注：之前查找了關(guān)于原碼、反碼、補(bǔ)碼的相關(guān)資料，張子秋的博客：原碼, 反碼, 補(bǔ)碼 詳解講的比較透徹。為了方便，現(xiàn)將其轉(zhuǎn)載至此，版權(quán)歸原作者所有。更加深入的分析，可以參考作者的原文。

本文大部分內(nèi)容來源于此。后面有小部分關(guān)于“大數(shù)溢出”的問題為本人補(bǔ)充。

作者：張子秋?
出處：http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/

機(jī)器數(shù)和真值

機(jī)器數(shù)

一個數(shù)在計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示形式, 叫做這個數(shù)的機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)是帶符號的，在計(jì)算機(jī)用一個數(shù)的最高位存放符號, 正數(shù)為0, 負(fù)數(shù)為1.

比如，十進(jìn)制中的數(shù) +3 ，計(jì)算機(jī)字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機(jī)器數(shù)。

真值

因?yàn)榈谝晃皇欠栁?#xff0c;所以機(jī)器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號數(shù) 10000011，其最高位1代表負(fù)，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（10000011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號位的機(jī)器數(shù)對應(yīng)的真正數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其余位表示值. 比如如果是8位二進(jìn)制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符號位. 因?yàn)榈谝晃皇欠栁? 所以8位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍就是:

[1111 1111 , 0111 1111]，即：

[-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計(jì)算的表示方式.

反碼

反碼的表示方法是：正數(shù)的反碼是其本身；負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號位不變，其余各個位取反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可見如果一個反碼表示的是負(fù)數(shù), 人腦無法直觀的看出來它的數(shù)值. 通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算。

補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的表示方法是：正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身；的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎(chǔ)上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補(bǔ)

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補(bǔ)

對于負(fù)數(shù), 補(bǔ)碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的. 通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計(jì)算其數(shù)值.

為何要使用原碼, 反碼和補(bǔ)碼

在開始深入學(xué)習(xí)前, 我的學(xué)習(xí)建議是先”死記硬背”上面的原碼, 反碼和補(bǔ)碼的表示方式以及計(jì)算方法.

現(xiàn)在我們知道了計(jì)算機(jī)可以有三種編碼方式表示一個數(shù). 對于正數(shù)因?yàn)槿N編碼方式的結(jié)果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補(bǔ)

所以不需要過多解釋. 但是對于負(fù)數(shù):

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補(bǔ)

可見原碼, 反碼和補(bǔ)碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接識別并用于計(jì)算表示方式, 為何還會有反碼和補(bǔ)碼呢?

首先, 因?yàn)槿四X可以知道第一位是符號位, 在計(jì)算的時候我們會根據(jù)符號位, 選擇對真值區(qū)域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對于計(jì)算機(jī), 加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算, 要設(shè)計(jì)的盡量簡單. 計(jì)算機(jī)辨別”符號位”顯然會讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得十分復(fù)雜! 于是人們想出了將符號位也參與運(yùn)算的方法. 我們知道, 根據(jù)運(yùn)算法則減去一個正數(shù)等于加上一個負(fù)數(shù), 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機(jī)器可以只有加法而沒有減法, 這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡單了.

于是人們開始探索 將符號位參與運(yùn)算, 并且只保留加法的方法. 首先來看原碼。計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原碼表示, 讓符號位也參與計(jì)算, 顯然對于減法來說, 結(jié)果是不正確的.這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個數(shù).

為了解決原碼做減法的問題, 出現(xiàn)了反碼。計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式:

1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1)?
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原?
= [0000 0001]反 + [1111 1110]反?
= [1111 1111]反 = [1000 0000]原?
= -0

發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法, 結(jié)果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實(shí)就出現(xiàn)在”0”這個特殊的數(shù)值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的. 而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0.

于是補(bǔ)碼的出現(xiàn), 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:

1-1 = 1 + (-1)?
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原?
= [0000 0001]補(bǔ) + [1111 1111]補(bǔ)?
= [0000 0000]補(bǔ)=[0000 0000]原

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原?
= [1111 1111]補(bǔ) + [1000 0001]補(bǔ)?
= [1000 0000]補(bǔ)

-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128, 在用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果中, [1000 0000]補(bǔ) 就是-128. 但是注意因?yàn)閷?shí)際上是使用以前的-0的補(bǔ)碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示.(對-128的補(bǔ)碼表示[1000 0000]補(bǔ)算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)

使用補(bǔ)碼, 不僅僅修復(fù)了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數(shù). 這就是為什么8位二進(jìn)制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127].

因?yàn)闄C(jī)器使用補(bǔ)碼, 所以對于編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因?yàn)榈谝晃槐硎镜氖欠栁?而使用補(bǔ)碼表示時又可以多保存一個最小值.

補(bǔ)碼表示的溢出問題

以下是本人的補(bǔ)充的理解，不知道是否正確：

由于計(jì)算機(jī)中的數(shù)字用補(bǔ)碼表示，例如8bit的byte類型的表示范圍為：

[-128, 127]

0 = [0000 0000]（補(bǔ)）

-128 = [1000 0000]（補(bǔ)）

127 = [0111 1111]（補(bǔ)）

當(dāng)byte類型的變量超上限127時，如：

+128 = -（-128）= 127 + 1?
= [1111 1111]（補(bǔ)）+ [0000 0001]（補(bǔ)）?
= [1000 0000]（補(bǔ)）?
= -128

+129 = 127 + 2?
= [1111 1111]（補(bǔ)）+ [0000 0001]（補(bǔ)）?
= [1000 0001]（補(bǔ)）?
= [1111 1111]（原）?
= -127

當(dāng)byte類型的變量超過下限-128時：

-129 = -128 - 1?
= [1000 0000]（補(bǔ)) - [0000 0001]（補(bǔ)）?
= [0111 1111]（補(bǔ)）?
= 127

-130 = -128 - 2?
= [1000 0000]（補(bǔ)) - [0000 0010]（補(bǔ)）?
= [0111 1110]（補(bǔ)）?
= 126

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/inception6-lxc/p/9124506.html

與50位技術(shù)專家面對面20年技術(shù)見證，附贈技術(shù)全景圖

總結(jié)

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