Dancing Link讲解
學(xué)了一下精確覆蓋問題，這個(gè)博客寫的真的很好，贊一下：
http://www.cnblogs.com/grenet/p/3145800.html
http://www.cnblogs.com/grenet/p/3163550.html
我就直接轉(zhuǎn)載了，當(dāng)做保存：
第一篇：
精確覆蓋問題的定義：給定一個(gè)由0-1組成的矩陣，是否能找到一個(gè)行的集合，使得集合中每一列都恰好包含一個(gè)1
例如：如下的矩陣
就包含了這樣一個(gè)集合（第1、4、5行）
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如何利用給定的矩陣求出相應(yīng)的行的集合呢？我們采用回溯法
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矩陣1：
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先假定選擇第1行，如下所示：
如上圖中所示，紅色的那行是選中的一行，這一行中有3個(gè)1，分別是第3、5、6列。
由于這3列已經(jīng)包含了1，故，把這三列往下標(biāo)示，圖中的藍(lán)色部分。藍(lán)色部分包含3個(gè)1，分別在2行中，把這2行用紫色標(biāo)示出來
根據(jù)定義，同一列的1只能有1個(gè)，故紫色的兩行，和紅色的一行的1相沖突。
那么在接下來的求解中，紅色的部分、藍(lán)色的部分、紫色的部分都不能用了，把這些部分都刪除，得到一個(gè)新的矩陣
矩陣2：
行分別對(duì)應(yīng)矩陣1中的第2、4、5行
列分別對(duì)應(yīng)矩陣1中的第1、2、4、7列
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于是問題就轉(zhuǎn)換為一個(gè)規(guī)模小點(diǎn)的精確覆蓋問題
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在新的矩陣中再選擇第1行，如下圖所示
還是按照之前的步驟，進(jìn)行標(biāo)示。紅色、藍(lán)色和紫色的部分又全都刪除，導(dǎo)致新的空矩陣產(chǎn)生，而紅色的一行中有0（有0就說明這一列沒有1覆蓋）。說明，第1行選擇是錯(cuò)誤的
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那么回到之前，選擇第2行，如下圖所示
按照之前的步驟，進(jìn)行標(biāo)示。把紅色、藍(lán)色、紫色部分刪除后，得到新的矩陣
矩陣3：
行對(duì)應(yīng)矩陣2中的第3行，矩陣1中的第5行
列對(duì)應(yīng)矩陣2中的第2、4列，矩陣1中的第2、7列
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由于剩下的矩陣只有1行，且都是1，選擇這一行，問題就解決
于是該問題的解就是矩陣1中第1行、矩陣2中的第2行、矩陣3中的第1行。也就是矩陣1中的第1、4、5行
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在求解這個(gè)問題的過程中，我們第1步選擇第1行是正確的，但是不是每個(gè)題目第1步選擇都是正確的，如果選擇第1行無法求解出結(jié)果出來，那么就要推倒之前的選擇，從選擇第2行開始，以此類推
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從上面的求解過程來看，實(shí)際上求解過程可以如下表示
1、從矩陣中選擇一行
2、根據(jù)定義，標(biāo)示矩陣中其他行的元素
3、刪除相關(guān)行和列的元素，得到新矩陣
4、如果新矩陣是空矩陣，并且之前的一行都是1，那么求解結(jié)束，跳轉(zhuǎn)到6；新矩陣不是空矩陣，繼續(xù)求解，跳轉(zhuǎn)到1；新矩陣是空矩陣，之前的一行中有0，跳轉(zhuǎn)到5
5、說明之前的選擇有誤，回溯到之前的一個(gè)矩陣，跳轉(zhuǎn)到1；如果沒有矩陣可以回溯，說明該問題無解，跳轉(zhuǎn)到7
6、求解結(jié)束，把結(jié)果輸出
7、求解結(jié)束，輸出無解消息
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從如上的求解流程來看，在求解的過程中有大量的緩存矩陣和回溯矩陣的過程。而如何緩存矩陣以及相關(guān)的數(shù)據(jù)（保證后面的回溯能正確恢復(fù)數(shù)據(jù)），也是一個(gè)比較頭疼的問題（并不是無法解決）。以及在輸出結(jié)果的時(shí)候，如何輸出正確的結(jié)果（把每一步的選擇轉(zhuǎn)換為初始矩陣相應(yīng)的行）。
