定義

小于n的正整數中與n互質的數的數目（φ(1)=1）

通式

證明：

　　設p是N的質因子，1~N中p的倍數有p,2p,3p,…,(N/p)*p，共N/p個。

　　同理，若q也是N的質因子，則1~N中q的倍數有N/q個。

　　根據容斥原理，1~N中除去q的倍數與p的倍數后，數的個數為N - N/p - N/q + N/(pq) = N(1 - 1/p)(1 - 1/q)。

　　而要求1~N中與N互質的數的個數，只需將N的所有質因子的倍數全部除去即可。

　　利用容斥原理，因式分解后即可得到上式。

性質

（以下只列舉我們需要用到的一些性質）

我們用phi(N)表示歐拉函數。

• 當N為質數時，顯然phi(N)=N-1。
• 2.根據算數基本定理，N=p1^C1*p2^C2*…*pk^Ck?。設N的最小質因子為p，當p的指數為1時，phi(N)=(p-1)*phi(N/p)。

• 3. 當p的指數不為1時，同2可證得phi(N)=p*phi(N/p)。

2的證明：

　　根據歐拉函數通式，

　　phi(N)=N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*…*(pk-1)/pk，

　　phi(N/p1)=N/p1*(p2-1)/p2*…*(pk-1)/pk，

　　其中p1即為N的最小質因子，比較兩式即可得證。

直接法

模板題鏈接：歐拉函數

代碼實現：

int Euler(int x) {int res=x;for(int i=2;i<=x/i;i++){if(x%i==0){res=res/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}}if(x>1)res=res/x*(x-1);return res; }

線性篩法

根據前面的歐拉線性篩質數的算法（可參考本人博客：數論——質數篩法），由于它在篩選的同時也求出了每個數的最小質因子，故而在其基礎上求出歐拉函數即可。

模板題鏈接：篩法求歐拉函數

代碼如下：

typedef long long ll; const int N = 1000010;int n; int prime[N],cnt,v[N]; int phi[N];ll Euler_prime(int n) {phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!v[i]){prime[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=1;prime[j]<=n/i;j++){int p=prime[j];v[p*i]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*p]=p*phi[i];break;}phi[i*p]=(p-1)*phi[i];}}ll res=0;for(int i=1;i<=n;i++)res+=phi[i];return res; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/ninedream/p/11212793.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论——欧拉函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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