酉矩陣（Unitary Matrix）：$A^{H}A=A{A}^H=I$，則稱酉矩陣（幺正矩陣、么正矩陣）。

正交矩陣：如果酉矩陣的元素都是實數，叫做正交矩陣（正交矩陣都是正數）。$A^{T}A=A{A}^T=I$。

實對稱矩陣：所有元素實數，$A^T=A$。

實反對稱矩陣：所有元素實數，$A^T=?A$。

厄米特矩陣（Hermitian Matrix）：對角線元素實數，非對角線可實可虛，$A^H=A$。特征值一定是實數。

正規矩陣（Normal Matrix）：$A^{T}A=A{A}^T$，則稱為正規矩陣。

任意正規矩陣都可在經過一個酉變換后變為對角矩陣，反過來所有可在經過一個酉變換后變為對角矩陣的矩陣都是正規矩陣。

酉變換：

Schur定理：定理 1.41 （1）設 $\mathbf{A}\in {\mathbf{C}}^{n\times n}$ 的特征值為 ${\lambda }_1,?{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$, 則存 在酉矩陣 $\mathbf{P}$,使得
$${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{P}={\mathbf{P}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{P}=?\begin{array}{lllc}{\lambda }_1& ?& ?& ?\\ & {\lambda }_2& ?& ?\\ & & ?& ?\\ & & & {\lambda }_n\end{array}?$$
（2）設 $\mathbf{A}\in {\mathbf{R}}^{n\times n}$ 的特征值為 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,?,{\lambda }_n$, 且 ${\lambda }_i\in \mathbf{R}(i=1$, $2,?,n)$, 則存在正交矩陣 $Q$, 使得
$${\mathbf{Q}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=?\begin{array}{lllc}{\lambda }_1& ?& ?& ?\\ & {\lambda }_2& ?& ?\\ & & ?& ?\\ & & & {\lambda }_n\end{array}?$$

定理 1.42 （1）設 $\mathbf{A}\in {\mathbf{C}}^{n\times n}$, 則 $\mathbf{A}$ 酉相似于對角矩陣的充要 條件是 $\mathbf{A}$ 為正規矩陣;
（2）設 $\mathbf{A}\in {\mathbf{R}}^{n\times n}$, 且 $\mathbf{A}$ 的特征值都是實數,則 $\mathbf{A}$ 正交相似于對 角矩陣的充要條件是 $\mathbf{A}$ 為正規矩陣.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的20211018 一些特殊矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。