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于是算法大師Donald E.Knuth（《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》的作者）出面解決了這個(gè)方面的難題。他提出了DLX（Dancing Links X）算法。實(shí)際上，他把上面求解的過程稱為X算法，而他提出的舞蹈鏈（Dancing Links）實(shí)際上并不是一種算法，而是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。一種非常巧妙的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，他的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在緩存和回溯的過程中效率驚人，不需要額外的空間，以及近乎線性的時(shí)間。而在整個(gè)求解過程中，指針在數(shù)據(jù)之間跳躍著，就像精巧設(shè)計(jì)的舞蹈一樣，故Donald E.Knuth把它稱為Dancing Links（中文譯名舞蹈鏈）。
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Dancing Links的核心是基于雙向鏈的方便操作（移除、恢復(fù)加入）
我們用例子來說明
假設(shè)雙向鏈的三個(gè)連續(xù)的元素，A1、A2、A3，每個(gè)元素有兩個(gè)分量Left和Right，分別指向左邊和右邊的元素。由定義可知
A1.Right=A2，A2.Right=A3
A2.Left=A1，A3.Left=A2
在這個(gè)雙向鏈中，可以由任一個(gè)元素得到其他兩個(gè)元素，A1.Right.Right=A3，A3.Left.Left=A1等等
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現(xiàn)在把A2這個(gè)元素從雙向鏈中移除（不是刪除）出去，那么執(zhí)行下面的操作就可以了
A1.Right=A3，A3.Left=A1
那么就直接連接起A1和A3。A2從雙向鏈中移除出去了。但僅僅是從雙向鏈中移除了，A2這個(gè)實(shí)體還在，并沒有刪除。只是在雙向鏈中遍歷的話，遍歷不到A2了。
那么A2這個(gè)實(shí)體中的兩個(gè)分量Left和Right指向誰？由于實(shí)體還在，而且沒有修改A2分量的操作，那么A2的兩個(gè)分量指向沒有發(fā)生變化，也就是在移除前的指向。即A2.Left=A1和A2.Right=A3
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如果此時(shí)發(fā)現(xiàn)，需要把A2這個(gè)元素重新加入到雙向鏈中的原來的位置，也就是A1和A3的中間。由于A2的兩個(gè)分量沒有發(fā)生變化，仍然指向A1和A3。那么只要修改A1的Right分量和A3的Left就行了。也就是下面的操作
A1.Right=A2，A3.Left=A2
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仔細(xì)想想，上面兩個(gè)操作（移除和恢復(fù)加入）對(duì)應(yīng)了什么？是不是對(duì)應(yīng)了之前的算法過程中的關(guān)鍵的兩步？
移除操作對(duì)應(yīng)著緩存數(shù)據(jù)、恢復(fù)加入操作對(duì)應(yīng)著回溯數(shù)據(jù)。而美妙的是，這兩個(gè)操作不再占用新的空間，時(shí)間上也是極快速的
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在很多實(shí)際運(yùn)用中，把雙向鏈的首尾相連，構(gòu)成循環(huán)雙向鏈
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Dancing Links用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是交叉十字循環(huán)雙向鏈
而Dancing Links中的每個(gè)元素不僅是橫向循環(huán)雙向鏈中的一份子，又是縱向循環(huán)雙向鏈的一份子。
因?yàn)榫_覆蓋問題的矩陣往往是稀疏矩陣（矩陣中，0的個(gè)數(shù)多于1），Dancing Links僅僅記錄矩陣中值是1的元素。
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Dancing Links中的每個(gè)元素有6個(gè)分量
分別：Left指向左邊的元素、Right指向右邊的元素、Up指向上邊的元素、Down指向下邊的元素、Col指向列標(biāo)元素、Row指示當(dāng)前元素所在的行
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Dancing Links還要準(zhǔn)備一些輔助元素（為什么需要這些輔助元素？沒有太多的道理，大師認(rèn)為這能解決問題，實(shí)際上是解決了問題）
Ans（）：Ans數(shù)組，在求解的過程中保留當(dāng)前的答案，以供最后輸出答案用。
