统计工具箱简介
統(tǒng)計工具箱是matlab提供給人們的一個強有力的統(tǒng)計分析工具.包含200多個m文件(函數(shù)),主要支持以下各方面的內(nèi)容.
〉〉概率分布:提供了20種概率分布,包含離散和連續(xù)分布,且每種分布,提供了5個有用的函數(shù),即概率密度函數(shù),累積分布函數(shù),逆累積分布函數(shù),隨機產(chǎn)生器與方差計算函數(shù).
〉〉參數(shù)估計:依據(jù)特殊分布的原始數(shù)據(jù),可以計算分布參數(shù)的估計值及其置信區(qū)間.
〉〉描述性統(tǒng)計:提供描述數(shù)據(jù)樣本特征的函數(shù),包括位置和散布的度量,分位數(shù)估計值和數(shù)據(jù)處理缺失情況的函數(shù)等.
〉〉線性模型:針對線性模型,工具箱提供的函數(shù)涉及單因素方差分析,雙因素方差分析,多重線性回歸,逐步回歸,響應(yīng)曲面和嶺回歸等.
〉〉非線性模型:為非線性模型提供的函數(shù)涉及參數(shù)估計,多維非線性擬合的交互預(yù)測和可視化以及參數(shù)和預(yù)計值的置信區(qū)間計算等.
〉〉 假設(shè)檢驗: 此間提供最通用的假設(shè)檢驗函數(shù):t檢驗和z檢驗
〉〉其它的功能就不再介紹.
統(tǒng)計工具箱函數(shù)主要分為兩類:
〉數(shù)值計算函數(shù)(M文件)
〉交互式圖形函數(shù)(Gui)
matlab慣例:beta 線性模型中的參數(shù)，E(x) x的數(shù)學(xué)期望， f(x|a,b) 概率密度函數(shù)， F(x|a,b) 累積分布函數(shù) ，I([a,b]) 指示(Indicator)函數(shù)
p,q p事件發(fā)生的概率.
[size=2][color=blue]第1節(jié) 概率分布[/color][/size]
統(tǒng)計工具箱提供的常見分布
Uniform均勻，Weibull威布爾，Noncentral t，Rayleigh瑞利，Poisson泊松，Student's t，Normal正態(tài)，Negative Binomial，Noncentral F
Lognormal對數(shù)，正態(tài)，Hyper G，F分布，Gamma，Geometric幾何，Noncentral chi-square，Exponential指數(shù)，Binomial二項，Chi-square
Beta(分布)，discrete，Continuous，Continuous，離散分布，統(tǒng)計量連續(xù)分布，數(shù)據(jù)連續(xù)分布，概率密度函數(shù) pdf，probbability density function
〉〉功能:可選的通用概率密度函數(shù)
〉〉格式:Y=pdf('Name',X,A1,A1,A3)
'Name' 為特定的分布名稱,第一個字母必須大寫
X 為分布函數(shù)自變量取值矩陣
A1,A2,A3 分別為相應(yīng)分布的參數(shù)值
Y 存放結(jié)果,為概率密度值矩陣
算例:
>> y=pdf('Normal',-2:2,0,1)
y =
0.0540 0.2420 0.3989 0.2420 0.0540
>> Y=pdf('Normal',-2:0.5:2,1,4)
Y =
0.0753 0.0820 0.0880 0.0930 0.0967 0.0990 0.0997 0.0990 0.0967
>> p=pdf('Poisson',0:2:8,2)
p =
0.1353 0.2707 0.0902 0.0120 0.0009
>> p=pdf('F',1:2:10,4,7)
p =
0.4281 0.0636 0.0153 0.0052 0.0021
我們也可以利用這種計算功能和作圖功能,繪制一下密度函數(shù)曲線,例如,繪制不同的正態(tài)分布的密度曲線
>> x=[-6:0.05:6];
>> y1=pdf('Normal',x,0,0.5);
>> y2=pdf('Normal',x,0,1);
>> y3=pdf('Normal',x,0,2);
>> y4=pdf('Normal',x,0,4);
>>plot(x,y1,'K-',x,y2,'K--',x,y3,'*',x,y4,'+')
這個程序計算了mu=0,而sigma取不同值時的正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的形態(tài),可以看出,sigma越大,曲線越平坦.
