描述

給出兩個n*n的矩陣，m次詢問它們的積中給定子矩陣的數值和。
http://codevs.cn/problem/3147/

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分析

直接 n3 的矩陣乘法肯定超時, 要采用前綴和優化

row[s1] … row[t1]
col[s2] … col[t2]

(s1, s2) – (t1, t2)

row[x] * col[y] 表示用第 x 行的所有元素去乘第 y 行的所有元素.

==>

= row[s1] * col[s2] + row[s1] * col[s2+1] + … + row[s1] * col[t2] + row[s1+1] * col[s2] + … + row[s1+1] * col[t2] + … + row[t1] * col[t2]
// 分配律, 其實并沒有看上去那么顯然

= row[s1] * (col[s2] + col[s2+1] + … + col[t2]) + row[s1+1] * (col[s2] + col[s2+1] + … + col[t2]) + … + row[t1] * (col[s2] + col[s2+1] + … + col[t2])

= (row[s1] + row[s1+1] + … + row[t1]) * (col[s2] + col[s2+1] + … + col[t2])

==> 用前綴和處理
注意: row 其實相當于一個 1 行 n 列的矩陣, 而 col 相當于一個 n 行 1 列的矩陣. 上式中 row[s1] + … + row[t1] 表示把 t1-s1+1 個這樣的矩陣每個元素對應的加起來 (用前綴和優化) 得到一個新的 n 行 1 列的矩陣; col[s2] + … + col[t2] 采用同樣方法得到一個新的 1 行 n 列的矩陣. 兩個新矩陣再相乘就得到一個只有一個元素的矩陣了, 該元素就是最終答案.

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代碼

11809ms 49MB

#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std;const int maxn = 2000 + 10; typedef int Matrix[maxn][maxn]; typedef long long LL;Matrix A, B;int main() {int n, m;scanf("%d %d", &n, &m); for(int x = 1; x <= n; x++)for(int y = 1; y <= n; y++) {scanf("%d", &A[x][y]);A[x][y] += A[x-1][y];} // 前 x 行元素和for(int x = 1; x <= n; x++)for(int y = 1; y <= n; y++) {scanf("%d", &B[x][y]);B[x][y] += B[x][y-1];} // 前 y 列元素和for(int i = 0; i < m; i++) {int x1, y1, x2, y2;scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);if(x1 > x2) swap(x1, x2);if(y1 > y2) swap(y1, y2);LL ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)ans += (LL)(A[x2][i] - A[x1-1][i]) * (B[i][y2] - B[i][y1-1]);printf("%lld\n", ans);}return 0; }

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主頁

http://blog.csdn.net/qq_21110267

總結

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