Head元素：求解的輔助元素，在求解的過程中，當(dāng)判斷出Head.Right=Head（也可以是Head.Left=Head）時(shí)，求解結(jié)束，輸出答案。Head元素只有兩個(gè)分量有用。其余的分量對(duì)求解沒啥用
C元素：輔助元素，稱列標(biāo)元素，每列有一個(gè)列標(biāo)元素。本文開始的題目的列標(biāo)元素分別是C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7。每一列的元素的Col分量都指向所在列的列標(biāo)元素。列標(biāo)元素的Col分量指向自己（也可以是沒有）。在初始化的狀態(tài)下，Head.Right=C1、C1.Right=C2、……、C7.Right=Head、Head.Left=C7等等。列標(biāo)元素的分量Row=0，表示是處在第0行。
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下圖就是根據(jù)題目構(gòu)建好的交叉十字循環(huán)雙向鏈（構(gòu)建的過程后面的詳述）
就上圖解釋一下
每個(gè)綠色方塊是一個(gè)元素，其中Head和C1、C2、……、C7是輔助元素。橙色框中的元素是原矩陣中1的元素，給他們標(biāo)上號(hào)（從1到16）
左側(cè)的紅色，標(biāo)示的是行號(hào)，輔助元素所在的行是0行，其余元素所在的行從1到6
每兩個(gè)元素之間有一個(gè)雙向箭頭連線，表示雙向鏈中相鄰兩個(gè)元素的關(guān)系（水平的是左右關(guān)系、垂直的是上下關(guān)系）
單向的箭頭并不是表示單向關(guān)系，而因?yàn)槭茄h(huán)雙向鏈，左側(cè)的單向箭頭和右側(cè)的單向箭頭（上邊的和下邊的）組成了一個(gè)雙向箭頭，例如元素14左側(cè)的單向箭頭和元素16右側(cè)的單項(xiàng)箭頭組成一個(gè)雙向箭頭，表示14.Left=16、16.Right=14；同理，元素14下邊的單項(xiàng)箭頭和元素C4上邊的單向箭頭組成一個(gè)雙向箭頭，表示14.Down=C4、C4.Up=14
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接下來，利用圖來解釋Dancing Links是如何求解精確覆蓋問題
1、首先判斷Head.Right=Head？若是，求解結(jié)束，輸出解；若不是，求解還沒結(jié)束，到步驟2（也可以判斷Head.Left=Head？）
2、獲取Head.Right元素，即元素C1，并標(biāo)示元素C1（標(biāo)示元素C1，指的是標(biāo)示C1、和C1所在列的所有元素、以及該元素所在行的元素，并從雙向鏈中移除這些元素）。如下圖中的紫色部分。
如上圖可知，行2和行4中的一個(gè)必是答案的一部分（其他行中沒有元素能覆蓋列C1），先假設(shè)選擇的是行2
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3、選擇行2（在答案棧中壓入2），標(biāo)示該行中的其他元素（元素5和元素6）所在的列首元素，即標(biāo)示元素C4和標(biāo)示元素C7，下圖中的橙色部分。
注意的是，即使元素5在步驟2中就從雙向鏈中移除，但是元素5的Col分量還是指向元素C4的，這里體現(xiàn)了雙向鏈的強(qiáng)大作用。
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把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示
一下子空了好多，是不是轉(zhuǎn)換為一個(gè)少了很多元素的精確覆蓋問題？，利用遞歸的思想，很快就能寫出求解的過程來。我們繼續(xù)完成求解過程
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4、獲取Head.Right元素，即元素C2，并標(biāo)示元素C2。如下圖中的紫色部分。
如圖，列C2只有元素7覆蓋，故答案只能選擇行3
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5、選擇行3（在答案棧中壓入3），標(biāo)示該行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即標(biāo)示元素C3和標(biāo)示元素C6，下圖中的橙色部分。
把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示
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6、獲取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直雙向鏈中沒有其他元素，也就是沒有元素覆蓋列C5。說明當(dāng)前求解失敗。要回溯到之前的分叉選擇步驟（步驟2）。那要回標(biāo)列首元素（把列首元素、所在列的元素，以及對(duì)應(yīng)行其余的元素。并恢復(fù)這些元素到雙向鏈中），回標(biāo)列首元素的順序是標(biāo)示元素的順序的反過來。從前文可知，順序是回標(biāo)列首C6、回標(biāo)列首C3、回標(biāo)列首C2、回標(biāo)列首C7、回標(biāo)列首C4。表面上看起來比較復(fù)雜，實(shí)際上利用遞歸，是一件很簡單的事。并把答案棧恢復(fù)到步驟2（清空的狀態(tài)）的時(shí)候。又回到下圖所示
