首先先拋出一個例題：

???????????青蛙的約會

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Description

兩只青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，于是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，于是它們約定各自朝西跳，直到碰面為止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特征，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝著某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩只青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。為了幫助這兩只樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩只青蛙是否能夠碰面，會在什么時候碰面。
我們把這兩只青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，并且規定緯度線上東經0度處為原點，由東往西為正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點坐標是x，青蛙B的出發點坐標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩只青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以后才會碰面。

Input

輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

涉及知識點：ext_gcd

代碼如下：

#include<stdio.h> #include<math.h> #define LL long longLL extend_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {if(b==0){x = 1;y = 0;return a;}LL d = extend_gcd(b, a%b, x, y);LL t = x;x = y;y = t-a/b*y;return d; }int main() {LL x, y, n, m, L;LL a,b,c,d;while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L)){LL p,q;a=n-m, b=L, c = x-y;d = extend_gcd(a, b, p, q);if(c%d!=0) printf("Impossible\n");else{p = p*(c/d);p = (p%b + b)%b;printf("%lld\n", p);}}return 0;

注意：

ext_gcd模板求得的只是 當 ax + by = gcd（a，b）時，x 和 y 的值。 但是當ax ' + b y' = c 如果有解，則應滿足以下情況：,c能夠整除gcd（a， b)，也就是c = k? *（gcd（a, b）） 其中k為整數。那么此時的 x' 就等于kx， y' 就等于 ky，即 x' = kx, ?? y = ky'，對應文中代碼部分為： p = p*(c/d);。如果想求最小正整數解的話，就要加上 p = (p%b + b)%b 了。

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????????? 今天看了一下gcd算法，本來學的教材上有這個，但不知道還叫歐幾里德算法，于是又重新看了一邊，搜的時候沒想到還有新的收獲，又看到了拓展歐幾里德算法。

? 先說一下gcd吧，也叫輾轉相除法。給定兩個數 a，b , 求兩個數中的最大公約數。

?int gcd(int n, int m) // n>m
{
? if(n%m == 0)
???????? return m;
?else
?????? ?return (m, n%m);

}

思路比較簡單，兩個數（a， b，其中a>b）的最大公約數就等于其中較小數（b）和（a%b）這兩個數的最大公約數。

最小公倍數等于 兩個數的乘積除以兩個數的最大公約數。

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再說一下extend_gcd（ 拓展歐幾里得算法），ext_gcd 算法由裴蜀定理中得出：

????????? 知識點：? 在數論中，裴蜀等式或裴蜀定理是一個關于最大公約數（或最大公約式）的定理。裴蜀定理得名于法國數學家艾蒂安·裴蜀，說明了對任何整數、和它們的最大公約數，關于未知數和的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

有整數解時當且僅當m是d 的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解、都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得算法求得。

例如，12和42的最大公約數是6，則方程有解。事實上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

特別來說，方程 有整數解當且僅當整數a和b互素。

裴蜀等式也可以用來給最大公約數定義：其實就是最小的可以寫成形式的正整數。這個定義的本質是整環中“理想”的概念。因此對于多項式整環也有相應的裴蜀定理。

?

??????????? 歷史：歷史上首先證明關于整數的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世紀初的法國數學家克勞德-加斯帕·巴歇·德·梅齊里亞克（Claude-Gaspard Bachet de Méziriac）。他在于1624年發表的著作《有關整數的令人快樂與愜意的問題集》（Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres）第二版中給出了問題的描述和證明^[1]。

然而，裴蜀推廣了梅齊里亞克的結論，特別是探討了多項式中的裴蜀等式，并給出了相應的定理和證明^[2]。

??????? 證明過程如下：

???? 整數中的裴蜀定理

???????? 對任意兩個整數、，設是它們的最大公約數。那么關于未知數和的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

有整數解(x,y) 當且僅當m 是d 的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個解。

證明：

如果 和 中有一個是0，比如，那么它們兩個的最大公約數是。這時裴蜀等式變成，它有整數解(x,y) 當且僅當m 是d 的倍數，而且有解時必然有無窮多個解，因為 可以是任何整數。定理成立。

以下設 和 都不為0。

設，下面證明中的最小正元素是 與 的最大公約數。

首先， 不是空集（至少包含 和），因此由于自然數集合是良序的， 中存在最小正元素。考慮A中任意一個正元素p（）對 的帶余除法：設，其中q 為正整數，。但是

因此 ，。也就是說，A中任意一個正元素p都是 的倍數，特別地：、。因此 是 和 的公約數。

另一方面，對 和 的任意正公約數，設、，那么

因此 。所以 是 和 的最大公約數。

在方程中，如果，那么方程顯然有無窮多個解：

。

相反的，如果有整數解，那么，于是由前可知（即）。

m=1時，方程有解當且僅當a、b互質。方程有解時，解的集合是

。其中是方程的一個解，可由輾轉相除法得到。

所有解中，有且僅有一個解(x,y) 滿足，。

拓展歐幾里德算法：見鏈接? http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的poj 1061 （扩展欧几里德算法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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