Sperner定理及其證明

額，最近看到了一個十分有趣的定理——Sperner定理。其實這個定理在OI中沒什么用處，因此我都沒把這篇文章放到我的OI標簽里(不知道在MO中是否有用？)但是覺得它很有趣于是就過來寫一下。

由于博主太弱不會用LaTeX寫取整符號，本文中用\([x]\)表示\(x\)下取整。

問題: 有一個\(n\)元集合\(S_n\)，從中選出若干個子集，滿足沒有任何兩個子集之間存在包含關系，問最多能選出多少個？

首先結論是很好猜的。如果把所有\(k\)元子集全部選出，那么顯然不會包含，一共能選\(n\choose k\)個子集。顯然這個數在\([\frac{n}{2}]\)時取到最大值，我也構造不出來什么更優的選法，我猜答案就是\(n\choose [\frac{n}{2}]\) ！

正確答案就是\(n\choose [\frac{n}{2}]\). 但這個結論的精彩之處在于它的證明:

證明: 對于選出的每一個子集\(S\)，我們定義它的生成排列(好吧這個名字是我自己瞎起的)為一些\(1\)到\(n\)的排列，這個排列應當滿足前\(|S|\)個元素構成的集合為\(S\), 后\(n-|S|\)個元素構成的集合為\(S_n-S\). 不難發現一個集合\(S\)的生成排列有\(|S|!(n-|S|)!\)個。

例如: \(n=5\),集合\({1,3,4}\)的生成排列有以下\(12\)個:

1 3 4 2 5 1 3 4 5 2 1 4 3 2 5 1 4 3 5 2 3 1 4 2 5 3 1 4 5 2 3 4 1 2 5 3 4 1 5 2 4 1 3 2 5 4 1 3 5 2 4 3 1 2 5 4 3 1 5 2

然后我們考慮題目中子集互不包含的限制，在這里轉化成了，從任何兩個子集的各任取一個生成排列，這兩個生成排列不相等。也就是所有的子集的生成排列是沒有重復的。因為如果某個排列\(p\)同時是兩個不相等的子集\(A,B\)的生成排列，若\(|A|=|B|\)則有\(A\)和\(B\)都是排列\(p\)的同一前綴構成的集合，\(A,B\)相等，矛盾；否則不妨設\(|A|<|B|\), 則\(A\)集合內元素的一個排列是\(B\)內元素的一個排列的前綴，顯然有\(A\in B\)。同樣地，我們可以證明如果\(A\)包含\(B\), 則一定存在排列\(p\)滿足\(p\)同時是\(A\)和\(B\)的生成排列。

因此，原題條件等價于，選出盡量多的集合，使得所有集合的生成排列沒有重復。而設選出了\(m\)個集合，第\(i\)個集合的大小是\(S_i\), 因為所有生成排列沒有重復，所有生成排列的個數不超過\(n!\), 也就是\[\sum^m_{i} |S_i|!(n-|S_i|)!\le n!\]把\(n!\)除過去\[\sum^m_{i=1} \frac{1}{n\choose S_i}\le 1\]根據簡單的二項式系數性質可得\(m\le {n\choose [\frac{n}{2}]}\)

（非常抱歉我把如此簡單的東西講復雜了QAQ）

不過以上過程雖然很容易理解，但是確實很難想啊……據說數學界研究了十幾年才得到這個證明QAQ

另外還聽說這個定理可以推廣到可重集。

發表于 2019-01-25 18:18 suncongbo 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏 刷新評論刷新頁面返回頂部

總結

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