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7、由于之前選擇行2導(dǎo)致無解，因此這次選擇行4（再無解就整個(gè)問題就無解了）。選擇行4（在答案棧中壓入4），標(biāo)示該行中的其他元素（元素11）所在的列首元素，即標(biāo)示元素C4，下圖中的橙色部分。
把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示
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8、獲取Head.Right元素，即元素C2，并標(biāo)示元素C2。如下圖中的紫色部分。
如圖，行3和行5都可以選擇
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9、選擇行3（在答案棧中壓入3），標(biāo)示該行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即標(biāo)示元素C3和標(biāo)示元素C6，下圖中的橙色部分。
把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示
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14、因?yàn)镠ead.Right=Head。故，整個(gè)過程求解結(jié)束。輸出答案，答案棧中的答案分別是4、5、1。表示該問題的解是第4、5、1行覆蓋所有的列。如下圖所示（藍(lán)色的部分）
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從以上的14步來看，可以把Dancing Links的求解過程表述如下
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1、Dancing函數(shù)的入口
2、判斷Head.Right=Head？，若是，輸出答案，返回True，退出函數(shù)。
3、獲得Head.Right的元素C
4、標(biāo)示元素C
5、獲得元素C所在列的一個(gè)元素
6、標(biāo)示該元素同行的其余元素所在的列首元素
7、獲得一個(gè)簡化的問題，遞歸調(diào)用Daning函數(shù)，若返回的True，則返回True，退出函數(shù)。
8、若返回的是False，則回標(biāo)該元素同行的其余元素所在的列首元素，回標(biāo)的順序和之前標(biāo)示的順序相反
9、獲得元素C所在列的下一個(gè)元素，若有，跳轉(zhuǎn)到步驟6
10、若沒有，回標(biāo)元素C，返回False，退出函數(shù)。
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之前的文章的表述，為了表述簡單，采用面向?qū)ο蟮乃悸?#xff0c;說每個(gè)元素有6個(gè)分量，分別是Left、Right、Up、Down、Col、Row分量。
但在實(shí)際的編碼中，用數(shù)組也能實(shí)現(xiàn)相同的作用。例如：用Left（）表示所有元素的Left分量，Left（1）表示元素1的Left分量
在前文中，元素分為Head元素、列首元素（C1、C2等）、普通元素。在編碼中，三種元素統(tǒng)一成一種元素。如上題，0表示Head元素，1表示元素C1、2表示元素C2、……、7表示元素C7，從8開始表示普通元素。這是統(tǒng)一后，編碼的簡便性。利用數(shù)組的下標(biāo)來表示元素，宛若指針一般。
第二篇：
本文介紹該算法的實(shí)際運(yùn)用，利用舞蹈鏈（Dancing Links）算法求解數(shù)獨(dú)
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在前文中可知，舞蹈鏈（Dancing Links）算法在求解精確覆蓋問題時(shí)效率驚人。
那利用舞蹈鏈（Dancing Links）算法求解數(shù)獨(dú)問題，實(shí)際上就是下面一個(gè)流程
1、把數(shù)獨(dú)問題轉(zhuǎn)換為精確覆蓋問題
2、設(shè)計(jì)出數(shù)據(jù)矩陣
3、用舞蹈鏈（Dancing Links）算法求解該精確覆蓋問題
4、把該精確覆蓋問題的解轉(zhuǎn)換為數(shù)獨(dú)的解
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首先看看數(shù)獨(dú)問題（9*9的方格）的規(guī)則
1、每個(gè)格子只能填一個(gè)數(shù)字
2、每行每個(gè)數(shù)字只能填一遍
3、每列每個(gè)數(shù)字只能填一遍
