數(shù)據(jù)科學(xué)家們常說(shuō)，所有的模型都是錯(cuò)的，但是，其中一些是有用的。如果一個(gè)“有用”的模型能夠過(guò)濾掉數(shù)據(jù)中哪些不重要的細(xì)枝末節(jié)，抓住其主要的內(nèi)在關(guān)系，從而幫助我們更好地理解數(shù)據(jù)。很多情況下，線性回歸就是這樣一個(gè)“有用”模型，本篇我們從機(jī)器學(xué)習(xí)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)兩個(gè)角度去探索《線性回歸》。以下內(nèi)容來(lái)自于筆者閱讀各類數(shù)據(jù)科學(xué)相關(guān)書籍的讀書摘錄筆記，希望能夠?qū)?shù)據(jù)分析行業(yè)從業(yè)者起到點(diǎn)滴幫助，由于筆者水平能力有限，整理的不妥之處請(qǐng)各位大佬批評(píng)指正！如涉版權(quán)問題請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系刪除，謝謝！歡迎轉(zhuǎn)發(fā)分享學(xué)習(xí)！——2019年12月15日

目錄

• 數(shù)據(jù)科學(xué)概述
• 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：線代、概率論、微積分
• 線性回歸
• 邏輯回歸
• 算法的求解
• 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的啟示
• 監(jiān)督學(xué)習(xí)
• 無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)
• 生成式模型
• 分布式機(jī)器學(xué)習(xí)
• 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與深度學(xué)習(xí)
• Python利器：Pandas、StatsModel、Sklearn、Tensorflow、XGBoost、Pyspark
• 特征工程：滑動(dòng)窗口、時(shí)域特征、頻域特征

線性回歸概述

從初中學(xué)過(guò)的二元一次方程看起，因變量與自變量的關(guān)系可以用一條直線表示（這就是“線性”的含義）

我們所謂的建模過(guò)程，其實(shí)就是找到一個(gè)模型，最大程度的擬合我們的數(shù)據(jù)。 在簡(jiǎn)單線回歸問題中，模型就是我們的直線方程：y = ax + b 。

數(shù)學(xué)函數(shù)理論的世界是精確的：代入一個(gè)自變量就能得到唯一的因變量。但現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)據(jù)就像這個(gè)散點(diǎn)圖，我們只能盡可能地在雜亂中尋找規(guī)律。用數(shù)學(xué)的模型去擬合現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)，這就是統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)不像數(shù)學(xué)那么精確，統(tǒng)計(jì)的世界不是非黑即白的，它有“灰色地帶”，但是統(tǒng)計(jì)會(huì)將理論與實(shí)際間的差別表示出來(lái)，也就是“誤差”。因此，統(tǒng)計(jì)世界中的公式會(huì)有一個(gè)小尾巴 ，用來(lái)代表誤差，即：

損失函數(shù)

要想最大的擬合數(shù)據(jù)，本質(zhì)上就是找到?jīng)]有擬合的部分，也就是損失的部分盡量小，就是損失函數(shù)（loss function）（也有算法是衡量擬合的程度，稱函數(shù)為效用函數(shù)（utility function））：

因此，推導(dǎo)思路為：

通過(guò)分析問題，確定問題的損失函數(shù)或者效用函數(shù)；然后通過(guò)最優(yōu)化損失函數(shù)或者效用函數(shù)，獲得機(jī)器學(xué)習(xí)的模型

近乎所有參數(shù)學(xué)習(xí)算法都是這樣的套路，區(qū)別是模型不同，建立的目標(biāo)函數(shù)不同，優(yōu)化的方式也不同。

回到簡(jiǎn)單線性回歸問題，目標(biāo)：已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本

、

，找到

和

的值，使

盡可能小

這是一個(gè)典型的最小二乘法問題（最小化誤差的平方）

通過(guò)最小二乘法可以求出a、b的表達(dá)式：

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，所有的算法模型其實(shí)都依賴于最小化或最大化某一個(gè)函數(shù)，我們稱之為“目標(biāo)函數(shù)”。

最小化的這組函數(shù)被稱為“損失函數(shù)”。什么是損失函數(shù)呢？

損失函數(shù)描述了單個(gè)樣本預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間誤差的程度。用來(lái)度量模型一次預(yù)測(cè)的好壞。

損失函數(shù)是衡量預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)期望結(jié)果表現(xiàn)的指標(biāo)。損失函數(shù)越小，模型的魯棒性越好。。

