很久之前一直覺得斜優很難理解，，，今天再看發現好像是挺好理解的。

不過如果x不單調就要用splay或者cdq維護了，，，，依舊很惡心。、

先講最基礎的斜優吧，不單調的以后再填坑。

先來看一道例題：CF311B Cats Transport 斜率優化DP

當我們得到DP方程$f[i][j] = f[i - 1][k] + (j - k) t_{j} - (s[j] - s[k])$之后，我們對式子進行轉化，

將只跟k相關的放在式子左邊，把剩余部分放在式子右邊，同時在式子右邊把只跟k相關的放在一起，把既跟j有關又跟k有關放在一起。

$$f[i][j] = f[i - 1][k] + (j - k) t_{j} - (s[j] - s[k])$$
$$\Rightarrow f[i][j] = f[i - 1][k] + jt_{j} - kt_{j} - s[j] + s[k]$$
$$\Rightarrow -s[k] - f[i - 1][k] = -kt_{j} + jt_{j} - s[j] - f[i][j]$$
$$\Rightarrow s[k] + f[i - 1][k] = t_{j}k - jt_{j} + s[j] + f[i][j]$$

我們可以假設$y = s[k] + f[i - 1][k], x = k, K = t_{j}, b = -jt_{j} + s[j] + f[i][j]$。

那么這就是一個$y = kx+b$的形式的式子。

我們可以把所有的決策點都看作一個二維平面上的點(x, y),因為我們只需要有(x, y)就可以知道這個點對當前決策的所有貢獻。

而跟當前狀態有關的只有k和b。觀察到我們要求f[i][j]最小，就是要求b最小（因為b的其他部分是固定的）。

而k是固定的，于是我們可以看做一個二維平面上有很多點，我們要用一根斜率為k的直線覆蓋某個點，使得b最小。

顯然這個使得b最小的點會出現在所有點的下凸包上，于是我們考慮維護一個下凸包，然后每次在這個凸包上尋找最優決策點。

相當于用一條斜率為K的直線靠近這個凸包，第一個碰到的點就是最優決策點。

因為K是遞增的，所以在下凸包上第一個被碰到的點是單調遞增的，又因為x遞增,所以可以直接用單調隊列維護。

感覺講得有點亂，，，NOIP之后再來完善吧

emmm。。。好像咕了，，，不想寫了，，，懶得畫圖

轉載于:https://www.cnblogs.com/ww3113306/p/9936451.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的斜率优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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