定理: $A,B$ 均正定，$C=A+B$，因此也是正定 ${\lambda }_{\min }(C)?{\lambda }_{\min }(A)+{\lambda }_{\min }(B)$ ${\lambda }_{\max }(C)?{\lambda }_{\max }(A)+{\lambda }_{\max }(B)$

證明:
$x^{T}Ax?{\lambda }_{\min }(A)x^{T}x$. Thus, $x^T(A?{\lambda }_{\min }(A)E)x?0$, that is, $A?{\lambda }_{\min }(A)E$ is non-negative definite.

因此，有
$A?{\lambda }_{\min }(A)E?0$
$B?{\lambda }_{\min }(B)E?0$
$A?{\lambda }_{\min }(A)E+B?{\lambda }_{\min }(B)E?0$

顯然， $Cx=\lambda (C)x$，所有
$(A?{\lambda }_{\min }(A)E+B?{\lambda }_{\min }(B)E)x=\left(\lambda (C)?{\lambda }_{\min }(A)?{\lambda }_{\min }(B)\right)x$
也就是說，$\lambda (C)?{\lambda }_{\min }(A)?{\lambda }_{\min }(B)$是$A?{\lambda }_{\min }(A)E+B?{\lambda }_{\min }(B)E$的特征值

因為$A?{\lambda }_{\min }(A)E+B?{\lambda }_{\min }(B)E?0$，是非負定陣，因此$\lambda (C)?{\lambda }_{\min }(A)?{\lambda }_{\min }(B)?0$

所以
$\lambda (C)?{\lambda }_{\min }(A)+{\lambda }_{\min }(B)$
${\lambda }_{\min }(C)?{\lambda }_{\min }(A)+{\lambda }_{\min }(B)$

同理
${\lambda }_{\max }(C)?{\lambda }_{\max }(A)+{\lambda }_{\max }(B)$

注意：這里必須 $A,B$ 均正定，否則不成立；例如：

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的20211201 （正定矩阵A+正定矩阵B）的最小特征值 ≥ 正定矩阵A的最小特征值+正定矩阵B的最小特征值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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