sql相同顺序法和一次封锁法_数学专题 | Ep01 隔板法的妙用
數學專題(一)?
隔板法的妙用
濃度常見哪些問題?
排列組合分堆？涂色？到底掌握透徹了嗎？
解析幾何與韋達定理？
公式總是記不住？應用題還不會解？
除了寫作(寫作聽我的)、邏輯(邏輯說)專題外，本周起我們也將隆重推出數學專題，惡補數學知識，讓大家一看到題就能判斷類型找出解題方法！感興趣的小伙伴記得點個在看，感謝支持~
思維導圖：
專題解析：
在組合數學中，隔板法(又叫插空法)是排列組合的推廣，主要用于解決不相鄰組合與追加排列的問題。
隔板法就是在n個元素間插入(b-1)個板，即把n個元素分成b組的方法。
不允許為空：對n件相同物品(或名額)分給m個人(或位置)，允許若干個人(或位置)不為空的問題,可以看成將這n件物品分成m組，允許若干組為空的問題.將n件物品分成m組，需要m-1塊隔板，因隔板無差別，故隔板之間無序，是組合問題，故隔板有Cm-1n-1。
允許為空：對n件相同物品(或名額)分給m個人(或位置)，允許若干個人(或位置)為空的問題,可以看成將這n件物品分成m組，允許若干組為空的問題.將n件物品分成m組，需要m-1塊隔板，將這n件物品和m-1塊隔板排成一排，占n+m-1位置，從這n+m-1個位置中選m-1個位置放隔板，因隔板無差別，故隔板之間無序，是組合問題，故隔板有Cm-1n+m-1種不同的方法，再將物品放入其余位置，因物品相同無差別，故物品之間無順序，是組合問題，只有1種放法，根據分步計數原理，共有Cm-1n+m-1×1= Cm-1n+m-1種排法。
例題解析：
一、放球問題
例1
把8個相同的球放入4個不同的盒子，有多少種不同的放法？(???? )
A.110?????? B.144????? C.165?????? D.180?????? E.210
【解析】：取3塊相同隔板，連同8個相同的小球排成一排，共11個位置。由隔板法知，在11個位置中任取3個位置排上隔板，共有C(11，3)種排法。所以，把個相同的球放入個不同的盒子，有種不同方法。故選C
例2
將20個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，有多少種不同的方法？(???)
A.180?????? B.200????? C.230?????? D.231?????? E.240
【解析】本題中的小球大小形狀完全相同，故這些小球沒有區別，問題等價于將小球分成三組，允許有若干組無元素，用隔板法。
將20個小球分成三組需要兩塊隔板，因為允許有盒子為空，不符合隔板法的原理，那就人為的再加上3個小球，保證每個盒子都至少分到一個小球，那就符合隔板法的要求了(分完后，再在每組中各去掉一個小球，即滿足了題設的要求)。然后就變成待分小球總數為23個，球中間有22個空檔，需要在這22個空檔里加入2個隔板來分隔為3份，共有C(22，2)=231種不同的方法。故選D
例3
現有7個完全相同的小球，將它們全部放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，每個盒子至少放一個球，問有多少種不同的放法？(? ?)
A．6???B.20? ?????C.35?????D.48????? E.以上答案均不正確
【解析】這道題滿足隔板法基本模型的三大條件，所以我們可以直接應用隔板法。首先我們將7個小球排成一排。在7個小球中間一共有6個間隔，在這6個間隔中我們挑出3個間隔插入隔板，這樣我們就將小球分成了四份，并且每一份都至少有一個小球。接著我們將這四份小球按從左到右的順序依次放入1-4號四個盒子中，就得到了對應的一種放法。這樣一來，每一種隔板的插法就對應了一種小球的方法。6個間隔中插入3個隔板的插法共有種C(6,3)=20，即本題共有20種不同的放法。
例4
現有8個完全相同的小球，將它們全部放入編號為1，2，3的三個盒子中，允許出現空盒，問有多少種不同的放法？
【解析】先加入3個球，加上原來地8個球，現在共有11個球，利用隔板法將它們放到三個盒子中，共有種C(10,2)=45種放法。對于每一種放法，然后都從每個盒子中拿出一個球，當盒中分到一個球之后還回1個球，該盒實際上是空盒；分到兩個球后還回1個球，該盒實際上只含一個球，依此類推。這樣就成功地將8個相同的小球分入了三個盒中，允許有空盒的共有45種放法。
二、指標分配問題
例1
某校召開學生會議，要10個學生代表名額，分配到某年級的6個班中，若每班至少1個名額，有多少種不同分法？
【解析】名額與名額是沒有差別的，而班級與班級是有差別的，把相同的名額分配到個不同的班級，適合隔板法。分兩步。第一步：個班每班先分配個名額，只有種分法；第二步：將剩下的個名額分配給個班。取塊相同隔板，連同個相同名額排成一排，共個位置。由隔板法知，在個位置中任取個位置排上隔板，有種排法。由分步計數原理知：個學生代表名額，分配到某年級的個班中，每班至少個名額，共有種不同分法。
