題目鏈接

https://codeforces.com/contest/997/problem/D

題解

點分治這個思路想不到==

首先這兩棵樹的笛卡爾積并沒有什么用處，因為笛卡爾積中的環就是兩棵樹中各找一個環按任意順序歸并起來（且不難證明不同的歸并順序對應不同的方案）。只需要對兩棵樹分別求出 \(ans_i\) 表示有多少個長度為 \(i\) 的環。

注意由于 1213 這種環的存在，我們不能直接欽定某個具有特殊性質的點為起點而忽略起點然后乘以環長再去掉周期更小的。一個 naive 的想法是設 \(dp[u_1][u_2][k]\) 表示起點為 \(u_1\) 當前在 \(u_2\) 長度為 \(k\) 的方案數。考慮點分治，設分治中心為 \(cent\)，計算經過 \(cent\) 的環的個數。這個很容易（很套路），設 \(f[u][k]\) 表示 \(u\) 點走了 \(k\) 步到 \(cent\) 且之前沒到過 \(cent\) 的方案數，\(g[u][k]\) 表示 \(cent\) 走了 \(k\) 步到 \(u\) 的方案數，轉移顯然，求答案枚舉第一次到 \(cent\) 的時間即可。

時間復雜度 \(O(k^2n\log n)\).

代碼

#include<bits/stdc++.h> #define llong long long #define mkpr make_pair #define iter iterator #define riter reversed_iterator #define y1 Lorem_ipsum_dolor using namespace std;inline int read() {int x = 0,f = 1; char ch = getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) {if(ch=='-') f = -1;}for(; isdigit(ch);ch=getchar()) {x = x*10+ch-48;}return x*f; }const int mxN = 4000; const int mxM = 75; const int P = 998244353;llong comb[mxN+3][mxN+3]; int m;void updsum(llong &x,llong y) {x = x+y>=P?x+y-P:x+y;}void initcomb(int n) {comb[0][0] = 1ll;for(int i=1; i<=n; i++) {comb[i][0] = comb[i][i] = 1ll; for(int j=1; j<i; j++) updsum(comb[i][j]=comb[i-1][j-1],comb[i-1][j]);} }struct Tree {struct Edge{int v,nxt;} e[(mxN<<1)+3];int fe[mxN+3];int fa[mxN+3];int sz[mxN+3],mxsz[mxN+3]; bool vis[mxN+3];llong f[mxM+3][mxN+3],g[mxM+3][mxN+3];llong ans[mxN+3];vector<int> now;int n,en,cent,siz;void addedge(int u,int v){en++; e[en].v = v;e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;}void getCentroid(int u,int prv){now.push_back(u);sz[u] = 1,mxsz[u] = 0;for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v; if(v==prv||vis[v]) continue;getCentroid(v,u);sz[u] += sz[v];mxsz[u] = max(mxsz[u],sz[v]);}mxsz[u] = max(mxsz[u],siz-sz[u]);if(cent==0||mxsz[u]<mxsz[cent]) {cent = u;}}void findCentroid(int u){now.clear(); cent = 0; getCentroid(u,0);}void dfs1(){ // printf("dfs1 %d\n",cent); // printf("now: "); for(int i=0; i<now.size(); i++) printf("%d ",now[i]); puts("");int tsiz = siz;f[0][cent] = 1ll,g[0][cent] = 1ll;for(int i=0; i<m; i++){for(int j=0; j<now.size(); j++){int u = now[j];for(int o=fe[u]; o; o=e[o].nxt){int v = e[o].v; if(vis[v]) continue;if(v!=cent) {updsum(f[i+1][v],f[i][u]);}updsum(g[i+1][v],g[i][u]);}}}for(int i=0; i<now.size(); i++){int u = now[i];for(int j=0; j<=m; j++){for(int k=0; k<=j; k++){updsum(ans[j],f[k][u]*g[j-k][u]%P);}}}for(int i=0; i<now.size(); i++) for(int j=0; j<=m; j++) {f[j][now[i]] = g[j][now[i]] = 0ll;}vis[cent] = true;for(int i=fe[cent]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v; if(vis[v]) continue;siz = sz[v]>sz[cent]?tsiz-sz[cent]:sz[v]; findCentroid(v);dfs1();}}void solve(){for(int i=1; i<n; i++) {int u = read(),v = read(); addedge(u,v),addedge(v,u);}siz = n; findCentroid(1); dfs1(); // printf("ans: "); for(int i=0; i<=m; i++) printf("%I64d ",ans[i]); puts("");} } T1,T2;int main() {T1.n = read(); T2.n = read(); m = read();initcomb(m);T1.solve();T2.solve();llong ans = 0ll;for(int i=0; i<=m; i++){updsum(ans,comb[m][i]*T1.ans[i]%P*T2.ans[m-i]%P);}printf("%I64d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Codeforces 997D Cycles in Product (点分治、DP计数)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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