4、每宮每個(gè)數(shù)字只能填一遍（宮的概念，參看“算法實(shí)踐——數(shù)獨(dú)的基本解法”）
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那現(xiàn)在就是利用這個(gè)規(guī)則把數(shù)獨(dú)問題轉(zhuǎn)換為精確覆蓋問題
可是，直觀上面的規(guī)則，發(fā)現(xiàn)比較難以轉(zhuǎn)換為精確覆蓋問題。因此，把上面的表述換個(gè)說法
1、每個(gè)格子只能填一個(gè)數(shù)字
2、每行1-9的這9個(gè)數(shù)字都得填一遍（也就意味著每個(gè)數(shù)字只能填一遍）
3、每列1-9的這9個(gè)數(shù)字都得填一遍
4、每宮1-9的這9個(gè)數(shù)字都得填一遍
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這樣理解的話，數(shù)獨(dú)問題轉(zhuǎn)換為精確覆蓋問題就相對(duì)簡單多了。關(guān)鍵就是如何構(gòu)造精確覆蓋問題中的矩陣
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我們把矩陣的每個(gè)列都定義成一個(gè)約束條件。
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第1列定義成：（1，1）填了一個(gè)數(shù)字
第2列定義成：（1，2）填了一個(gè)數(shù)字
……
第9列定義成：（1，9）填了一個(gè)數(shù)字
第10列定義成：（2，1）填了一個(gè)數(shù)字
……
第18列定義成：（2，9）填了一個(gè)數(shù)字
……
第81列定義成：（9，9）填了一個(gè)數(shù)字
至此，用第1-81列完成了約束條件1：每個(gè)格子只能填一個(gè)數(shù)字
第N列（1≤N≤81）定義成：（X，Y）填了一個(gè)數(shù)字。
N、X、Y之間的關(guān)系是：X=INT（（N-1）/9）+1；Y=（（N-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y
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第82列定義成：在第1行填了數(shù)字1
第83列定義成：在第1行填了數(shù)字2
……
第90列定義成：在第1行填了數(shù)字9
第91列定義成：在第2行填了數(shù)字1
……
第99列定義成：在第2行填了數(shù)字9
……
第162列定義成：在第9行填了數(shù)字9
至此，用第82-162列（共81列）完成了約束條件2：每行1-9的這9個(gè)數(shù)字都得填一遍
第N列（82≤N≤162）定義成：在第X行填了數(shù)字Y。
N、X、Y之間的關(guān)系是：X=INT（（N-81-1）/9）+1；Y=（（N-81-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+81
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第163列定義成：在第1列填了數(shù)字1
第164列定義成：在第1列填了數(shù)字2
……
第171列定義成：在第1列填了數(shù)字9
第172列定義成：在第2列填了數(shù)字1
……
第180列定義成：在第2列填了數(shù)字9
……
第243列定義成：在第9列填了數(shù)字9
至此，用第163-243列（共81列）完成了約束條件3：每列1-9的這9個(gè)數(shù)字都得填一遍
第N列（163≤N≤243）定義成：在第X列填了數(shù)字Y。
N、X、Y之間的關(guān)系是：X=INT（（N-162-1）/9）+1；Y=（（N-162-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+162
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第244列定義成：在第1宮填了數(shù)字1
第245列定義成：在第1宮填了數(shù)字2
……
第252列定義成：在第1宮填了數(shù)字9
第253列定義成：在第2宮填了數(shù)字1
……
第261列定義成：在第2宮填了數(shù)字9
……
第324列定義成：在第9宮填了數(shù)字9
至此，用第244-324列（共81列）完成了約束條件4：每宮1-9的這9個(gè)數(shù)字都得填一遍
第N列（244≤N≤324）定義成：在第X宮填了數(shù)字Y。
N、X、Y之間的關(guān)系是：X=INT（（N-243-1）/9）+1；Y=（（N-243-1） Mod 9）+1；N=（X-1）×9+Y+243
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至此，用了324列完成了數(shù)獨(dú)的四個(gè)約束條件，矩陣的列定義完成
那接下來，就是把數(shù)獨(dú)轉(zhuǎn)換為矩陣