??? 點評：名額與名額是沒有差別的，而班級與班級是有差別的，所以適合隔板法。
三、求n項展開式的項數
例1
求展開式中共有多少項？
【解析】用個相同的小球代表冪指數10, 用5個標有
的5個不同的盒子表示數x1、x2、...、x5，將10個相同的小球放入5個不同的盒子中，把標有xi(i=1,2...5)的每個盒子得到的小球數，記作xi的ki次方。這樣，將10個相同的小球放入5個不同的盒子中的每一種放法，就對應著展開式中的每一項。取5-1=4塊相同隔板，連同10個相同的小球排成一排，共14個位置。由隔板法知，在14個位置中任取4個位置排上隔板，有種排法。故展開式共有=1001項。
四、求n元一次方程組的非負整數解
例1
求方程的正整數解的個數。
【解析】用7個相同的小球代表數7, 用5個標有同上的個不同的盒子表示均不能為的正整數未知數同上。要得到方程的正整數解的個數，分兩步。第一步：5個盒子每個盒子先分配1個小球，只有1種分法；第二步：將剩下的2個小球分配給5個盒子。取5-1=4塊相同隔板，連同2個相同小球排成一排，共6個位置。由隔板法知，在6個位置中任取4個位置排上隔板，有種排法。由分步計數原理知：共有種放法。我們把標有xi的每個盒子得到的小球數ki，記作：xi=ki。這樣，將7個相同的小球放入5個不同的盒子中的每一種放法，就對應著方程的每一組解(k1,k2...k5)。所以，方程的正整數解共有=15個。
升級-元素不相鄰問題：
當元素之間不相鄰，則可將插入“隔板”改為插入“元素”，即插空法。
例1
若有A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B兩個人必須不站在一起，則有多少排隊方法?(??? )
A.36????? B.64 ??????C.80?????D.84?????? E.90
【解析】題目要求A和B兩個人必須隔開。首先將C、D、E三個人排列，有種排法P(3,3)=6;若排成DCE，則D、C、E“中間”和“兩端”共有四個空位置，也即是：︺D︺C︺E︺，此時可將A、B兩人插到四個空位置中的任意兩個位置，P(4,2)=12有種插法，共有排隊方法：6*12=84。故選D
例2
在一張節目單中原有6個節目，若保持這些節目相對順序不變，再添加進去3個節目，則所有不同的添加方法共有多少種??(??? )
A.501?????B.504??????? C.505?? ???????D.507???????E.510
【解析】直接解答較為麻煩，可利用插空法去解題，故可先用一個節目去插7個空位(原來的6個節目排好后，中間和兩端共有7個空位)，有7種方法;再用另一個節目去插8個空位，有8種方法;用最后一個節目去插9個空位，有9種方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為7*8*9=504種。故選B
例3
一條馬路上有編號為1、2、??、9的九盞路燈，為了節約用電，可以把其中的三盞關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關燈方法有多少種??
A.35?????? B.36???????? C.37????? ?????D.38??????E.39
【解析】若直接解答須分類討論，情況較復雜。故可把六盞亮著的燈看作六個元素，然后用不亮的三盞燈去插7個空位，共有C(7,3)=35種方法，因此所有不同的關燈方法有35種。故選A。
【提示】運用插空法解決排列組合問題時，一定要注意插空位置包括先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過程是“先排列，再插空”。
練習題：
1. 有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法？(?? )
A.?20???B.36????C.45???D.56????? E.60
2.把10個相同的小球放入3個不同的箱子，每個箱子至少一個，問有幾種情況？(??? )
?A.?20???B.36????C.45???D.56????? E.60
3.若將10只相同的球隨機放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，則每個盒子不放空的投放方法有(??? )[2009,01]
A.?72???B.84????C.96???D.108????? E.120
周末即將到來
本周面試的小伙伴要好好準備呀！
通過的朋友們繼續加油準備筆試
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的sql相同顺序法和一次封锁法_数学专题 | Ep01 隔板法的妙用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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