• 題面描述

  • 小\(Q\)在電子工藝實習(xí)課上學(xué)習(xí)焊接電路板。一塊電路板由若干個元件組成，我們不妨稱之為節(jié)點，并將其用數(shù)字\(1,2,3….\)進行標(biāo)號。電路板的各個節(jié)點由若干不相交的導(dǎo)線相連接，且對于電路板的任何兩個節(jié)點，都存在且僅存在一條通路（通路指連接兩個元件的導(dǎo)線序列）。在電路板上存在一個特殊的元件稱為“激發(fā)器”。當(dāng)激發(fā)器工作后，產(chǎn)生一個激勵電流，通過導(dǎo)線傳向每一個它所連接的節(jié)點。而中間節(jié)點接收到激勵電流后，得到信息，并將該激勵電流傳向與它連接并且尚未接收到激勵電流的節(jié)點。最終，激烈電流將到達一些“終止節(jié)點”——接收激勵電流之后不再轉(zhuǎn)發(fā)的節(jié)點。激勵電流在導(dǎo)線上的傳播是需要花費時間的，對于每條邊\(e\)，激勵電流通過它需要的時間為\(t_e\)，而節(jié)點接收到激勵電流后的轉(zhuǎn)發(fā)可以認(rèn)為是在瞬間完成的。現(xiàn)在這塊電路板要求每一個“終止節(jié)點”同時得到激勵電路——即保持時態(tài)同步。由于當(dāng)前的構(gòu)造并不符合時態(tài)同步的要求，故需要通過改變連接線的構(gòu)造。目前小\(Q\)有一個道具，使用一次該道具，可以使得激勵電流通過某條連接導(dǎo)線的時間增加一個單位。請問小\(Q\)最少使用多少次道具才可使得所有的“終止節(jié)點”時態(tài)同步？

• 輸入格式

  • 第一行包含一個正整數(shù)\(N\)，表示電路板中節(jié)點的個數(shù)。
  • 第二行包含一個整數(shù)\(S\)，為該電路板的激發(fā)器的編號。
  • 接下來\(N-1\)行，每行三個整數(shù)\(a , b , t\)。表示該條導(dǎo)線連接節(jié)點\(a\)與節(jié)點\(b\)，且激勵電流通過這條導(dǎo)線需要\(t\)個單位時間

• 輸出格式

  • 僅包含一個整數(shù)\(V\)，為小\(Q\)最少使用的道具次數(shù)。

• 題解

  • 第一次看這題時看錯題，看成了\(APIO2016煙火表演\)，然后就列出了\(f_{u,t}=\sum_{vsm_u}min_{t'\leq t}(f_{v,t'}+t-t')\)
  • 然后再看題才發(fā)現(xiàn)只能增加邊權(quán)，不能減少邊權(quán)，再看一眼剛列出的式子\(f_{u,t}=\sum_{vsm_u}min_{t'\leq t}(f_{v,t'}+t-t')\\\Rightarrow f_{u,t}=\sum_{vsm_u}mn_{v,t}+t\ (mn_{v,t}=min_{t'\leq t}f_{v,t'}-t')\)
  • 設(shè)\(f_v\)單調(diào)不減，\(mn_{v,t}\)固定，\(f_u\)隨 t 增長而變大，而對于葉子，\(f_{leaf,t}\)單增。
  • 由數(shù)學(xué)歸納法可知，\(f_u?\)單調(diào)增。
  • 因此這個dp方程存在理論下界，即剛好滿足條件\((t_u=max\ t_v+w_{v\to u})\)時最小。
  • 因此此題我們可以貪心，記錄\(t_u?\)表示想要讓葉子都同態(tài)至少多少時間，\(f_u?\)表示使葉子同步到\(t_u?\)這個時間最少花費。
  • 遞推即可。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN=5e5+5; const int MAXM=1e6+6; int n,S; int edge,head[MAXN],tail[MAXM],nex[MAXM],w[MAXM]; ll f[MAXN],g[MAXN]; void add(int u,int v,int W){edge++,nex[edge]=head[u],head[u]=edge,tail[edge]=v,w[edge]=W; } void dfs(int u,int p){for (int e=head[u];e;e=nex[e]){int v=tail[e];if (v==p) continue;dfs(v,u);g[u]=max(g[u],g[v]+w[e]);}for (int e=head[u];e;e=nex[e]){int v=tail[e];if (v==p) continue;f[u]+=f[v]+g[u]-(g[v]+w[e]);} } int main(){scanf("%d%d",&n,&S);for (int i=1;i<n;i++){int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);add(u,v,w); add(v,u,w);}dfs(S,0);printf("%lld\n",f[S]);return 0; }

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總結(jié)

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