一個算法的復雜度可以說也就是一個算法的效率，一般來說分為時間復雜度和空間復雜度。。。

　　注意接下來說的均是比較YY的，適用與ACM等不需嚴格分析只需要大致范圍的地方，至于嚴格的算法復雜度分析的那些數(shù)學證明，主定理什么的在《算法導論》這本書上有十分詳細的講解，網(wǎng)上應該也會有人寫過，這里就不多說了（其實，是我不會而已o(╯□╰)o。。。）。

　　— 到底啥是復雜度呢？先來個栗子。

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　　 小明有10個蘋果，有一天他餓了，然后準備吃掉一個蘋果，但是小明有中二病，他要吃里面重量最大的那個，于是。。。他需要一個找到那個最大的，可是這應該怎么找呢？

　　 小明要先量一下第一個蘋果多重，然后第二個多重，然后量第三個。。。一直到第十個，量的時候記錄當前最重的那個，然后當找完了這十個就好了。。。

　　 下面來看看這個神奇的找蘋果算法的復雜度，有10個蘋果，所以需要測量10次才能找到，如果有100個蘋果，顯然需要測量100次，1000個呢，1000次，n個也就需要n次。

　　 下面設n為問題的規(guī)模，f(n)為運算次數(shù)，那么對于小明這個問題來說 f(n)=kn，k是一個常數(shù)，這個例子 k=1。（看到如此眼熟的高中數(shù)學氣息有沒有啥感覺。。。）

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　　— 不用多說就知道如果需要的運算次數(shù)多的話，需要花費的時間也就多，所以這就是時間復雜度了，對于上面那個問題的時間復雜度就是 f(n) 了。

　　— 但是。。。對于一個問題的常數(shù) k 是比較難搞定的，可能稱一下蘋果的重量需要一步操作，也可能兩步，也可能好幾步。所以對于時間復雜度的分析一般是去找漸進復雜度。簡單說就是函數(shù) f(n) 省略了常數(shù)和低次項，只留下最高次項。比如函數(shù) 6n^3+3n^2+2n+10 變成了 n^3 ，因為當n很大很大的時候，變化趨勢就是 n^3 型的，再比如 2^n+n^5 就變成了 2^n，因為指數(shù)爆炸嘛。。。

　　— 這里還要說說符號 O，o 和?Θ，這三個應該高數(shù)課會講。。。O( f(n) ) 表示函數(shù)的上界，也就是一個一直比 f(n) 大的函數(shù)，然后 o 就是下界，至于 ?Θ 的話，叫做中界（我YY的一個名字）？也就是和 f(n) 的增長速度一樣。。。不過一般來說之后的分析都是用 O 的，因為這個字母好寫。。。餓，其實可以理解為因為O是上界，所以算法遇到再壞的情況也不會超過這個函數(shù)。

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　　— 對于一個算法來說一般常用的漸進復雜度函數(shù)有 O( n ) ?O( n^2 ) ?O( n^3 ) ?O(1) ?O( 2^n ) ?O( n!) ?O( log n) ?O( n*logn ) ?O( n*2^n ) 差不多這些，注意 log 指以2為底的對數(shù)。。。函數(shù)圖就像下面這樣：

　　— 然后分別比較看看哪種復雜度更好，顯然 O（1）是最好的，因為不管問題的規(guī)模有多大，都能一下子得到答案。。。然后看看 O（n），小明的問題就是這個復雜度的，如果問題規(guī)模是n，需要運行n次，顯然已經(jīng)不錯了，挺快的了。。。但是還有一個更快的，O（log n）的，如果n=1000000 那么才只需要運行 20次不到就能得到答案，但是 O（n）的卻需要運行1000000次，你說哪個快。

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舉個栗子：

　　要求輸入一個n，然后算 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2的值。

　　那么先說一種做法，直接for循環(huán)，代碼如下：

#include <iostream>using namespace std;int main() {int n;int sum=0;cin>>n;for(int i=1;i<=n;++i)sum+=i*i;cout<<sum;return 0; }

　　顯然這種算法的復雜度是 O (n) 的，因為運行了 n 次嘛。（注意 n 比較大的時候結(jié)果會超過 int 的表示范圍，具體看 ACM錄 常識與錯誤那篇文章有說。）

