一、01背包問題

? 01背包是在M件物品取出若干件放在空間為W的背包里，每件物品的體積為C₁，C₂，…，C_n，與之相對應的價值為W₁,W₂，…，W_n.求解將那些物品裝入背包可使總價值最大。

? 動態規劃：

? 1） 子問題定義：F[i][j]表示前i件物品中選取若干件物品放入剩余空間為j的背包中所能得到的最大價值。

? 2） 根據第i件物品放或不放進行決策

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中選取若干件物品放入剩余空間為j的背包中所能得到的最大價值；

而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中選取若干件物品放入剩余空間為j-C[i]的背包中所能取得的最大價值加上第i件物品的價值

根據第i件物品放或是不放確定遍歷到第i件物品時的狀態F[i][j]。

設物品件數為N，背包容量為V，第i件物品體積為C[i]，第i件物品價值為W[i]。

由此寫出偽代碼如下：

1 F[0][] ← {0} 2 3 F[][0] ← {0} 4 5 for i←1 to N 6 7 do for k←1 to V 8 9 F[i][k] ← F[i-1][k] 10 11 if(k >= C[i]) 12 13 then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i]) 14 15 return F[N][V]

上述代碼9-13行也可以這樣寫：

if(k<C[i])//如果第i個物品的體積已經大于背包剩余容量then F[i][k] ← F[i-1][k] else F[i][k] ← max(F[i-1][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i])

理解為：當第i個物品的體積大于背包剩余容量時，第i個物品肯定不能被放進去，所以F[i][k]=F[i-1][k]，

而當第i個物品的體積小于或等于背包剩余容量時,可以有兩種選擇，放第i個物品(F[i-1][k-C[i]]+W[i])或者不放(F[i-1][k])，然后選擇兩者之間最優的。

而寫成第一種等價的偽代碼是為了更好的理解從二維數組解法到一維數組解法的轉換。

?根據算法求出的最大價值表本身其實含有位置信息，從F[N][V]逆著走向F[0][0]，設i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]說明包里面有第i件物品，同時j -= C[i]，不管F[i][j]與F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要減1，因為01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放還是不放其已經遍歷過了，需要繼續往下遍歷。

打印背包內物品的偽代碼如下：

1 i←N 2 3 j←V 4 5 while(i>0 && j>0) 6 7 do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i]) 8 9 then Print W[i] 10 11 j←j-C[i] 12 13 i←i-1

也可以定義一個二維數組Path[N][V]來存放背包內物品信息，開始時Path[N][V]初始化為0,當 F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]時Path[i][j]置1。最后通過從Path[N+1][V+1]逆著走向Path[0][0]來獲取背包內物品。其中Path[0][]與Path[][0]為邊界。

??????? 加入路徑信息的偽代碼如下：

F[0][] ← {0}F[][0] ← {0}Path[][] ← 0for i←1 to Ndo for k←1 to VF[i][k] ← F[i-1][k]if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i-1][k-C[i]]+W[i])then F[i][k] ← F[i-1][k-C[i]]+W[i]Path[i][k] ← 1return F[N][V] and Path[][]

打印背包內物品的偽代碼如下：

i←Nj←Vwhile(i>0 && j>0)do if(Path[i][j] = 1)then Print W[i]j←j-C[i]i←i-1

將使用二位數組改為使用一維數組：

觀察偽代碼可也發現，F[i][j]只與F[i-1][j]和F[i-1][j-C[i]]有關，即只和i-1時刻狀態有關，所以我們只需要用一維數組F[]來保存i-1時的狀態F[]。假設i-1時刻的F[]為{a₀，a₁，a₂，…，a_v}，難么i時刻的F[]中第k個應該為max(a_k,a_k-C[i]+W[i])即max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])，這就需要我們遍歷V時逆序遍歷，這樣才能保證求i時刻F[k]時F[k-C[i]]是i-1時刻的值。如果正序遍歷則當求F[k]時其前面的F[0],F[1]，…，F[K-1]都已經改變過，里面存的都不是i-1時刻的值，這樣求F[k]時利用F[K-C[i]]必定是錯的值。最后F[V]即為最大價值。

求F[j]的狀態方程如下：

????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ?

偽代碼如下：

1 F[] ← {0} 2 3 for i ← 1 to N 4 5 do for k ← V to C[i] 6 7 F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i]) 8 9 return F[V]

加入路徑信息的偽代碼如下：

1 F[] ← {0} 2 3 Path[][]←0 4 5 for i←1 to N 6 7 do for k←V to C[i] 8 9 if(F[k] < F[k-C[i]]+W[i]) 10 11 then F[k] ← F[k-C[i]]+W[i] 12 13 Path[i][k] ← 1 14 15 return F[V] and Path[][]

?

二、物品無限的背包問題

將01背包一維數組解法中j的遍歷順序do for k←V to C[i]改為do for?k←C[i]?to V就變成了物品無限背包的解法。

1 F[] ← {0} 2 3 for i ← 1 to N 4 5 do for k ← C[i] to V 6 7 F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i]) 8 9 return F[V]

?三、完全背包(要求背包必須裝滿，而不是最大限度的裝)

主要是在01背包的初始化過程中的不同，然后考慮第i個物體的時候判斷下是否可以裝滿的條件

1 F[][] ← {-1} 2 3 F[][0] ← {0} 4 5 for i←1 to N 6 7 do for k←1 to V 8 if (F[i-1][k-C[i]]!=-1) 9 then 10 11 F[i][k] ← F[i-1][k] 12 13 if(k >= C[i]) 14 15 then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i]) 16 17 return F[N][V]

?