累積分布函數(shù)及逆累積分布函數(shù) cdf icdf
〉〉功能:計算可選分布函數(shù)的累積分布和逆累積分布函數(shù)
〉〉格式:P=cdf('Name',X,A1,A2,A3)
X=icdf('Name',P,A1,A2,A3)
>> x=[-3:0.5:3];
>> p=cdf('Normal',x,0,1)
p =
0.0013 0.0062 0.0228 0.0668 0.1587 0.3085 0.5000 0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9938 0.9987
>> x=icdf('Normal',p,0,1)
x =
-3.0000 -2.5000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000
隨機數(shù)產(chǎn)生器 random
〉〉功能:產(chǎn)生可選分布的隨機數(shù)
〉〉格式:y=random('Name',A1,A2,A3,m,n)
A1,A2,A3 分布的參數(shù)
'Name' 分布的名稱
m,n 確定y的數(shù)量,如果參數(shù)是標(biāo)量,則y是m*n矩陣
例如 產(chǎn)生服從參數(shù)為(9,10)的F-分布的4個隨機數(shù)值
>> y=random('F',9,10,2,2)
y =
3.4907 1.6762
0.5702 1.1534
均值和方差 以'stat'結(jié)尾的函數(shù)
均值和方差的計算函數(shù)
[m,v]=normstat(mu,sigma)
正態(tài)分布
[mn,v]=hygestat(M,K,N)
超幾何分布
[m,v]=geostat(P)
幾何分布
[m,v]=gamstat(A,B)
Gamma分布
[m,v]=fstat(v1,v2)
F分布
[m,v]=expstat(mu)
指數(shù)分布
[m,v]=chi2stat(nu)
Chi-squrare分布
[m,v]=binostat(N,P)
二項分布
[m,v]=betastat(A,B)
Beta 分布
函數(shù)名稱及調(diào)用格式
分布類型名稱
[m,v]=weibstat(A,B)
威爾分布
[m,v]=unistat(A,B)
連續(xù)均勻分布
[m,v]=unidstat(N)
離散均勻分布
[m,v]=tstat(nu)
t分布
[m,v]=raylstat(B)
瑞利分布
[m,v]=poisstat(lambda)
泊松分布
[m,v]=ncx2stat(nu,delta)
非中心chi2分布
[m,v]=nctstat(nu,delta)
非中心t分布
[m,v]=ncfstat(nu1,nu2,delta)
非中心F分布
[m,v]=nbinstat(R,P)
負(fù)二項分布
[m,v]=lognstat(mu,sigma)
對數(shù)正態(tài)分布
[size=2][color=blue]第2節(jié) 參數(shù)估計[/color][/size]
參數(shù)估計是總體的分布形式已經(jīng)知道,且可以用有限個參數(shù)表示的估計問題.分為點估計(極大似燃估計Maximum likehood estimation, MLE)和區(qū)間估計.求取各種分布的最大似然估計估計量 mle
〉〉格式:phat=mle('dist',data)
[phat,pci]=mle('dist',data)
[phat,pci]=mle('dist',data,alpha)
[phat,pci]=mle('dist',data,alpha,p1)
〉〉'dist' 給定的特定分布的名稱,'beta','binomial'等.Data為數(shù)據(jù)樣本,矢量形式給出.Alpha用戶給定的置信度值,以給出100(1-alpha)%的置信區(qū)間,缺省為0.05.最后一種是僅供二項分布參數(shù)估計,p1為實驗次數(shù).
例1 計算beta 分布的兩個參數(shù)的似然估計和區(qū)間估計(alpha=0.1,0.05,0.001),樣本由隨機數(shù)產(chǎn)生.
>> random('beta',4,3,100,1);
>> [p,pci]=mle('beta',r,0.1)
p =
4.6613 3.5719
pci =
3.6721 2.7811
5.6504 4.3626
>> [p,pci]=mle('beta',r,0.05)
p =
4.6613 3.5719
pci =
3.4827 2.6296
5.8399 4.5141
>> [p,pci]=mle('beta',r,0.001)
p =
4.6613 3.5719
pci =
2.6825 1.9900
6.6401 5.1538
例 2 計算二項分布的參數(shù)估計與區(qū)間估計,alpha=0.01.
