? 理解出錯之處望不吝指正。

? 本文模型就是大名鼎鼎的CSK。

? 本文的貢獻：

??? （1）稠密采樣、循環移位；

??? （2）循環矩陣帶來的快速計算；

??? （3）計算了不同的核函數的封閉解。

.

• ? 稠密采樣、循環移位

???

? 如上圖所示，以往的方法中，采用的都是隨機采樣，作者說這會帶來很大的冗余，并且只使用到了bbox的局部特征。而作者提出的稠密采樣可以將整張圖片的特征都利用起來。

? 實際上，訓練樣本是通過循環移位產生的。首先，稠密采樣得到的樣本與循環移位產生的樣本很像，可以用循環移位來近似；其次，卷積（or互相關）運算在傅里葉域對應可以轉化為點乘，且循環矩陣經過傅里葉變換會對角化，這兩點都可以減小計算量。

?

• ? 循環矩陣帶來的快速計算

? 首先，我們要知道，對于tracking任務，可以形式化的描寫為下式：

???

? 這里的代表的是一個線性分類器.

? 作者使用的是RLS（Regularized Least Squares）損失：.

? 通過使用kernel trick，這里核函數使用表示。根據表示定理，我們可以得出：.

? 進一步，我們可以得出RLS with Kernels（KRLS）的封閉解：

???

? 這里為kernel martix，為單位矩陣。注意到這個公式中存在矩陣的求逆操作，這會帶來很大的計算量，作者接下來的目的就是簡化上式的計算量。

?

? 作者觀察到，一個向量通過循環移位可以得到一個循環矩陣：

???

? 若是將循環矩陣和矩陣相乘，即求，可以變換到傅里葉域進行快速計算：

???

? 同時作者在論文中提到，循環矩陣的和、點積、求逆都還是循環矩陣。接下來，就是將循環矩陣的性質應用到求解中。

?

? 對于一個給定的圖片，我們將其轉化為一個的向量，則采樣操作可以看為：

???

? 這里的矩陣是用來實現循環移位的置換矩陣。

? 接下來，作者證明了，若是一個unitarily invariant kernel，則由元素組成的kernel martix 是一個循環矩陣。這對于KRLS來說是滿足的（滿足的還有：高斯核函數、線性核函數、多項式核函數等）。則對于組成的向量，這里。參照的變換，可以得到的解：

???

? 至此，我們可以快速的計算出，訓練過程可以很快速的完成。

? 注意，我們通篇的目的實際上就是要求解，細心的朋友會問，那呢？論文中第四頁最下面有這樣一句話：“The bias term b is not important in practice, when finding the maximum response.”。

?

• ? 快速檢測過程

? 對于一個輸入圖像，response可以通過下式計算：

???

? 使用前文中提到的技巧，我們可以通過下式快速的得到response：

???

? 這里向量中的元素為.

? 到目前為止，基本上已經沒有矩陣運算了，不過為什么說基本上呢？因為還有一個地方需要矩陣運算，就是計算。接下來，作者對核矩陣的快速計算進行了推導，使上式中徹底沒有了矩陣運算，這里就不做介紹了。

?

• ? 本模型的缺點：

? （1）采用單通道的灰度特征，特征表達能力有限（KCF/DCF中解決）；

? （2）循環矩陣會導致邊界效應（SRDCF中解決）；

? （3）模型中沒有尺度更新，對尺度變換不敏感（DSST中解決）。

?

• ? 啥是邊界效應？

??? 訓練階段，目標中心移動到邊緣附近，此時應視為負樣本，在檢測階段，當目標移動到邊界附近，此時的目標和訓練時使用的負樣本是比較接近的，但是此時應當把此作為正樣本來檢測目標。實際算法會將其視為負樣本，所以經常會導致跟蹤失敗。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的ECCV 2012 CSK:《Exploiting the circulantstructure of tracking-by-detection with kernels》论文笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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