公元2020年5月5日，距離算法考試僅剩4天。

一、知識(shí)歸納

1.設(shè)計(jì)思想

• 只根據(jù)當(dāng)前已有的信息就做出選擇，而且一旦做出了選擇，將來(lái)無(wú)論如何都不能更改
• 不從整體最優(yōu)考慮，所做的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)
• 這種選擇并不總能獲得整體最優(yōu)解（Optimal Solution），但通常能獲得近似最優(yōu)解（Near-Optimal Solution）

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法通常以自底向上的方式求解各個(gè)子問(wèn)題。
貪心法則通常以自頂向下的方式做出一系列的貪心選擇。

2.示例

【找錢問(wèn)題】假設(shè)有面值為5元、2元、1元、5角、2角、1角的貨幣，需要找給顧客4元6角現(xiàn)金，使付出的貨幣的數(shù)量最少。

【思路】

• 首先選出1張面值不超過(guò)4元6角的最大面值的貨幣，即2元，再選出1張面值不超過(guò)2元6角的最大面值的貨幣，即2元，再選出1張面值不超過(guò)6角的最大面值的貨幣，即5角，再選出1張面值不超過(guò)1角的最大面值的貨幣，即1角，總共付出4張貨幣。
• 在付款問(wèn)題每一步的貪心選擇中，在不超過(guò)應(yīng)付款金額的條件下，只選擇面值最大的貨幣，而不去考慮在后面看來(lái)這種選擇是否合理，而且它還不會(huì)改變決定：一旦選出了一張貨幣，就永遠(yuǎn)選定。
• 貪心選擇策略是盡可能使付出的貨幣最快地滿足支付要求，其目的是使付出的貨幣張數(shù)最慢地增加

3.基本要素

(1) 最優(yōu)量度標(biāo)準(zhǔn)（正確的貪心策略，貪心選擇性質(zhì)）

• 貪心法求解問(wèn)題的核心問(wèn)題
• 根據(jù)該量度標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)行多步?jīng)Q策進(jìn)行求解
• 在該量度意義下，每步的貪心選擇是局部最優(yōu)的
• 得到全局最優(yōu)解

(2) 求解的問(wèn)題有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)(最優(yōu)性原理)

• 一個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解包含其子問(wèn)題的最優(yōu)解

注：貪心算法的基本要素是貪心選擇性質(zhì)和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

4.求解過(guò)程

(1) 分解

• 將原問(wèn)題分解為若干相互獨(dú)立的階段；

(2) 求解

• 對(duì)于每個(gè)階段求局部最優(yōu)解，即根據(jù)貪心策略進(jìn)行貪心選擇；
• 在每個(gè)階段，選擇一旦做出就不可更改。

(3) 合并

• 將各個(gè)階段的解合并為原問(wèn)題的一個(gè)可行解。

5.相關(guān)概念

(1) 候選解集合C

• 問(wèn)題的可能解
• 問(wèn)題的最終解均取自于該候選集合

(2) 解集合S

• 隨著貪心選擇的進(jìn)行不斷擴(kuò)展，直到構(gòu)成一個(gè)滿足問(wèn)題的完整解

(3) 解判定函數(shù)solution

• 檢查解集合S是否構(gòu)成問(wèn)題的完整解

(4) 選擇函數(shù)select

• 貪心策略，這是貪心法的關(guān)鍵
• 指出哪個(gè)候選對(duì)象最有希望構(gòu)成問(wèn)題的解
• 通常和目標(biāo)函數(shù)有關(guān)

(5) 可行解判定函數(shù)feasible

• 檢查解集合中加入一個(gè)候選對(duì)象是否可行，即解集合擴(kuò)展后是否滿足約束條件

6.貪心法的一般過(guò)程

Greedy

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二、組合問(wèn)題中的貪心法

• 背包問(wèn)題(物品可切割)
• 多機(jī)調(diào)度問(wèn)題
• 活動(dòng)安排問(wèn)題

1.背包問(wèn)題

【問(wèn)題表述】給定n種物品和一個(gè)容量為C的背包，物品i的重量是wi，其價(jià)值為vi，設(shè)xi表示物品i裝入背包的情況，背包問(wèn)題是如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價(jià)值最大?

【建立模型】

【貪心策略】

貪心策略一：價(jià)值最大優(yōu)先
因?yàn)檫@可以盡可能快地增加背包的總價(jià)值。但是，雖然每一步選擇獲得了背包價(jià)值的極大增長(zhǎng)，但背包容量卻可能消耗得太快，使得裝入背包的物品個(gè)數(shù)減少，從而不能保證目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大。貪心策略二：重量最輕優(yōu)先
因?yàn)檫@可以裝入盡可能多的物品，從而增加背包的總價(jià)值。但是，雖然每一步選擇使背包的容量消耗的慢了，但背包的價(jià)值卻沒(méi)能保證迅速增長(zhǎng)，從而不能保證目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大。貪心策略三：單位重量?jī)r(jià)值最大優(yōu)先
在背包價(jià)值增長(zhǎng)和背包容量消耗兩者之間尋找平衡。

例如，有3個(gè)物品，其重量分別是{20, 30, 10}，價(jià)值分別為{60, 120, 50}，背包的容量為50，應(yīng)用三種貪心策略裝入背包的物品和獲得的價(jià)值如圖所示。

應(yīng)用第三種貪心策略，每次從物品集合中選擇單位重量?jī)r(jià)值最大的物品，如果其重量小于背包容量，就可以把它裝入，并將背包容量減去該物品的重量，然后我們就面臨了一個(gè)最優(yōu)子問(wèn)題——它同樣是背包問(wèn)題，只不過(guò)背包容量減少了，物品集合減少了。因此背包問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

