2021-03-28 收敛性常用一阶微分方程
收斂性常用一階微分方程
零
方程：x˙(t)=?cx1n(t)\dot{x}(t)=-c x^{\frac{1}{n}}(t)x˙(t)=?cxn1?(t)，其中n是大于等于2的整數(shù)，c大于0
解：x(t)={(x1?1n(0)?11?1nct)11?1nif?t?1?1ncx1?1n(0)0otherwise?x{(t)}=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{1-\frac{1}{n}}(0)-\frac{1}{1-\frac{1}{n}}c t\right)^{\frac{1}{1-\frac{1}{n}}} & \text { if } t \leqslant \frac{1-\frac{1}{n}}{c} x^{1-\frac{1}{n}}(0) \\ 0 & \text { otherwise }\end{array}\right.x(t)=????(x1?n1?(0)?1?n1?1?ct)1?n1?1?0??if?t?c1?n1??x1?n1?(0)?otherwise??
一
方程：x˙(t)=?cx12(t)\dot{x}(t)=-c x^{\frac{1}{2}}(t)x˙(t)=?cx21?(t)，c大于0
解：x(t)={(x12(0)?12ct)2if?t?2cx12(0)0otherwise?x{(t)}=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{\frac{1}{2}}(0)-\frac{1}{2} c t\right)^{2} & \text { if } t \leqslant \frac{2}{c} x^{\frac{1}{2}}(0) \\ 0 & \text { otherwise }\end{array}\right.x(t)={(x21?(0)?21?ct)20??if?t?c2?x21?(0)?otherwise??
二
方程：x˙(t)=?cx(t)\dot{x}(t)=-c x(t)x˙(t)=?cx(t)，c大于0
解：x(t)=e?ct+ln?x(0)x{(t)}=e^{-ct+\ln x(0)}x(t)=e?ct+lnx(0)
三
方程：x˙(t)=?cx2(t)\dot{x}(t)=-c x^{2}(t)x˙(t)=?cx2(t)，c大于0
解：x(t)=x(0)1+cx(0)tx{(t)}=\frac{x(0)}{1+c x(0) t}x(t)=1+cx(0)tx(0)?
四
方程：x˙(t)=?cxn(t)\dot{x}(t)=-c x^{n}(t)x˙(t)=?cxn(t)，其中n是大于等于2的整數(shù)，c大于0
解：x(t)=1((n?1)ct+1xn?1(0))n?1x{(t)}=\frac{1}{((n-1)ct+\frac{1}{x^{n-1}(0)})^{n-1}}x(t)=((n?1)ct+xn?1(0)1?)n?11?
總結(jié)
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