首先考慮如何求 DAG 的最小鏈覆蓋。

傳遞閉包，轉化成用若干條不能相交的鏈進行覆蓋。然后給每個點拆成兩個點 \((u,u')\)，分別代表入點和出點，對于原圖任何一條邊 \((u,v)\)，從 \(u\) 向 \(v'\) 連邊，最終的答案就是 \(n\) (圖的點數)減去該二分圖的最大匹配數。這是因為一條匹配邊意味著邊兩端的點可以被放在同一條鏈中，且入點和出點保證了每個點的入度和出度都不超過 \(1\).

利用這種方法，我們可以求出 DAG 最小鏈覆蓋的大小，并得到一種將二分圖最大匹配的方案和 DAG 最小鏈覆蓋的方案建立對應的方法。

我們需要利用另一個定理：
Konig 定理: 二分圖的最大匹配等于最小點覆蓋。
點覆蓋是指圖中一個點的集合，使得每條邊至少有一個端點在集合中。
該定理的構造性證明將在后文敘述。

現在假設我們根據二分圖最大匹配的方案，構造出了一種最小點覆蓋的方案。
有如下結論：在由 Dilworth 定理轉化出的二分圖中，最小點覆蓋不可能同時包含 \(u\) 和 \(u'\) 兩點。
這是因為，如果同時包含 \(u?\) 和 \(u'?\)，那意味著存在 \(v,w?\) 使得 \((v,u')?\) 和 \((u,w')?\) 有邊。因為該圖是傳遞閉包過的，所以 \((v,w')?\) 必定有邊。那么點覆蓋一定包含一個原圖中可達 \(v?\) 的點 \(p?\)，或者一個原圖中 \(w?\) 可達的點 \(q?\) (可以為 \(v,w?\) 本身). 如果存在點 \(p?\)，那么 \(u?\) 就可以從點覆蓋里刪掉；如果存在點 \(q?\)，那么 \(u'?\) 就可以從點覆蓋里刪掉。因此同時包含 \(u?\) 和 \(u'?\) 的點覆蓋一定不是最小點覆蓋。

既然如此，對于每個 \(u\)，若 \(u\) 和 \(u'\) 都不在最小點覆蓋中，就將其加入集合，否則不加入，這樣集合的大小恰好是 \(n-m\) (\(m\) 為最大匹配數)，且任何兩個集合中的點原圖中都沒有邊相連，故該集合是一條反鏈。而反過來也是一樣，對于任何一條反鏈，所有的邊都至少有一個端點在反鏈之外，故反鏈的補集一定對應二分圖的點覆蓋。于是我們得到了一種通過二分圖最小點覆蓋的方案求出 DAG 最長反鏈的方案的方法，并證明了最長反鏈大小等于最小鏈覆蓋大小。

下面考慮如何構造性地證明 Konig 定理。我們讓二分圖兩部之間的邊的流量為 \(+\infty\)，顯然這不影響答案。這樣一來，二分圖的最大匹配就相當于最大流，而最小點覆蓋就相當于最小割。運行 Dinic 算法之后，我們求出一種最小割的方案。如果二分圖中一個點和源點或者匯點的連邊被割了，那么其對應的最小點覆蓋方案中該點被選。

于是我們得到了一種由二分圖最大匹配方案得到最小點覆蓋方案的方法。
綜上所述，我們在 1 中建立了二分圖最大匹配方案和 DAG 最小鏈覆蓋方案的對應，在 2 中找到了由二分圖最小點覆蓋方案得到 DAG 最長反鏈方案的方法，在 3 中找到了由二分圖最大匹配方案得到二分圖最小點覆蓋方案的方法，那么也就找到了一種構造 DAG 最長反鏈的方法。

下面簡化一下上面的構造方法。首先運行 Dinic 算法，然后在殘量網絡上 BFS 或者 DFS，求出 \(S\) 能到達哪些點。對于 \(u\) 來說，如果 \(S\) 可達 \(u\)，\(S\) 可達 \(u'\)，那么最小點覆蓋的方案中 \(u'\) 被選；如果 \(S\) 不可達 \(u\)，\(S\) 不可達 \(u'\)，那么最小點覆蓋的方案中 \(u\) 被選；如果 \(S\) 不可達 \(u\)，\(S\) 可達 \(u'\)，則最小點覆蓋方案中 \(u\) 和 \(u'\) 都被選，該情況不存在；如果 \(S\) 可達 \(u\)，\(S\) 不可達 \(u'\)，最小點覆蓋中 \(u\) 和 \(u'\) 都不被選，即 \(u\) 應當存在于最長反鏈的方案中。

于是，我們最終得到的構造最長反鏈的方法就是：\(u\) 在最長反鏈中當且僅當殘量網絡中 \(S\) 可達 \(u\) 且 \(S\) 不可達 \(u'\).