$C_{N+M}^N=\frac{(N+M)!}{N!M!}$

考慮求出$ans\bmod 10^9$的值

$10^9=2^9\times5^9$

以$2^9$為例，先預處理出$1$..$2^9$中不是2的倍數的數的前綴積s[]，顯然$n!\bmod 2^9$有著長度為$2^9$的循環節

將答案表示成$a\times2^b$的形式，$a$與$2^9$互質，可以直接逆元，b直接相減即可

cal(n).a=s[n%512]*pow(s[512],n/512)*cal(n/2).a

cal(n).b=n/2+cal(n/2).b

如此遞歸計算即可

答案中末尾0的個數為min(2的個數,5的個數)

以$2^9$為例，除以10相當于乘上5的逆元，同時2的個數減1

分別算出答案后再用中國剩余定理合并即可

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#include<cstdio> typedef long long ll; ll n,m,k,x,y,P,B,s[2000000],res[2],del,ans,i,T=1; ll exgcd(ll a,ll b){if(!b)return x=1,y=0,a;ll d=exgcd(b,a%b),t=x;return x=y,y=t-a/b*y,d; } ll rev(ll a,ll P){exgcd(a,P);while(x<0)x+=P;return x%P;} ll pow(ll a,ll b,ll P){ll t=1;for(;b;b>>=1LL,a=a*a%P)if(b&1LL)t=t*a%P;return t;} struct Num{ll a,b;Num(){a=1,b=0;}Num(ll _a,ll _b){a=_a,b=_b;}Num operator*(Num x){return Num(a*x.a%P,b+x.b);}Num operator/(Num x){return Num(a*rev(x.a,P)%P,b-x.b);} }now[2]; Num cal(ll n){return n?Num(s[n%P]*pow(s[P],n/P,P)%P,n/B)*cal(n/B):Num(1,0);} void pre(){for(i=s[0]=1;i<P;i++)if(i%B)s[i]=s[i-1]*i%P;else s[i]=s[i-1];s[P]=s[P-1];} int main(){scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);while(k--)T*=10;B=2,P=512,pre();now[0]=cal(n+m)/cal(n)/cal(m);del=now[0].b;B=5,P=1953125,pre();now[1]=cal(n+m)/cal(n)/cal(m);if(del>now[1].b)del=now[1].b;while(del--)P=512,now[0]=now[0]/Num(5,1),P=1953125,now[1]=now[1]/Num(2,1);B=2,P=512,res[0]=now[0].a*pow(B,now[0].b,P)%P;B=5,P=1953125,res[1]=now[1].a*pow(B,now[1].b,P)%P;ans=(1953125LL*rev(1953125,512)%T*res[0]%T+512LL*rev(512,1953125)%T*res[1]%T)%T;while(ans*10<T)putchar('0'),T/=10;return printf("%lld",ans),0; }

　　

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總結

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