>> r=random('Binomial',10,0.2,10,1);
>> [p,pci]=mle('binomial',r,0.01,10)
p =
0.2000 0.2000 0.1000 0.4000 0.2000 0.2000 0.4000 0 0.1000 0.2000
pci =
0.0109 0.0109 0.0005 0.0768 0.0109 0.0109 0.0768 NaN 0.0005 0.0109
0.6482 0.6482 0.5443 0.8091 0.6482 0.6482 0.8091 0.4113 0.5443 0.6482
[size=2][color=blue]第3節(jié) 描述統(tǒng)計[/color][/size]
描述性統(tǒng)計包括:位置度量,散布度量,缺失數(shù)據(jù)下的統(tǒng)計處理,相關(guān)系數(shù),樣本分位數(shù),樣本峰度,樣本偏度,自助法等
〉〉位置度量:幾何均值(geomean),調(diào)和均值(harmmean),算術(shù)平均值(mean),中位數(shù)(median),修正的樣本均值(trimean).
〉〉散布度量:方差(var),內(nèi)四分位數(shù)間距(iqr),平均絕對偏差(mad),樣本極差(range),標(biāo)準(zhǔn)差(std),任意階中心矩(moment),協(xié)方差矩陣(cov).
〉〉缺失數(shù)據(jù)情況下的處理:忽視缺失數(shù)據(jù)的最大值(nanmax),忽視缺失數(shù)據(jù)的平均值(nanmean),忽視缺失數(shù)據(jù)的中位數(shù)(nanmedian),忽視缺失數(shù)據(jù)的最小值(nanmin),忽視缺失數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差(nanstd),忽視缺失數(shù)據(jù)的和(namsum).
〉〉相關(guān)系數(shù):corrcoef ,計算相關(guān)系數(shù)
〉〉樣本分位數(shù):prctile,計算樣本的經(jīng)驗分位數(shù)
〉〉樣本峰度:kurtosis,計算樣本峰度
〉〉樣本偏度:skewness,計算樣本偏度
〉〉自助法:bootstrp,對樣本從新采樣進行自助統(tǒng)計
中心趨勢(位置)度量
樣本中心趨勢度量的目的在于對數(shù)據(jù)樣本在分布線上分布的中心位置予以定為.均值是對中心位置簡單和通常的估計量.不幸的是,幾乎所有的實際數(shù)據(jù)都存在野值(輸入錯誤或其它小的技術(shù)問題造成的).樣本均值對這樣的值非常敏感.中位數(shù)和修正(剔除樣本高值和低值)后的均值則受野值干擾很小.而幾何均值和調(diào)和均值對野值也較敏感.下面逐個說明這些度量函數(shù).
〉〉geomean
功能:樣本的幾何均值
格式:m=geomean(X)
若X為向量,則返回X中元素的幾何均值;若X位矩陣,給出的結(jié)果為一個行向量,即每列幾何均值.
例 1 計算隨機數(shù)產(chǎn)生的樣本的幾何均值
>> X=random('F',10,10,100,1);
>> m=geomean(X)
m =
1.1007
>> X=random('F',10,10,100,5);
>> m=geomean(X)
m =
0.9661 1.0266 0.9703 1.0268 1.0333
〉〉harmmean
功能:樣本的調(diào)和均值
格式:m=harmmean(X)
例 2 計算隨機數(shù)的調(diào)和均值
>> X=random('Normal',0,1,50,5);
>> m=harmmean(X)
m =
-0.2963 -0.0389 -0.9343 5.2032 0.7122
〉〉mean
功能:樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值
格式:m=mean(x)
例 3 計算正態(tài)隨機數(shù)的算術(shù)平均數(shù)
>>X=random('Normal',0,1,300,5);
>> xbar=mean(X)
xbar =
0.0422 -0.0011 -0.0282 0.0616 -0.0080
〉〉median
功能:樣本數(shù)據(jù)的中值(中位數(shù)),是對中心位值的魯棒估計.
