題目鏈接

https://atcoder.jp/contests/agc031/tasks/agc031_d

題解

這居然真的是個找規律神題。。。

首先要明白置換的一些基本定義，置換\(p\)和\(q\)的復合\(a\)定義為\(a_i=p_{q_i}\), 記作\(a=pq\). 有定理\((pq)^{-1}=q^{-1}p^{-1}\).
顯然題目里定義的\(f(p,q)=qp^{-1}\).
然后打表打出前幾項:
\(a_1=p\)
\(a_2=q\)
\(a_3=qp^{-1}\)
\(a_4=qp^{-1}q^{-1}\)
\(a_5=qp^{-1}q^{-1}pq^{-1}\)
\(a_6=qp^{-1}q^{-1}p^2q^{-1}\)
\(a_7=qp^{-1}q^{-1}pqpq^{-1}\)
\(a_8=qp^{-1}q^{-1}pqp^{-1}qpq^{-1}\)
好像……規律并不明顯啊……
好吧，結論是\(a_n=ga_{n-6}g^{-1}\), 其中\(g=qp^{-1}q^{-1}p\). (這是怎么看出來的……)
知道了結論，我們還是比較容易歸納證明的: 顯然\(gg^{-1}=e\) (\(e\)為單位元，\(e_i=i\)), 于是\(a_n=(ga_{n-7}g^{-1})(ga_{n-8}g^{-1})^(-1)=ga_{n-7}a_{n-8}^{-1}g^{-1}=ga_{n-6}g^{-1}\).
于是設\(m'=\lfloor \frac{m-1}{6}\rfloor, n'=m-6m'\), \(a_n=g^{m'}n'g^{-m'}\), 直接快速冪計算即可，時間復雜度\(O(n\log m)\)或\(O(n)\).

代碼

#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cassert> #include<iostream> using namespace std;inline int read() {int x=0; bool f=1; char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');if(f) return x;return -x; }const int N = 1e5; const int lgM = 30; int p[N+3],q[N+3],pp[N+3],qq[N+3]; int g[N+3],f[N+3],ff[N+3]; int tmp[N+3]; int aux[N+3]; int ans[N+3]; int a[7][N+3]; int n,m;int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&p[i]),pp[p[i]] = i;for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&q[i]),qq[q[i]] = i;for(int i=1; i<=n; i++) a[1][i] = p[i],a[2][i] = q[i];for(int k=3; k<=6; k++){for(int i=1; i<=n; i++) a[k][a[k-2][i]] = a[k-1][i];}for(int i=1; i<=n; i++) g[i] = q[pp[qq[p[i]]]],f[i] = i,tmp[i] = g[i];int nn = m%6==0?6:m%6; m = (m-1)/6;for(int i=0; m; i++){if(m&(1<<i)){m-=(1<<i);for(int j=1; j<=n; j++) aux[j] = f[tmp[j]];for(int j=1; j<=n; j++) f[j] = aux[j];}for(int j=1; j<=n; j++) aux[j] = tmp[tmp[j]];for(int j=1; j<=n; j++) tmp[j] = aux[j];}for(int i=1; i<=n; i++) ff[f[i]] = i;for(int i=1; i<=n; i++) ans[i] = f[a[nn][ff[i]]];for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",ans[i]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AtCoder AGC031D A Sequence of Permutations (群论、置换快速幂)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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