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    • 方案1：遞歸
    • 方案二：遞推

題目

數(shù)字三角形問題。有一個由非負(fù)整數(shù)組成的三角形，第一行只有一個數(shù)，除了最下行 之外每個數(shù)的左下方和右下方各有一個數(shù)
從第一行的數(shù)開始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途經(jīng)過的數(shù) 全部加起來。如何走才能使得這個和盡量大？

具體實現(xiàn)代碼中的d我們用maxsum表示
最初的位置我們用d存

1.把當(dāng)前的位置(i, j)看成一個狀態(tài) ，然后定義狀態(tài)(i, j)的指標(biāo)函數(shù)d(i, j)為從格子(i, j)出發(fā)時能得到的最大和 （包括格子(i, j)本身的值）。在這個狀態(tài)定義下，原問題的解是d(1, 1)。
2.不同狀態(tài)之間是如何轉(zhuǎn)移的。從格子(i, j)出發(fā)有兩種決策。如果往左走，則走 到(i＋1, j)后需要求“從(i＋1, j)出發(fā)后能得到的最大和”這一問題，即d(i＋1, j)。類似地，往右走之后需要求解d(i＋ 1 , j＋1)。由于可以在這兩個決策中自由選擇，所以應(yīng)選擇d(i＋1,j) 和d(i＋1,j＋1)中較大的一個。
3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}
4.如果往左走，那么最好情況等于(i, j)格子里的值a(i, j)與“從(i＋1, j)出發(fā)的最大總和”之 和，注意這里的“最大”二字。如果連“從(i＋1,j)出發(fā)走到底部”這部分的和都不是最大 的，加上a(i, j)之后肯定也不是最大的。這個性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)（optimal substructure）， 也可以描述成“全局最優(yōu)解包含局部最優(yōu)解”。
5.狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程一起完整地描 述了具體的算法。

方案1：遞歸

可以用記憶化搜索的方法計算狀 態(tài)轉(zhuǎn)移方程。當(dāng)采用記憶化搜索時，不必事先確 定各狀態(tài)的計算順序，但需要記錄每個狀態(tài)“是 否已經(jīng)計算過”。
題目中說各個數(shù)都是非 負(fù)的，因此如果已經(jīng)計算過某個d[i][j]，則它應(yīng)是非負(fù)的。這樣，只需把所有d初始化為－ 1，即可通過判斷是否d[i][j]！=-1得知它是否已經(jīng)被計算過。

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define maxx 101 int d [maxx][maxx]; int n; int maxsum[maxx][maxx]; int ms(int i,int j); int main() {int i,j;cin>>n;for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=i;++j){cin>>d[i][j];maxsum[i][j]=-1;}cout<<ms(1,1)<<endl;} int ms(int i,int j) {if(maxsum[i][j]!=-1)return maxsum[i][j];//保存算過的 賦值語句本身有返回值”的規(guī)定，//可以把maxsum[i][j]的工作合并到函數(shù)的返回語句中。if(i==n)maxsum[i][j]=d[i][j];else {int y=ms(i+1,j+1);int x=ms(i+1,j);maxsum[i][j]=max(x,y)+d[i][j];}return maxsum[i][j]; }

方案二：遞推

i是 逆序枚舉 的，因此在計算d[i][j]前，它所需要的d[i＋1][j]和d[i＋1][j＋1]一定已經(jīng)計算出來了。

最底下的元素d（i，j）的maxsum[i][j]一定是他自身
這樣我們可以自下而上地推出每一個d（i，j）的maxsum

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define maxx 101 int d [maxx][maxx]; int n; int maxsum[maxx][maxx];int main() { int i,j; cin>>n; for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=i;++j) { cin>>d[i][j]; } for(i=1;i<=n;++i) maxsum[n][i]=d[n][i]; for(i=n-1;i>=1;--i) for(j=1;j<=i;++j) maxsum[i][j]=max(maxsum[i+1][j],maxsum[i+1][j+1])+d[i][j]; cout<<maxsum[1][1]<<endl;}

用一維數(shù)組存：

//直接用d的第n行代替 #include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; #define maxx 101 int d [maxx][maxx]; int n; int *maxsum;int main() {int i,j;cin>>n;for(i=1;i<=n;++i)for(j=1;j<=i;++j){cin>>d[i][j];}maxsum=d[n];for(i=n-1;i>=1;--i)for(j=1;j<=i;++j)maxsum[j]=max(maxsum[j],maxsum[j+1])+d[i][j];cout<<maxsum[1]<<endl;}

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的（dp）数字三角形的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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