【學習筆記】有向無環圖上的DP

手動博客搬家: 本文發表于20180716 10:49:04, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/81061378

首先，感謝以下幾位大佬們在此問題上對我的幫助：本市大佬sdqd01, 外省大佬ez_dc, coconight, szlhx01, jxgz03 (均為某OJ用戶名)

一、基本概念

有向無環圖 (Directed Acyclic Graph, DAG): 沒有環的有向圖。
Tarjan算法縮點、拓撲排序
在有向無環圖上，可以進行動態規劃來求解問題，具體見后面的例題。

二、問題引入

一切都要從半年前說起：
半年前我正在準備地理生物中考，其中生物有這樣一種題：
給一個食物網（當然是DAG啦），求該食物網里一共有幾條食物鏈。
當時同學們的做法是：枚舉每一條食物鏈。
先不考慮是否符合生物學原理，最壞情況下的復雜度？
\(O(n2^{n-2})\) (把邊全連滿)

但是我們可以\(DP\)！
我的做法：令\(dp[i]\)表示以\(i\)結束（或稱為在\(i\)處匯聚）的食物鏈條數。（食物鏈都是從被捕食者向捕食者連有向邊）
則轉移為：\(dp[i]=\sum_{j\in ind[i]}dp[j]\), 其中\(ind[i]\)為連向\(i\)的點的集合。
初始狀態：\(dp[生產者]=1\), 生產者即入度為0的點。
答案：\(ans=\sum dp[最高級消費者]\)，最高級消費者即出度為0的點。
但是一個問題是：如果我們用代碼實現這個過程，如何確定dp的順序？
很顯然，一個點的\(dp\)值能夠被確定，其先決條件是它的所有入點的\(dp\)值都已被確定。因此我們需要確定一個點的排列，使得每個點的所有入點都在這個點之前出現。這里用到拓撲排序。拓撲序就是我們\(DP\)的順序。
那這樣的話，先拓撲排序，記下來拓撲序列，然后從前往后DP？
其實還不用。我們可以直接一邊拓撲排序一邊DP，就是每\(BFS\)訪問到一個節點\(i\)，我們枚舉\(i\)的所有出度，對于\(i\)的一個出度\(j\), 刪掉\(i\)到\(j\)的邊 (拓撲排序)同時用\(dp[i]\)更新\(dp[j]\) (DP).
一邊拓撲排序，一邊dp，既省空間又省代碼。
復雜度？\(n\)個點\(m\)條邊的話，\(O(n+m)\).
現在，假定這個圖一定是DAG. 對于不是DAG的情況，將在后面討論。

三、例題

codeforces 919D (http://codeforces.com/problemset/problem/919/D)
https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/81061500

bzoj 1924 (https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1924)
首先，這道題難點在建圖，這個過程不是本文的重點，不再贅述。
假設我們已經建出了圖。現在我們需要求圖上的最長鏈。有以下三種方法：

(1) SPFA跑最長路。 (2) DP. 有BFS和DFS兩種方法。
DP做法(BFS)：令\(dp[i]\)表示到i為止最長鏈的長度，則有\(dp[i]=\max_{j\in ind[i]} dp[j]+1\)，按拓撲序轉移即可。
等等？建出的圖上可能有環？
此時答案顯然不能是\(\inf\), 因為在本題中走過一個點多次只會統計一次答案。所以我們必須通過Tarjan算法來縮點，將每個強連通分量縮成一個點，點的權值為強連通分量的大小。這樣的話，如果題目里的Henry沿最長鏈走到了這個強連通分量中的一個點，則此時如果順道把這個強連通分量訪問遍，答案顯然不會更差。縮完點之后，變成了\(DAG\)，然后就可以\(DP\)啦。
但是！除了BFS，我們還有一種更簡單的\(DP\)方法，即\(DFS\)！時間復雜度一樣，BFS20行左右，DFS不到10行，而且省一點空間
具體做法：令\(dp[i]\)為從i 開始的最長鏈。代碼如下：

void dfs(int u,int prv) {if(dp[u]-a[u]>0) return;dp[u] = a[u];for(int i=fe0[u]; i; i=e0[i].nxt){dfs(e0[i].v,u);dp[u] = max(dp[u],dp[e0[i].v]+a[u]);} }

是不是特別簡潔！不需要冗長的拓撲排序！
但是它是如何保證轉移順序的呢？
由于是從i開始，因此轉移順序應是每個點的所有出邊連向的點轉移后才轉移這個點，而代碼中的for循環恰恰保證了這一點。
整道題代碼：(dfs)