四、代碼實際操練：

二維數組解法：

01背包問題具體例子：先輸入兩個數n,V表示物品的個數和背包的容量，接下來輸入n組數據代表n種物品，每組數據有兩個值對應物品的體積和價值，每種物品只有一個，求在背包容量下能裝物品最大價值，并求出最大價值下，組合中各個物品的價值？

#include<iostream> using namespace std; const int N_max=100;//物品個數上限 const int V_max=100;//背包容量上限 int dp[N_max][V_max]; bool flag[N_max][V_max]; int main() {int n;//實際輸入物品的個數cin>>n;int V;//背包的實際容量cin>>V;int *v=new int[n+1];int *price=new int[n+1];//輸入n組數據，分別為體積v和價值price//注意這里要從1開始for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>price[i];}//初始化dp數組//注意這里的=for(int i=0;i<=n;i++){dp[i][0]=0;}for(int i=0;i<=V;i++){dp[0][i]=0;}//初始化flag數組memset(flag,false,(n+1)*(V+1)*sizeof(bool));//開始遞推for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=V;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(v[i]<=j && dp[i-1][j-v[i]]+price[i]>dp[i][j])//放下該物品 {dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+price[i];flag[i][j]=true;}} }cout<<"能容下的最大價值是:"<<dp[n][V]<<endl;cout<<"組成最佳值的物品價值如下:"<<endl;int i=n;int j=V;while(i>=0 && j>=0){if(flag[i][j]){cout<<price[i]<<endl;j=j-v[i];}i--;}return 0; }

一維數組的解法：

#include<iostream> using namespace std; bool flag[100][100]={false}; int main() {int n;//實際輸入物品的個數cin>>n;int V;//背包的實際容量cin>>V;int *dp=new int[V+1];int *v=new int[n+1];int *price=new int[n+1];//輸入n組數據，分別為體積v和價值price//注意這里要從1開始for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>price[i];}//初始化dp數組memset(dp,0,(V+1)*sizeof(int));//開始遞推for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=V;j>=v[i];j--)//for(int j=v[i];j<=V;j++) {if( dp[j-v[i]]+price[i]>dp[j])//放下該物品 {dp[j]=dp[j-v[i]]+price[i];flag[i][j]=true;}} }cout<<"能容下的最大價值是:"<<dp[V]<<endl;cout<<"組成最佳值的物品價值如下:"<<endl;int i=n;int j=V;while(i>=0 && j>=0){if(flag[i][j]){cout<<price[i]<<endl;j=j-v[i];}i--;}return 0; }

調試結果：

?

?

物品無限背包問題具體例子：先輸入兩個數n,V表示物品的個數和背包的容量，接下來輸入n組數據代表n種物品，每組數據有兩個值對應物品的體積和價值，每種物品有無限個，求在背包容量下能裝物品最大價值，并求出最大價值下，組合中各個物品的價值？

#include<iostream> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; bool flag[100][100]={false}; int main() {int n;//實際輸入物品的個數cin>>n;int V;//背包的實際容量cin>>V;int *dp=new int[V+1];int *v=new int[n+1];int *price=new int[n+1];//輸入n組數據，分別為體積v和價值price//注意這里要從1開始for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>price[i];}//初始化dp數組memset(dp,0,(V+1)*sizeof(int));//開始遞推for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=v[i];j<=V;j++){if( dp[j-v[i]]+price[i]>dp[j])//放下該物品 {dp[j]=dp[j-v[i]]+price[i];flag[i][j]=true;}} }cout<<"能容下的最大價值是:"<<dp[V]<<endl;return 0; }

?01背包下恰好裝滿的例子：先輸入兩個數n,V表示物品的個數和背包的容量，接下來輸入n組數據代表n種物品，每組數據有兩個值對應物品的體積和價值，每種物品只有一個，求在背包恰好裝滿時物品最大價值，并求出最大價值下，組合中各個物品的價值，若無法恰好裝滿，則輸出無法裝滿的提示語句？

#include<iostream> using namespace std; const int N_max=100;//物品個數上限 const int V_max=100;//背包容量上限 int dp[N_max][V_max]; bool flag[N_max][V_max]; int main() {int n;//實際輸入物品的個數cin>>n;int V;//背包的實際容量cin>>V;int *v=new int[n+1];int *price=new int[n+1];//輸入n組數據，分別為體積v和價值price//注意這里要從1開始for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>price[i];}//注意恰好裝滿與普通01背包的初始化條件是不同的memset(dp,-1,sizeof(dp));for(int i=0;i<=n;i++){dp[i][0]=0;}//初始化flag數組memset(flag,false,(n+1)*(V+1)*sizeof(bool));//開始遞推for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=V;j++){//注意這里是恰好裝滿時的判斷條件if(dp[i-1][j-v[i]]!=-1){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(v[i]<=j && dp[i-1][j-v[i]]+price[i]>dp[i][j])//放下該物品 {dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+price[i];flag[i][j]=true;}}} }if(dp[n][V]==-1){cout<<"沒法恰好裝滿";}else{cout<<"恰好裝滿時最大價值是:"<<dp[n][V]<<endl;cout<<"組成最佳值的物品價值如下:"<<endl;int i=n;int j=V;while(i>=0 && j>=0){if(flag[i][j]){cout<<price[i]<<endl;j=j-v[i];}i--;}}return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/bewolf/p/4776880.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的01背包及其变种(物品无限背包、恰好装满背包)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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