我的GitHub地址：https://github.com/taw19960426/DeepLearning存放與之對應的python代碼

1.Regression

1.1 Introduction

• Machine Learning: define a set of function, goodness of function, pick the best function
• 選不同的function 其實就是選不同的model，model里面最簡單的就是linear model;此外還有很多nonlinear model，如deep learning, SVM, decision tree, kNN… 以上都是supervised learning - 需要搜集很多training data
• 回歸分析是一種預測性的建模技術，它研究的是因變量（目標）和自變量（預測器）之間的關系。這種技術通常用于預測分析，時間序列模型以及發現變量之間的因果關系。回歸問題通常是用來預測一個值，如預測房價、未來的天氣情況等等。

1.2 Step

• Step1:
  Model: $y=b+w{x}_{cp}$
  -w和b是參數，w：權重，b：偏差
  線性模型：$y=b+\sum w_i{x}_i$

• Step2:Goodness of Function
  Goodness of Function - -損失函數L：input is a function, output is how bad it is (損失函數)。
  損失函數的第一版：$$L(w,b)=\sum {\left({\hat{y}}^n?\left(b+w{x}_{cp}^n\right)\right)}^2$$

• Step3: Best Function
  $$w^{?}{b}^{?}=\arg \underset{w,b}{\min }L(w,b)=\arg \underset{w,b}{\min }\sum {\left({\hat{y}}^n?\left(b+w{x}_{cp}^n\right)\right)}^2$$

1.3 Regularization (正則化)

• $y=b+\sum w_i{x}_i$

• $L={\sum }_n{\left({\hat{y}}^n?\left(b+\sum w_i{x}_i\right)\right)}^2+\lambda {\left(w_i\right)}^2$

• 不但要選擇一個loss小的function，還要選擇一個平滑的function(正則化使函數更平滑, 因為w比較小)

• $\lambda$大，找出來的function就比較smooth。反之，找出來的則不太smooth. 在由小到大變化的過程中，函數不止要考慮loss最小化還要考慮weights最小化，所以對training error最小化的考慮就會相對(于沒有正則化的時候)減小，因此training error會隨著增大而增大。test error則先減小再增大。

2.Gradient Descent (梯度下降法)

梯度下降法 - 只要loss func對與它的參數是可微分的就可以用，不需要一定是線性方程

2.1 總體思想

• 選擇一個初始值$w^0$ ；-計算${\frac{dL}{dw}|}_{w=w^0}$ ,$w1\leftarrow w^0?{\eta \frac{dL}{dw}|}_{w=w^0}$和 $\eta$學習率 。繼續此步驟，直到找到等于零的梯度。
• 對于兩個參數：$w^{?},b^{?}$; -選擇初始值：$w_0,b_0$ ;
• 計算
  $${\frac{?L}{?w}|}_{w=w_0,b=b_0},{\frac{?L}{?b}|}_{w=w_0,b=b_0}$$
  $$w^1\leftarrow w^0?{\eta \frac{?L}{?w}|}_{w=w^0,b=b^0}$$
  $$b^1\leftarrow b^0?{\eta \frac{?L}{?b}|}_{w=w^0,b=b^0}$$
  繼續此步驟，直到找到等于零的坡度。
• 以上方法得出來的結果滿足：
  $${\theta }^{?}=\arg \underset{\theta }{\min }L(\theta )$$

2.2 線性回歸-梯度下降公式摘要：

$$\begin{array}{l}L(w,b)={\sum }_{n=1}^{10}{\left({\hat{y}}^n?\left(b+w{x}_{cp}^n\right)\right)}^2\\ \\ \frac{?L}{?w}={\sum }_{n=1}^{10}2\left({\hat{y}}^n?\left(b+w{x}_{cp}^n\right)\right)\left(?x_{cp}^n\right)\\ \\ \frac{?L}{?b}={\sum }_{n=1}^{10}2\left({\hat{y}}^n?\left(b+w{x}_{cp}^n\right)\right)(?1)\end{array}$$

2.3 設置learning rate:

• 假設$\theta$有兩個變量${\theta }_1,{\theta }_2$ , 則：
  $${\theta }^0=\left[\begin{array}{l}{\theta }_1^0\\ {\theta }_2^0\end{array}\right],{\theta }^1={\theta }^0?\eta ?L\left({\theta }^0\right)$$
  $$\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^1\\ {\theta }_2^1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\theta }_1^0\\ {\theta }_2^0\end{array}\right]?\eta \left[\begin{array}{c}?L\left({\theta }_1^0\right)/?{\theta }_1\\ ?L\left({\theta }_2^0\right)/?{\theta }_2\end{array}\right]$$
  這里：
  $?L(\theta )=\left[\begin{array}{l}?L\left({\theta }_1\right)/?{\theta }_1\\ ?L\left({\theta }_2\right)/?{\theta }_2\end{array}\right]$

• 可以繪制loss vs. No. of parameters updates(同一個循環的參數迭代次數)的曲線，觀察變化趨勢；

• 每隔幾個時期將學習率降低一些因子，例如：${\eta }^t=\eta /\sqrt{t+1}$

• 為不同的參數提供不同的學習率-Adagrad-將每個參數的學習率除以其先前導數的均方根
  $$\begin{array}{rl}{w}^1\leftarrow w^0?\frac{{\eta }^0}{{\sigma }^0}{g}^0& {\sigma }^0=\sqrt{{\left(g^0\right)}^2}\\ w^2\leftarrow w^1?\frac{{\eta }^1}{{\sigma }^1}{g}^1& {\sigma }^1=\sqrt{\frac{1}{2}\left[{\left(g^0\right)}^2+{\left(g^1\right)}^2\right]}\\ w^3\leftarrow w^2?\frac{{\eta }^2}{{\sigma }^2}{g}^2& {\sigma }^2=\sqrt{\frac{1}{3}\left[{\left(g^0\right)}^2+{\left(g^1\right)}^2+{\left(g^2\right)}^2\right]}\\ & \\ w^{t+1}\leftarrow w^t?\frac{{\eta }^t}{{\sigma }^t}{g}^t& {\sigma }^t=\sqrt{\frac{1}{t+1}\sum _{i=0}^t{\left(g^i\right)}^2}\end{array}$$
  ${\eta }^t/{\sigma }^t$可以消除…然后涉及以下形式：
  $$w^{t+1}\leftarrow w^t?\frac{\eta }{\sqrt{{\sum }_{i=0}^t{\left(g^i\right)}^2}}{g}^t$$
  $g^t=\frac{?L\left({\theta }^t\right)}{?w}$為當下的梯度值(偏微分) - 造成反差效果

3 python代碼實現

我的GitHub地址：https://github.com/taw19960426/DeepLearning

3.1 GradientDescent01.py

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # plt#相當于x^n和y^n所對應的cp值 x_data = [338, 333, 328, 207, 226, 25, 179, 60, 208, 606] y_data = [640, 633, 619, 393, 428, 27, 193, 66, 226, 1591]#準備三維函數及待投影平面的網格坐標 x = np.arange(-200, -100, 1) # bias y = np.arange(-5, 5, 0.1) # weight Z = np.zeros((len(x), len(y))) X, Y = np.meshgrid(x, y) #[X,Y] = meshgrid(x,y) 將向量x和y定義的區域轉換成矩陣X和Y, # 其中矩陣X的行向量是向量x的簡單復制，而矩陣Y的列向量是向量y的簡單復制 for i in range(len(x)):for j in range(len(y)):b = x[i]w = y[j]Z[j][i] = 0for n in range(len(x_data)):Z[j][i] = Z[j][i] + (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2Z[j][i] = Z[j][i] / len(x_data)# yadata = b + w*xdata b = -120 # intial b w = -4 # intial w lr = 0.0000001 # 學習率 iteration = 100000#迭代次數#存儲繪圖的初始值 b_history = [b] w_history = [w]# iterations for i in range(iteration):b_grad = 0.0w_grad = 0.0#L(w,b)對b,w分別求導for n in range(len(x_data)):b_grad = b_grad - 2.0 * (y_data[n] - b - w * x_data[n]) * 1.0w_grad = w_grad - 2.0 * (y_data[n] - b - w * x_data[n]) * x_data[n]#更新參數相當于第一代版本的W^(t+1)=W^t-(lr)^t*g^tb = b - lr * b_gradw = w - lr * w_grad# 存儲繪圖參數b_history.append(b)w_history.append(w)# plot the figure plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet')) ''' contourf() 函數為等高線圖填充顏色. x：指定 X 軸數據。 y：指定 Y 軸數據。 z：指定 X、Y 坐標對應點的高度數據。 colors：指定不同高度的等高線的顏色。 alpha：指定等高線的透明度。 cmap：指定等高線的顏色映射，即自動使用不同的顏色來區分不同的高度區域。 linewidths：指定等高線的寬度。 linestyles：指定等高線的樣式''' plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=6, markeredgewidth=3, color='orange') # ms和marker分別代表指定點的長度和寬度。 plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black') plt.xlim(-200, -100) plt.ylim(-5, 5) plt.xlabel(r'$b$', fontsize=16) plt.ylabel(r'$w$', fontsize=16) plt.show()