常用損失函數(shù)有：

0-1損失函數(shù)：用來(lái)表述分類問題，當(dāng)預(yù)測(cè)分類錯(cuò)誤時(shí)，損失函數(shù)值為1，正確為0

平方損失函數(shù)：用來(lái)描述回歸問題，用來(lái)表示連續(xù)性變量，為預(yù)測(cè)值與真實(shí)值差值的平方。（誤差值越大、懲罰力度越強(qiáng)，也就是對(duì)差值敏感）

絕對(duì)損失函數(shù)：用在回歸模型，用距離的絕對(duì)值來(lái)衡量

對(duì)數(shù)損失函數(shù)：是預(yù)測(cè)值Y和條件概率之間的衡量。事實(shí)上，該損失函數(shù)用到了極大似然估計(jì)的思想。P(Y|X)通俗的解釋就是：在當(dāng)前模型的基礎(chǔ)上，對(duì)于樣本X，其預(yù)測(cè)值為Y，也就是預(yù)測(cè)正確的概率。由于概率之間的同時(shí)滿足需要使用乘法，為了將其轉(zhuǎn)化為加法，我們將其取對(duì)數(shù)。最后由于是損失函數(shù)，所以預(yù)測(cè)正確的概率越高，其損失值應(yīng)該是越小，因此再加個(gè)負(fù)號(hào)取個(gè)反。

以上損失函數(shù)是針對(duì)于單個(gè)樣本的，但是一個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中存在N個(gè)樣本，N個(gè)樣本給出N個(gè)損失，如何進(jìn)行選擇呢？

這就引出了風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。

期望風(fēng)險(xiǎn)

期望風(fēng)險(xiǎn)是損失函數(shù)的期望，用來(lái)表達(dá)理論上模型f(X)關(guān)于聯(lián)合分布P(X,Y)的平均意義下的損失。又叫期望損失/風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。

經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)

模型f(X)關(guān)于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的平均損失，稱為經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)或經(jīng)驗(yàn)損失。

其公式含義為：模型關(guān)于訓(xùn)練集的平均損失（每個(gè)樣本的損失加起來(lái)，然后平均一下）

經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小的模型為最優(yōu)模型。在訓(xùn)練集上最小經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小，也就意味著預(yù)測(cè)值和真實(shí)值盡可能接近，模型的效果越好。公式含義為取訓(xùn)練樣本集中對(duì)數(shù)損失函數(shù)平均值的最小。

經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化

期望風(fēng)險(xiǎn)是模型關(guān)于聯(lián)合分布的期望損失，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)是模型關(guān)于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集的平均損失。根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)樣本容量N趨于無(wú)窮時(shí)，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)趨于期望風(fēng)險(xiǎn)。

因此很自然地想到用經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)去估計(jì)期望風(fēng)險(xiǎn)。但是由于訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)有限，可能會(huì)出現(xiàn)過(guò)度擬合的問題，即決策函數(shù)對(duì)于訓(xùn)練集幾乎全部擬合，但是對(duì)于測(cè)試集擬合效果過(guò)差。因此需要對(duì)其進(jìn)行矯正：

結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化：當(dāng)樣本容量不大的時(shí)候，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化容易產(chǎn)生“過(guò)擬合”的問題，為了“減緩”過(guò)擬合問題，提出了結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小理論。結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化為經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)與復(fù)雜度同時(shí)較小。

通過(guò)公式可以看出，結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)：在經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)上加上一個(gè)正則化項(xiàng)(regularizer)，或者叫做罰項(xiàng)(penalty) 。正則化項(xiàng)是J(f)是函數(shù)的復(fù)雜度再乘一個(gè)權(quán)重系數(shù)（用以權(quán)衡經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和復(fù)雜度）

損失函數(shù)：單個(gè)樣本預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間誤差的程度。

期望風(fēng)險(xiǎn)：是損失函數(shù)的期望，理論上模型f(X)關(guān)于聯(lián)合分布P(X,Y)的平均意義下的損失。

經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)：模型關(guān)于訓(xùn)練集的平均損失（每個(gè)樣本的損失加起來(lái)，然后平均一下）。

結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)：在經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)上加上一個(gè)正則化項(xiàng)，防止過(guò)擬合的策略。

從機(jī)器學(xué)習(xí)的角度看

整體上的步驟可以概括為：

確定問題場(chǎng)景類型

提取特征

根據(jù)模型形式估計(jì)參數(shù)

