BZOJ 1101 Luogu P3455 POI 2007 Zap (莫比烏斯反演+數(shù)論分塊)

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URL: (Luogu)https://www.luogu.org/problem/show?pid=3455
(BZOJ)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

題目大意:
有t次詢問(wèn)(\(t\le5e4\)), 每次給定a,b,d, 詢問(wèn)有多少對(duì)(x,y)滿足x<=a, y<=b, gcd(a,b)=d. 0<=d<=a,b<=5e4

思路分析:
首先，需要注意的是，要特殊處理\(d=0\)的情況，答案為0.
對(duì)于\(d\ge1\), 采用莫比烏斯反演解決:
先將a/=d, b/=d, 因此只需求gcd(x,y)=1的數(shù)的對(duì)數(shù)。
令F[i]表示\(1\le x\le a,1\le y\le b\)且\(i|gcd(x,y)\)的a,b總數(shù), f[i]表示gcd(x,y)=i的數(shù)的對(duì)數(shù)(此處a,b都已經(jīng)除以d).因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f(1).
根據(jù)莫比烏斯反演公式:\[F(n)=\sum_{n|x} f(x), f(n)=\sum_{n|x} F(x)\mu(\frac{x}{n})\]
因此，\(f(1)=\sum_{1|x} F(x)\mu(x)\)
而顯然我們有\(F(x)=[\frac{a}{x}][\frac{b}{x}]\), 因此可以\(O(1)\)地求出F(x), 也就可以\(O(min(a,b))\)地求出f(1)了。(莫比烏斯反演函數(shù)\(\mu(x)\)可在線性篩中求出)
可是這樣還不夠。算算復(fù)雜度，發(fā)現(xiàn)會(huì)TLE.
注意到一個(gè)性質(zhì): 對(duì)于\(x\le\sqrt{a}\), \([\frac{a}{x}]\)的值變化得很快,\([\frac{a}{x}]\)的變化速度遠(yuǎn)高于\(x\)的變化速度。而對(duì)于\(x\gt\sqrt{a}\), \([\frac{a}{x}]\)的值變化得很慢, 遠(yuǎn)低于\(x\)的變化速度。因此，我們可以求出所有使得\([\frac{a}{x}]\)的值變化的點(diǎn)x， 共有\(O(\sqrt{n})\)個(gè)(實(shí)際上帶一個(gè)常數(shù)2), 然后我們對(duì)b做同樣的操作。將所有影響\([\frac{a}{x}]\)和\([\frac{b}{x}]\)的值的點(diǎn)都從小到大排序記錄下來(lái)，處理莫比烏斯函數(shù)的前綴和, 每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)區(qū)間，這個(gè)區(qū)間內(nèi)所有的數(shù)\([\frac{a}{x}]\)與\([\frac{b}{x}]\)的值分別與這個(gè)數(shù)\([\frac{a}{x}]\)和\([\frac{b}{x}]\)相等。然后這一段區(qū)間對(duì)答案的貢獻(xiàn)就是區(qū)間的\(\mu()\)之和乘以\([\frac{a}{x}][\frac{b}{x}]\).

代碼實(shí)現(xiàn)

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std;const int N = 5e4; const int NN = 317; int p[N+2]; bool f[N+2]; int mu[N+2]; int s[N+2]; int g[(NN<<2)+2]; int h[(NN<<2)+2]; int a,b,d,m;void Mobius() {f[1] = true; mu[1] = 1; m = 0;for(int i=2; i<=N; i++){if(!f[i]) {p[++m] = i; mu[i] = -1;}for(int j=1; p[j]*i<=N; j++){f[p[j]*i] = true;if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]] = 0;break;}else mu[i*p[j]] = -mu[i];}} }void merge(int aa,int bb) {int i = 1,j = (aa<<1)+1,k = 1;while(i<=(aa<<1) && j<=(aa<<1)+(bb<<1)){if(h[i]<h[j]) g[k++] = h[i++];else g[k++] = h[j++];}while(i<=(aa<<1)) g[k++] = h[i++];while(j<=(aa<<1)+(bb<<1)) g[k++] = h[j++]; }int main() {int t; scanf("%d",&t);Mobius(); s[0] = 0;for(int i=1; i<=N; i++) s[i] = s[i-1]+mu[i];while(t--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);if(d==0) {printf("0\n"); continue;}if(a>b) swap(a,b);a /= d; b /= d;int aa = (int)sqrt(a),bb = (int)sqrt(b);long long ans = 0ll;for(int i=1; i<=aa; i++) h[i] = i;for(int i=aa; i>=1; i--) h[(aa<<1)-i+1] = a/i;//保證h[]在1~(aa<<1)范圍內(nèi)有序for(int i=1; i<=bb; i++) h[i+(aa<<1)] = i;for(int i=bb; i>=1; i--) h[(aa<<1)+(bb<<1)-i+1] = b/i;//保證h[]在1~(bb<<1)范圍內(nèi)有序merge(aa,bb);//將[1,aa<<1]與[aa<<1+1,aa<<1+bb<<1]歸并起來(lái)for(int i=1; i<=(aa<<1)+(bb<<1); i++){ans += (long long)(s[g[i]]-s[g[i-1]])*(a/g[i])*(b/g[i]);}printf("%lld\n",ans);}return 0; } 發(fā)表于 2018-12-26 22:54 suncongbo 閱讀(...) 評(píng)論(...) 編輯 收藏 刷新評(píng)論刷新頁(yè)面返回頂部

總結(jié)

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