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　　然后看看第二種做法：推出公式來。1^2+2^2+。。。+n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6

　　所以第二種做法就是

#include <iostream>using namespace std;int main() {int n;cin>>n;cout<<n*(n+1)*(2*n+1)/6<<endl;return 0; }

　　這就是 O ( 1 ) 的復雜度了，那么哪個快就不說了。。。

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　　— 至于后面的 O( n^2 ) ?O( n^3 ) ?O( 2^n ) 啊啥的，也是這樣算，上面那些里面復雜度最高，效率最差的應該是 O（n!），如果 n 是10，就需要運行 3628800 次，這效率，不多說了。。。

　　— 上面說的是運行的次數(shù)，然后說說時間，對于現(xiàn)在的個人計算機來說，速度大約是一秒能運行10000000（7個0）次多，這個可以自己寫個程序感受一下，for循環(huán)10000000次或者更多看看。。。一般來說如果只有加減法 100000000（8個0）次也很快，但是如果有了除法或者其他東西會慢一點。。。

#include <iostream>using namespace std;int main() {int x;for(int i=0;i<1000000000;++i)x=123*321;　　　　// 對比 x=123/321;return 0; }

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　　— 然后對于一個題目來說一般限制了1秒啊2秒啊啥的，那么如果題目的數(shù)據(jù)規(guī)模是100000，那么如果采用的算法是 O（n^2）的，那么就需要運行 10000000000次，也就需要大約1000秒，顯然超時了。。。如果算法是 O（n log n）的，那么大約是 1700000 次還是可以接受的。。。至于 O（n） O（1） O（log n）啥的就更不用說了。。。所以說解一個題目的話要注意數(shù)據(jù)范圍和時間限制。。。

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　　— 這里順便說下常數(shù)吧，之前都是把常數(shù)忽略了然后看的是一個大致的增長函數(shù)。但是如果常數(shù)很大，比如算法只有一個 for 循環(huán)，但是里面有1000次運算，那么雖然他的復雜度是 O（n）的，但是對于100000的規(guī)模需要運行100000000次，也就很可能會超時了。。。所以當常數(shù)比較大的時候要注意看看。。。

　　— 至于空間復雜度的話，也就是用的空間的多少和數(shù)據(jù)規(guī)模n的函數(shù)，但是因為這個不是很常用而且和時間復雜度幾乎差不多，就不多說了。。。

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　　— 那么怎么算復雜度呢，在一些算法和數(shù)學的書上有十分嚴格的數(shù)學方法。。。然而，平時不需要的。。。

　　— 其實靠肉眼看看就差不多知道了，看看有幾個循環(huán)，大致估算一下運行多少次，然后就知道了。。。這些當寫代碼前想算法的時候其實就已經(jīng)大致了解了。。。

　　— 當然這里對于存在遞歸的算法，就比較麻煩了，這里建議大家學了一些基本的算法之后再來看，因為這里實在是找不到簡單的例子。這里有一個主定理（名字就叫主定理），用來計算遞歸的函數(shù)的復雜度計算。比如說一個算法是把問題分成兩個小問題，然后在花費 g(n) 的復雜度來合并兩個小問題得到大問題的解。那么函數(shù)差不多是 f(n)=2*f(n/2)+g(n) 至于 f(n) 怎么推，就可以用上面的那個主定理（這里可以去網(wǎng)上找找這個定理學習一下），其實。。。也可以先猜一下，然后帶入那個等式看看行不行。。。

　　— 經(jīng)典的遞推比如 f(n)=2f(n/2)+n 的復雜度就是 O(n log n)。。。所以如果 g(n) 如果比 O(n) 要好的話，顯然最后的復雜度會比 O(n log n)更好。。。

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　　— 另外還有一些復雜度分析比如均攤分析就更喪心病狂了，這種分析是找平均值，期望值啥的，通過概率或者是其他什么東西證明運行比如100次的平均復雜度一定不會高于一個數(shù)，所以平均就是多少多少的，這個的話就不詳細多說了，之后學習比較高級的算法的時候才會接觸到。。。（其實是我不會。。。）

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　　復雜度分析感覺就這些東西，其實大部分算法的復雜度是一眼就能看出來，當然也有一些需要仔細分析這個算法的各種情況才行。。。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/whywhy/p/4865609.html

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法录 之 复杂度分析。的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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