評(píng)估模型效果

代碼實(shí)踐

# -*- coding: UTF-8 -*- """ 此腳本用于展示使用sklearn搭建線性回歸模型 """import os import sysimport numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd from sklearn import linear_modeldef evaluateModel(model, testData, features, labels):"""計(jì)算線性模型的均方差和決定系數(shù)參數(shù)----model : LinearRegression, 訓(xùn)練完成的線性模型testData : DataFrame，測(cè)試數(shù)據(jù)features : list[str]，特征名列表labels : list[str]，標(biāo)簽名列表返回----error : np.float64，均方差score : np.float64，決定系數(shù)"""# 均方差(The mean squared error)，均方差越小越好error = np.mean((model.predict(testData[features]) - testData[labels]) ** 2)# 決定系數(shù)(Coefficient of determination)，決定系數(shù)越接近1越好score = model.score(testData[features], testData[labels])return error, scoredef visualizeModel(model, data, features, labels, error, score):"""模型可視化"""# 為在Matplotlib中顯示中文，設(shè)置特殊字體plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']# 創(chuàng)建一個(gè)圖形框fig = plt.figure(figsize=(6, 6), dpi=80)# 在圖形框里只畫一幅圖ax = fig.add_subplot(111)# 在Matplotlib中顯示中文，需要使用unicode# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.set_title(u'%s' % "線性回歸示例")else:ax.set_title(u'%s' % "線性回歸示例".decode("utf-8"))ax.set_xlabel('$x$')ax.set_ylabel('$y$')# 畫點(diǎn)圖，用藍(lán)色圓點(diǎn)表示原始數(shù)據(jù)# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.scatter(data[features], data[labels], color='b',label=u'%s: $y = x + epsilon$' % "真實(shí)值")else:ax.scatter(data[features], data[labels], color='b',label=u'%s: $y = x + epsilon$' % "真實(shí)值".decode("utf-8"))# 根據(jù)截距的正負(fù)，打印不同的標(biāo)簽if model.intercept_ > 0:# 畫線圖，用紅色線條表示模型結(jié)果# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ + %.3f'% ("預(yù)測(cè)值", model.coef_, model.intercept_))else:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ + %.3f'% ("預(yù)測(cè)值".decode("utf-8"), model.coef_, model.intercept_))else:# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ - %.3f'% ("預(yù)測(cè)值", model.coef_, abs(model.intercept_)))else:ax.plot(data[features], model.predict(data[features]), color='r',label=u'%s: $y = %.3fx$ - %.3f'% ("預(yù)測(cè)值".decode("utf-8"), model.coef_, abs(model.intercept_)))legend = plt.legend(shadow=True)legend.get_frame().set_facecolor('#6F93AE')# 顯示均方差和決定系數(shù)# 在Python3中，str不需要decodeif sys.version_info[0] == 3:ax.text(0.99, 0.01, u'%s%.3fn%s%.3f'% ("均方差：", error, "決定系數(shù)：", score),style='italic', verticalalignment='bottom', horizontalalignment='right',transform=ax.transAxes, color='m', fontsize=13)else:ax.text(0.99, 0.01, u'%s%.3fn%s%.3f'% ("均方差：".decode("utf-8"), error, "決定系數(shù)：".decode("utf-8"), score),style='italic', verticalalignment='bottom', horizontalalignment='right',transform=ax.transAxes, color='m', fontsize=13)# 展示上面所畫的圖片。圖片將阻斷程序的運(yùn)行，直至所有的圖片被關(guān)閉# 在Python shell里面，可以設(shè)置參數(shù)"block=False"，使阻斷失效。plt.show()def trainModel(trainData, features, labels):"""利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)，估計(jì)模型參數(shù)參數(shù)----trainData : DataFrame，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，包含特征和標(biāo)簽features : 特征名列表labels : 標(biāo)簽名列表返回----model : LinearRegression, 訓(xùn)練好的線性模型"""# 創(chuàng)建一個(gè)線性回歸模型model = linear_model.LinearRegression()# 訓(xùn)練模型，估計(jì)模型參數(shù)model.fit(trainData[features], trainData[labels])return modeldef linearModel(data):"""線性回歸模型建模步驟展示參數(shù)----data : DataFrame，建模數(shù)據(jù)"""features = ["x"]labels = ["y"]# 劃分訓(xùn)練集和測(cè)試集trainData = data[:15]testData = data[15:]# 產(chǎn)生并訓(xùn)練模型model = trainModel(trainData, features, labels)# 評(píng)價(jià)模型效果error, score = evaluateModel(model, testData, features, labels)# 圖形化模型結(jié)果visualizeModel(model, data, features, labels, error, score)def readData(path):"""使用pandas讀取數(shù)據(jù)"""data = pd.read_csv(path)return dataif __name__ == "__main__":homePath = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))# Windows下的存儲(chǔ)路徑與Linux并不相同if os.name == "nt":dataPath = "%sdatasimple_example.csv" % homePathelse:dataPath = "%s/data/simple_example.csv" % homePathdata = readData(dataPath)linea

