很久之前一直覺(jué)得斜優(yōu)很難理解，，，今天再看發(fā)現(xiàn)好像是挺好理解的。

不過(guò)如果x不單調(diào)就要用splay或者cdq維護(hù)了，，，，依舊很惡心。、

先講最基礎(chǔ)的斜優(yōu)吧，不單調(diào)的以后再填坑。

先來(lái)看一道例題：CF311B Cats Transport 斜率優(yōu)化DP

當(dāng)我們得到DP方程$f[i][j] = f[i - 1][k] + (j - k) t_{j} - (s[j] - s[k])$之后，我們對(duì)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

將只跟k相關(guān)的放在式子左邊，把剩余部分放在式子右邊，同時(shí)在式子右邊把只跟k相關(guān)的放在一起，把既跟j有關(guān)又跟k有關(guān)放在一起。

$$f[i][j] = f[i - 1][k] + (j - k) t_{j} - (s[j] - s[k])$$
$$\Rightarrow f[i][j] = f[i - 1][k] + jt_{j} - kt_{j} - s[j] + s[k]$$
$$\Rightarrow -s[k] - f[i - 1][k] = -kt_{j} + jt_{j} - s[j] - f[i][j]$$
$$\Rightarrow s[k] + f[i - 1][k] = t_{j}k - jt_{j} + s[j] + f[i][j]$$

我們可以假設(shè)$y = s[k] + f[i - 1][k], x = k, K = t_{j}, b = -jt_{j} + s[j] + f[i][j]$。

那么這就是一個(gè)$y = kx+b$的形式的式子。

我們可以把所有的決策點(diǎn)都看作一個(gè)二維平面上的點(diǎn)(x, y),因?yàn)槲覀冎恍枰?x, y)就可以知道這個(gè)點(diǎn)對(duì)當(dāng)前決策的所有貢獻(xiàn)。

而跟當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)的只有k和b。觀察到我們要求f[i][j]最小，就是要求b最小（因?yàn)閎的其他部分是固定的）。

而k是固定的，于是我們可以看做一個(gè)二維平面上有很多點(diǎn)，我們要用一根斜率為k的直線(xiàn)覆蓋某個(gè)點(diǎn)，使得b最小。

顯然這個(gè)使得b最小的點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)在所有點(diǎn)的下凸包上，于是我們考慮維護(hù)一個(gè)下凸包，然后每次在這個(gè)凸包上尋找最優(yōu)決策點(diǎn)。

相當(dāng)于用一條斜率為K的直線(xiàn)靠近這個(gè)凸包，第一個(gè)碰到的點(diǎn)就是最優(yōu)決策點(diǎn)。

因?yàn)镵是遞增的，所以在下凸包上第一個(gè)被碰到的點(diǎn)是單調(diào)遞增的，又因?yàn)閤遞增,所以可以直接用單調(diào)隊(duì)列維護(hù)。

感覺(jué)講得有點(diǎn)亂，，，NOIP之后再來(lái)完善吧

emmm。。。好像咕了，，，不想寫(xiě)了，，，懶得畫(huà)圖

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/ww3113306/p/9936451.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的斜率优化的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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