數(shù)獨(dú)問題中，每個(gè)格子分兩種情況。有數(shù)字的格子、沒數(shù)字的格子。
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有數(shù)字的格子
以例子來說明，在（4，2）中填的是7
把（4，2）中填的是7，解釋成4個(gè)約束條件
1、在（4，2）中填了一個(gè)數(shù)字。
2、在第4行填了數(shù)字7
3、在第2列填了數(shù)字7
4、在第4宮填了數(shù)字7（坐標(biāo)（X，Y）到宮N的公式為：N=INT（（X-1）/3）×3+INT（（Y-1）/3）+1）
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那么這4個(gè)條件，分別轉(zhuǎn)換成矩陣對(duì)應(yīng)的列為
1、在（4，2）中填了一個(gè)數(shù)字。對(duì)應(yīng)的列N=（4-1）×9+2=29
2、在第4行填了數(shù)字7。對(duì)應(yīng)的列N=（4-1）×9+7+81=115
3、在第2列填了數(shù)字7。對(duì)應(yīng)的列N=（2-1）×9+7+162=178
4、在第4宮填了數(shù)字7。對(duì)應(yīng)的列N=（4-1）×9+7+243=277
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于是，（4，2）中填的是7，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第29、115、178、277列是1，其余列是0。把這1行插入到矩陣中去。
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沒數(shù)字的格子
還是舉例說明，在（5，8）中沒有數(shù)字
把（5，8）中沒有數(shù)字轉(zhuǎn)換成
（5，8）中填的是1，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、118、226、289列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是2，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、119、227、290列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是3，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、120、228、291列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是4，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、121、229、292列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是5，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、122、230、293列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是6，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、123、231、294列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是7，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、124、232、295列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是8，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、125、233、296列是1，其余列是0。
（5，8）中填的是9，轉(zhuǎn)成矩陣的一行就是，第44、126、234、297列是1，其余列是0。
把這9行插入到矩陣中。由于這9行的第44列都是1（不會(huì)有其他行的44列會(huì)是1），也就是說這9行中必只有1行（有且只有1行）選中（精確覆蓋問題的定義，每列只能有1個(gè)1），是最后解的一部分。這就保證了最后解在（5，8）中只有1個(gè)數(shù)字。
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這樣，從數(shù)獨(dú)的格子依次轉(zhuǎn)換成行（1行或者9行）插入到矩陣中。完成了數(shù)獨(dú)問題到精確覆蓋問題的轉(zhuǎn)換。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的Dancing Link讲解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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