從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看

整體上的步驟可以概括為：

假設(shè)條件概率

估計(jì)參數(shù)

推導(dǎo)參數(shù)的分布

假設(shè)檢驗(yàn)與置信區(qū)間

""" 此腳本用于如何使用統(tǒng)計(jì)方法解決模型幻覺 """# 保證腳本與Python3兼容 from __future__ import print_functionimport osimport numpy as np import statsmodels.api as sm import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pddef generateRandomVar():""""""np.random.seed(4873)return np.random.randint(2, size=20) def evaluateModel(res):"""分析線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)"""# 整體統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果print(res.summary())# 用f test檢測(cè)x對(duì)應(yīng)的系數(shù)a是否顯著print("檢驗(yàn)假設(shè)z的系數(shù)等于0：")print(res.f_test("z=0"))# 用f test檢測(cè)常量b是否顯著print("檢測(cè)假設(shè)const的系數(shù)等于0：")print(res.f_test("const=0"))# 用f test檢測(cè)a=1, b=0同時(shí)成立的顯著性print("檢測(cè)假設(shè)z和const的系數(shù)同時(shí)等于0：")print(res.f_test(["z=0", "const=0"]))def trainModel(X, Y):"""訓(xùn)練模型"""model = sm.OLS(Y, X)res = model.fit()return resdef confidenceInterval(data):""""""features = ["x"]labels = ["y"]Y = data[labels]_X = data[features]# 加入新的隨機(jī)變量，次變量的系數(shù)應(yīng)為0_X["z"] = generateRandomVar()# 加入常量變量X = sm.add_constant(_X)res = trainModel(X, Y)evaluateModel(res)def generateData():"""生成模型數(shù)據(jù)"""np.random.seed(5320)x = np.array(range(0, 20)) / 2error = np.round(np.random.randn(20), 2)y = 0.05 * x + error# 新加入的無(wú)關(guān)變量z恒等于1z = np.zeros(20) + 1return pd.DataFrame({"x": x, "z": z, "y": y})def wrongCoef():"""由于新變量的加入，正效應(yīng)變?yōu)樨?fù)效應(yīng)"""features = ["x", "z"]labels = ["y"]data = generateData()X = data[features]Y = data[labels]# 沒有多余變量時(shí)，x系數(shù)符號(hào)估計(jì)正確，為正model = sm.OLS(Y, X["x"])res = model.fit()print("沒有加入新變量時(shí)：")print(res.summary())# 加入多余變量時(shí)，x系數(shù)符號(hào)估計(jì)錯(cuò)誤，為負(fù)model1 = sm.OLS(Y, X)res1 = model1.fit()print("加入新變量后：")print(res1.summary())def readData(path):"""使用pandas讀取數(shù)據(jù)"""data = pd.read_csv(path)return dataif __name__ == "__main__":homePath = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))# Windows下的存儲(chǔ)路徑與Linux并不相同if os.name == "nt":dataPath = "%sdatasimple_example.csv" % homePathelse:dataPath = "%s/data/simple_example.csv" % homePathdata = readData(dataPath)print("***************************************************")# 在Windows下運(yùn)行此腳本需確保Windows下的命令提示符(cmd)能顯示中文print("加入不相關(guān)的新變量，新變量的系數(shù)被錯(cuò)誤估計(jì)為不等于0")print("***************************************************")confidenceInterval(data)print("**********************************************")print("加入不相關(guān)的新變量，舊變量系數(shù)的符號(hào)被錯(cuò)誤估計(jì)")print("**********************************************

關(guān)注公眾號(hào)“格數(shù)致知”（ID:Data_SCI）回復(fù)“數(shù)據(jù)科學(xué)3”獲取本文的pdf版本

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性回归csv数据集_数据科学的基石：统计学、机器学习、计算机科学（三）——线性回归...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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