【算法描述】

設(shè)背包容量為C，共有n個(gè)物品，物品重量存放在數(shù)組w[n]中，價(jià)值存放在數(shù)組v[n]中，問(wèn)題的解存放在數(shù)組x[n]中。

1．改變數(shù)組w和v的排列順序，使其按單位重量?jī)r(jià)值v[i]/w[i]降序排列； 2．將數(shù)組x[1:n]初始化為0； //初始化解向量 3．i=1; 4．循環(huán)直到(w[i]>C)4.1 x[i]=1; //將第i個(gè)物品放入背包4.2 C=C-w[i];4.3 i++; 5. x[i]=C/w[i]; void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]) {Sort(n,v,w);int i;for (i=1;i<=n;i++) x[i]=0;float c=M;for (i=1;i<=n;i++) {if (w[i]>c) break;x[i]=1;c - =w[i];}if (i<=n) x[i]=c/w[i]; }

【算法時(shí)間復(fù)雜度分析】

該算法的時(shí)間主要消耗在將各種物品依其單位重量的價(jià)值從大到小排序。因此，其時(shí)間復(fù)雜性為O(nlog2n)。

注：貪心算法不能解決0/1背包問(wèn)題，可通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解決。

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三、圖問(wèn)題中的貪心法

• 單源最短路徑問(wèn)題 - Dijkstra算法
• TSP問(wèn)題
• 最小生成樹問(wèn)題 - Prim算法 - Kruskal算法
• 圖著色問(wèn)題

1.最小代價(jià)生成樹問(wèn)題

【問(wèn)題表述】設(shè)G=(V，E)是一個(gè)無(wú)向連通圖，生成樹上各邊的權(quán)值之和稱為該生成樹的代價(jià)，在G的所有生成樹中，代價(jià)最小的生成樹稱為最小生成樹（Minimal Spanning Trees）。

【貪心策略】

①最近頂點(diǎn)策略任選一個(gè)頂點(diǎn)，并以此建立起生成樹，每一步的貪心選擇是簡(jiǎn)單地把不在生成樹中的最近頂點(diǎn)添加到生成樹中。②最短邊策略設(shè)G = (V,E)是一個(gè)無(wú)向連通網(wǎng)，令T= (V,TE)是G的最小生成樹。從TE={}開始，每一次貪心選擇都是在邊集E中選取最短邊(u,v)，如果邊(u, v)加入集合TE中不產(chǎn)生回路，則將邊(u,v)加入邊集TE中，并將它在集合E中刪去。

最近頂點(diǎn)策略—Prim算法

• 使生成樹以一種自然的方式生長(zhǎng)
• 從任意頂點(diǎn)開始，每一步為這棵樹添加一個(gè)分枝，直到生成樹中包含全部頂點(diǎn)

【算法描述】

設(shè)圖G中頂點(diǎn)的編號(hào)為0～n-1

Prim算法1. 初始化兩個(gè)輔助數(shù)組lowcost和adjvex；2. U={u0}; 輸出頂點(diǎn)u0; //將頂點(diǎn)u0加入生成樹中3. 重復(fù)執(zhí)行下列操作n-1次3.1 在lowcost中選取最短邊，取adjvex中對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)序號(hào)k;3.2 輸出頂點(diǎn)k和對(duì)應(yīng)的權(quán)值；3.3 U=U+{k}；3.4 調(diào)整數(shù)組lowcost和adjvex；

【算法時(shí)間復(fù)雜度分析】

設(shè)連通網(wǎng)中有n個(gè)頂點(diǎn)，則

• 第一個(gè)進(jìn)行初始化的循環(huán)語(yǔ)句需要執(zhí)行n一1次
• 第二個(gè)循環(huán)共執(zhí)行n - 1次,內(nèi)嵌兩個(gè)循環(huán)：
• 其一是在長(zhǎng)度為n的數(shù)組中求最小值，需要執(zhí)行n- 1次；
• 其二是調(diào)整輔助數(shù)組，需要執(zhí)行n- 1次。

所以，Prim算法的時(shí)間復(fù)雜度為

。

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四、考點(diǎn)總結(jié)

1.滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)一定滿足貪心性質(zhì)嗎？

滿足貪心選擇性質(zhì)一定滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，而滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)不一定滿足貪心選擇性質(zhì)，比如背包問(wèn)題可以用貪心算法解決，而0-1背包問(wèn)題只能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

2.活動(dòng)選擇問(wèn)題中：

?最優(yōu)的貪心策略是“最早結(jié)束活動(dòng)優(yōu)先”

?怎么衡量?jī)蓚€(gè)活動(dòng)A和B是相容的？

3.背包問(wèn)題的貪心算法所需的計(jì)算時(shí)間為 nlogn

4.貪心算法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的主要區(qū)別是 貪心選擇性質(zhì)

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法通常以自底向上的方式求解各個(gè)子問(wèn)題。
貪心法則通常以自頂向下的方式做出一系列的貪心選擇。

5.最大效益優(yōu)先是（ 貪心法 ）的搜索方式

6.貪心算法的基本要素是 貪心選擇 性質(zhì)和 最優(yōu)子結(jié)構(gòu) 性質(zhì) 。

最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是貪心算法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的共同點(diǎn)。貪心選擇性質(zhì) 是貪心算法可行的第一個(gè)基本要素，也是貪心算法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的主要區(qū)別。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的求一个任意实数c的算术平方根g的算法设计思想_算法复习第四篇——贪心法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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