x的y次方，是把y看作二進(jìn)制來的，矩陣快速冪也一樣。
區(qū)別：
1.矩陣快速冪底數(shù)是矩陣，ren是矩陣
2.最終矩陣乘矩陣還是矩陣，也就是說函數(shù)返回矩陣，ans是矩陣
3.我們存答案的ans初始化應(yīng)該是初等矩陣
所以涉及到矩陣的代碼我們都要改

int pow_1(int x,int y){//x的y次方 int ren=x;int ans=1;while(y){if(y&1) ans*=ren;//取當(dāng)前最末位的y，如果是1就繼續(xù)乘ren ren*=ren;//下一位ren是當(dāng)前ren的平方 1 2 4 8，這里8是x^4的平方，不是4的平方 y=y>>1;//y前進(jìn)一位 }return ans; }

改完之后就是這樣了

struct matrix {LL x[2][2]; }; matrix mutimatrix(matrix a,matrix b) {matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<2;i++)for(int j=0;j<2;j++)for(int k=0;k<2;k++){temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];temp.x[i][j]%=mod;}return temp; }matrix k_powmatrix(matrix a,LL n) {matrix temp;memset(temp.x,0,sizeof(temp.x));for(int i=0;i<2;i++)temp.x[i][i]=1;while(n){if(n&1)temp=mutimatrix(temp,a);a=mutimatrix(a,a);n>>=1;}return temp; }

這個出題人直接把意思說的明明白白的，直接求那個矩陣的n次方就ok

#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; #define LL long long const int mod=10000; struct matrix {LL x[2][2]; }; matrix mutimatrix(matrix a,matrix b) {matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<2;i++)for(int j=0;j<2;j++)for(int k=0;k<2;k++){temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];temp.x[i][j]%=mod;}return temp; }matrix k_powmatrix(matrix a,LL n) {matrix temp;memset(temp.x,0,sizeof(temp.x));for(int i=0;i<2;i++)temp.x[i][i]=1;while(n){if(n&1)temp=mutimatrix(temp,a);a=mutimatrix(a,a);n>>=1;}return temp; } int main() {int n;while(cin>>n ){if(n==0) {cout<<"0\n";continue;}if(n==1||n==2) {cout<<"1\n";continue;}if(n==-1) return 0;matrix st;memset(st.x,0,sizeof(st.x));st.x[0][0]=1;st.x[0][1]=1;st.x[1][0]=1;st.x[1][1]=0;st=k_powmatrix(st,n);printf("%lld\n",(st.x[0][1]+mod)%mod);} }

2.如何通過矩陣快速冪解決這種遞推問題
先看普通斐波那契
參考：https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52058209
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
f(1)=f(2)=1
其實這個是個遞推式，那么我們只要找到他的通項，就可以求出n為任何值時候的f(n)
那這個遞推式我們看不出他是等比還是等差數(shù)列，通項也不會求，此時就需要用矩陣
因為矩陣有一個性質(zhì)，一個常數(shù)矩陣乘以一個矩陣A(n)，結(jié)果是矩陣B(n)
那如果A中各個元素對應(yīng)于B中各個元素滿足,A(n)=B(n-1)，那這個整體就是個等比數(shù)列啊

我們設(shè)an=
上面看作是q*a(n-1)=an,由等比數(shù)列通項公式得到
q^(n-1)*a1=an
現(xiàn)在q我們已經(jīng)有了，就剩找a1了，a1我們都會求，帶特殊值么，假設(shè)n=2，a2=q*a1,然后我們就求出a1了，所以之后求an就先求q^(n-1),再求q^(n-1) *a1
因為我是學(xué)過線性代數(shù)的，其實這有個大問題，矩陣的左乘右乘結(jié)果不一樣，為了方便起見，我們通項乘的次序應(yīng)該和第一個遞推式的次序一樣

還有個例子
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

圖片來自：https://www.cnblogs.com/Blackops/p/5468284.html
通過這一題我們明白一個事情，那就是對我們那個矩陣數(shù)列的優(yōu)化，2* 1矩陣可以寫成2* 2矩陣，這樣的話我們不用再弄一個函數(shù)去求2* 1矩陣*2*2矩陣了
還有一點，關(guān)于n那個次冪的事，這都是看a1對應(yīng)的那個n是幾，根小學(xué)學(xué)的等比數(shù)列一樣一樣的。。
還有個小竅門，我們不用一上來就推f(n),可以通過f(1),f(2)推f(3),推完之后把3變成n，1變成n-2，2變成n-1，然后帶4驗證。如果是，那就是，然后繼續(xù)ok
參考代碼：
https://blog.csdn.net/elbadaernu/article/details/77899130

#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; #define LL long long const int mod=7; struct matrix {LL x[2][2]; }; matrix mutimatrix(matrix a,matrix b) {matrix temp; memset(temp.x,0,sizeof(temp.x)); for(int i=0;i<2;i++)for(int j=0;j<2;j++)for(int k=0;k<2;k++){temp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];temp.x[i][j]%=mod;}return temp; }matrix k_powmatrix(matrix a,LL n) {matrix temp;memset(temp.x,0,sizeof(temp.x));for(int i=0;i<2;i++)temp.x[i][i]=1;while(n){if(n&1)temp=mutimatrix(temp,a);a=mutimatrix(a,a);n>>=1;}return temp; } int main() {int a,b,n;while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)){if(!(a+b+n)) break;if(n<=2){printf("1\n");continue;}matrix st;memset(st.x,0,sizeof(st.x));st.x[0][0]=a;st.x[0][1]=1;st.x[1][0]=b;st.x[1][1]=0;matrix init;memset(init.x,0,sizeof(init.x));init.x[0][0]=1;init.x[0][1]=1;st=k_powmatrix(st,n-2);st=mutimatrix(init,st);printf("%lld\n",(st.x[0][0]+mod)%mod);}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的（矩阵快速幂）解所有类似Fibonacci 的题目的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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