結果顯示：

3.2 GradientDescent02.py

對 b 和 w 給予克制化的Learning Rate:

學習率 lr 改為 1，lr_b = 0 / lr_w = 0 ;
對b、w定制化的學習率lr,采用Adagard

b = b - lr / np.sqrt(lr_b) * b_grad ; w = w - lr / np.sqrt(lr_w) * w_grad

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # plt#相當于x^n和y^n所對應的cp值 x_data = [338, 333, 328, 207, 226, 25, 179, 60, 208, 606] y_data = [640, 633, 619, 393, 428, 27, 193, 66, 226, 1591]#準備三維函數及待投影平面的網格坐標 x = np.arange(-200, -100, 1) # bias y = np.arange(-5, 5, 0.1) # weight Z = np.zeros((len(x), len(y))) X, Y = np.meshgrid(x, y) #[X,Y] = meshgrid(x,y) 將向量x和y定義的區域轉換成矩陣X和Y, # 其中矩陣X的行向量是向量x的簡單復制，而矩陣Y的列向量是向量y的簡單復制 for i in range(len(x)):for j in range(len(y)):b = x[i]w = y[j]Z[j][i] = 0for n in range(len(x_data)):Z[j][i] = Z[j][i] + (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2Z[j][i] = Z[j][i] / len(x_data)# yadata = b + w*xdata b = -120 # intial b w = -4 # intial w lr = 1 # 學習率 iteration = 100000#迭代次數#存儲繪圖的初始值 b_history = [b] w_history = [w]#對w,b分別定義學習率，初始化 lr_b=0 lr_w=0# iterations for i in range(iteration):b_grad = 0.0w_grad = 0.0#L(w,b)對b,w分別求導for n in range(len(x_data)):b_grad = b_grad - 2.0 * (y_data[n] - b - w * x_data[n]) * 1.0w_grad = w_grad - 2.0 * (y_data[n] - b - w * x_data[n]) * x_data[n]''' #更新參數相當于第一代版本的W^(t+1)=W^t-(lr)^t*g^tb = b - lr * b_gradw = w - lr * w_grad'''# 對w,b分別賦予不同的學習率lr# 更新參數相當于第二代版本，加入反差效果，反映二次微分lr_b=lr_b+b_grad**2lr_w=lr_w+w_grad**2#對b、w定制化的學習率lr,采用Adagardb=b-lr/np.sqrt(lr_b)*b_gradw=w-lr/np.sqrt(lr_w)*w_grad# 存儲繪圖參數b_history.append(b)w_history.append(w)# plot the figure plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet')) ''' contourf() 函數為等高線圖填充顏色. x：指定 X 軸數據。 y：指定 Y 軸數據。 z：指定 X、Y 坐標對應點的高度數據。 colors：指定不同高度的等高線的顏色。 alpha：指定等高線的透明度。 cmap：指定等高線的顏色映射，即自動使用不同的顏色來區分不同的高度區域。 linewidths：指定等高線的寬度。 linestyles：指定等高線的樣式''' plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=6, markeredgewidth=3, color='orange') # ms和marker分別代表指定點的長度和寬度。 plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black') plt.xlim(-200, -100) plt.ylim(-5, 5) plt.xlabel(r'$b$', fontsize=16) plt.ylabel(r'$w$', fontsize=16) plt.show()

結果顯示：

參考文章：

https://blog.csdn.net/xzy_thu/article/details/67640512

https://blog.csdn.net/u013541048/article/details/81335256

https://blog.csdn.net/wills798/article/details/80401771

https://www.jianshu.com/p/994dec1bb90c

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【ML】 李宏毅机器学习一：Regression、Gradient Descent（python实现）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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