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摘要： 當我們利用等價無窮小量時，不僅僅可以利用等價替換，有的時候我們需要利用極限的定義語言來解決問題，當等價無窮小量和連加數列結合在一起時，雖然很多同學都能猜到最后的答案，但是過程往往都是有瑕疵的，沒有相應的理論依據，這篇文章對此了進行詳細的說明，希望能夠對大家有所幫助。

利用定積分定義解決數列極限回顧

函數在區間上可積，此時可得

注意：
大家注意哦，當利用定積分解決數列極限時， 首先要寫成定積分的形式，找到相應的被積函數，積分的上下限，以及相鄰小區間之間的距離。

無窮小量等價和定積分結合解決數列極限總結

【例1】.(2005浙江大學)
設在上可積，且

計算

分析：
此題仔細觀察會發現，是沒有辦法利用定積分定義去解決的，有的同學會說要是沒有對數函數ln該多好啊，是啊，要是沒有ln,這個題解決那可是分分鐘的事情，也就變成了

但問題是明明對數函數ln確實存在呀，可是有的同學會說，可以利用等價無窮小量啊，即

此時可得

此時有些同學會提出說，下面就變為了

注意哦，這樣去思考是有問題的，因為等價無窮小量替換的是所求極限的因式部分，而在此題中是不滿足的，不過此題要想解決，確實需要利用等價無窮小量，下面我們把步驟簡單梳理一下。證明：
由于

則可得

當時有

即

即

又在上可積，則存在，使得

又

則對上述給定的，存在，當時，有

此時可得

此時進一步可得

將

進行連加可得

綜上可得

此時得到

又

則可得

即得

總結：
大家注意哦，我們證明

利用的是等價無窮小量的極限定義語言，此時比簡答的等無窮小替換更有說服力！證明思想和巖寶數學考研公眾號數學分析 第五章 導數和微分--利用導數存在解決一類數列極限問題總結里面的證明方法相似，大家可以一塊結合起來進行證明。

【例1】.(2012西安電子科技大學)

分析：
方法一：利用例1的思想可以解決，此時最后可以得到

方法二：進行兩頭放縮，然后夾逼準則也是可以的，即

進一步轉化可得

可得

連加可得

又

由數列極限的迫斂性可得

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▼往期精彩回顧▼高等代數|3.4線性方程組的反問題數學分析|第九章 定積分--利用定積分定義解決連加和連乘數列極限問題總結應用數學370才能進復試？——西南大學

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為小編的辛苦編輯點個“在看”嘛~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的积分上下限无穷_数学分析|第九章 定积分利用等价无穷小量和定积分定义解决数列极限问题总结...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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