#include<cstdio> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std;const int N = 300000; const int M = 1200000; const int C = 1000000; struct Edge {int v,nxt; bool us; } e[M+2],e0[M+2]; struct Node {int x,y,z;bool operator <(const Node &arg) const{return y<arg.y;} } nd[N+2]; int fe[N+2],fe0[N+2]; int f[3][C+2]; int id1[N+2],id2[N+2]; int dfn[N+2],low[N+2]; int sta[N+2]; bool ins[N+2]; int clr[N+2]; int a[N+2]; int ind[N+2]; int que[N+2]; int dp[N+2]; vector<int> v1,v2; int n,m,m0,num,cnt,tp,r,c;void addedge(int u,int v) {m++; e[m].v = v;e[m].nxt = fe[u]; fe[u] = m; }void addedge0(int u,int v) {m0++; e0[m0].v = v;e0[m0].nxt = fe0[u]; fe0[u] = m0;ind[v]++; }int getid1(int x) {return lower_bound(v1.begin(),v1.end(),x)-v1.begin()+1; }int getid2(int x) {return lower_bound(v2.begin(),v2.end(),x)-v2.begin()+1; }void Tarjan(int u) {cnt++; dfn[u] = cnt; low[u] = cnt; ins[u] = true;tp++; sta[tp] = u;for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){if(dfn[e[i].v]==0) {Tarjan(e[i].v); low[u] = min(low[u],low[e[i].v]);}else if(ins[e[i].v]) {low[u] = min(low[u],dfn[e[i].v]);}}if(low[u]==dfn[u]){num++; a[num] = 1;while(sta[tp]!=u){ins[sta[tp]] = false;clr[sta[tp]] = num;a[num]++;tp--;}ins[u] = false; clr[u] = num; tp--;} }void dfs(int u,int prv) {if(dp[u]-a[u]>0) return;dp[u] = a[u];for(int i=fe0[u]; i; i=e0[i].nxt){if(e0[i].v==prv) continue;dfs(e0[i].v,u);dp[u] = max(dp[u],dp[e0[i].v]+a[u]);} }int main() {scanf("%d%d%d",&n,&r,&c); m = 0;for(int i=1; i<=n; i++){scanf("%d%d%d",&nd[i].x,&nd[i].y,&nd[i].z);v1.push_back(nd[i].x); v2.push_back(nd[i].y);}sort(nd+1,nd+n+1);int cur = 0,nxt = 1,prv = -1,pcur = 1,pnxt = 1,pprv = 0;while(nd[pnxt].y==1) {f[nxt][nd[pnxt].x] = pnxt; pnxt++;}for(int i=1; i<=c; i++){cur = (cur+1)%3; nxt = (nxt+1)%3; prv = (prv+1)%3;while(pnxt<=n && nd[pnxt].y==i+1){f[nxt][nd[pnxt].x] = pnxt;pnxt++;}while(nd[pcur].y==i){if(nd[pcur].z==3){if(f[prv][nd[pcur].x]>0) addedge(pcur,f[prv][nd[pcur].x]);if(f[prv][nd[pcur].x-1]>0) addedge(pcur,f[prv][nd[pcur].x-1]);if(f[prv][nd[pcur].x+1]>0) addedge(pcur,f[prv][nd[pcur].x+1]);if(f[cur][nd[pcur].x-1]>0) addedge(pcur,f[cur][nd[pcur].x-1]);if(f[cur][nd[pcur].x+1]>0) addedge(pcur,f[cur][nd[pcur].x+1]);if(f[nxt][nd[pcur].x]>0) addedge(pcur,f[nxt][nd[pcur].x]);if(f[nxt][nd[pcur].x-1]>0) addedge(pcur,f[nxt][nd[pcur].x-1]);if(f[nxt][nd[pcur].x+1]>0) addedge(pcur,f[nxt][nd[pcur].x+1]);}pcur++;}while(nd[pprv].y==i-1){f[prv][nd[pprv].x] = 0;pprv++;}}sort(v1.begin(),v1.end()); v1.erase(unique(v1.begin(),v1.end()),v1.end());sort(v2.begin(),v2.end()); v2.erase(unique(v2.begin(),v2.end()),v2.end());for(int i=1; i<=n; i++){nd[i].x = getid1(nd[i].x); nd[i].y = getid2(nd[i].y);if(nd[i].z==1) id1[nd[i].x] = i; else if(nd[i].z==2) id2[nd[i].y] = i;}for(int i=1; i<=n; i++){if(id1[nd[i].x]!=i) addedge(id1[nd[i].x],i);if(id2[nd[i].y]!=i) addedge(id2[nd[i].y],i);if(nd[i].z==1 && id1[nd[i].x]!=i) addedge(i,id1[nd[i].x]);else if(nd[i].z==2 && id2[nd[i].y]!=i) addedge(i,id2[nd[i].y]);}cnt = 0; num = 0; for(int i=1; i<=n; i++) if(dfn[i]==0) Tarjan(i);m0 = 0;for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=fe[i]; j; j=e[j].nxt){if(clr[i]!=clr[e[j].v]){addedge0(clr[i],clr[e[j].v]);}}}int ans = 0;for(int i=1; i<=num; i++) if(ind[i]==0) {dfs(i,0); ans = max(ans,dp[i]);}printf("%d\n",ans);return 0; }

bzoj 1179 (https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1179)
https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/81061601

發表于 2019-01-16 13:01 suncongbo 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏 刷新評論刷新頁面返回頂部

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【学习笔记】有向无环图上的DP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。