格式:m=median(X)
例 4 計算本的中值
>> X=random('Normal',0,1,5,3)
X =
0.0000 0.8956 0.5689
-0.3179 0.7310 -0.2556
1.0950 0.5779 -0.3775
-1.8740 0.0403 -0.2959
0.4282 0.6771 -1.4751
>> m=median(X)
m =
0.0000 0.6771 -0.2959
〉〉trimmean
功能:剔除極端數(shù)據(jù)的樣本均值.
格式:m=trimmean(X,percent)
說明:計算剔除觀測值中最高percent%和最低percent%的數(shù)據(jù)后的均值
例5 計算修改后的樣本均值
>> X=random('F',9,10,100,4);
>> m=trimmean(X,10)
m =
1.1470 1.1320 1.1614 1.0469
散布度量
散布度量是描述樣本中數(shù)據(jù)離其中心的程度,也稱離差.常用的有極差,標(biāo)準(zhǔn)差,平均絕對差,四分位數(shù)間距
〉〉iqr
功能:計算樣本的內(nèi)四分位數(shù)的間距,是樣本的魯棒估計
格式:y=iqr(X)
說明:計算樣本的75%和25%的分位數(shù)之差,不受野值影響.
例6 計算樣本的四分位間距
>> X=random('Normal',0,1,100,4);
>> m=iqr(X)
m =
1.3225 1.2730 1.3018 1.2322
〉〉mad
功能:樣本數(shù)據(jù)的平均絕對偏差
格式:y=mad(X)
說明:正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差sigma可以用mad乘以1.3估計
例7 計算樣本數(shù)據(jù)的絕對偏差
>> X=random('F',10,10,100,4);
>> y=mad(X)
y =
0.5717 0.5366 0.6642 0.7936
>> y1=var(X)
y1 =
0.6788 0.6875 0.7599 1.3240
>> y2=y*1.3
y2 =
0.8824 0.8938 0.9879 1.7212
〉〉range
功能:計算樣本極差
格式:y=range(X)
說明:極差對野值敏感
例 8 計算樣本值的極差
>> X=random('F',10,10,100,4);
>> y=range(X)
y =
10.8487 3.5941 4.2697 4.0814
〉〉var
功能:計算樣本方差
格式:y=var(X) y=var(X,1) y=var(X,w)
Var(X)經(jīng)過n-1進行了標(biāo)準(zhǔn)化,Var(X,1)經(jīng)過n進行了標(biāo)準(zhǔn)變化
例 9 計算各類方差
>> X=random('Normal',0,1,100,4);
>> y=var(X)
y =
0.9645 0.8209 0.9595 0.9295
>> y1=var(X,1)
y1 =
0.9548 0.8126 0.9499 0.9202
>> w=[1:1:100];
>> y2=var(X,w)
y2 =
0.9095 0.7529 0.9660 0.9142
〉〉std
功能:樣本的標(biāo)準(zhǔn)差
格式:y=std(X)
說明:經(jīng)過n-1標(biāo)準(zhǔn)化后的標(biāo)準(zhǔn)差
例 10計算隨機樣本的標(biāo)準(zhǔn)差
>> X=random('Normal',0,1,100,4);
>> y=std(X)
y =
0.8685 0.9447 0.9569 0.9977
〉〉cov
功能:協(xié)方差矩陣
格式:C=cov(X) C=cov(x,y) C=cov([x y])
說明:若X為向量,cov(X)返回一個方差標(biāo)量;若X為矩陣,則返回協(xié)方差矩陣;cov(x,y)與cov([x y])相同,x與y的長度相同.
例 11 計算協(xié)方差
>> x=random('Normal',2,4,100,1);
>> y=random('Normal',0,1,100,1);
>> C=cov(x,y)
C =
12.0688 -0.0583
-0.0583 0.8924
處理缺失數(shù)據(jù)的函數(shù)
在對大量數(shù)據(jù)樣本時,常常遇到一些無法確定的或者無法找到確切的值.在這種情況下,用符號"NaN"(not a number )標(biāo)注這樣的數(shù)據(jù).這種情況下,一般的函數(shù)得不到任何信息.
例如 m中包含nan數(shù)據(jù)
>> m=magic(3);
>> m([1 5 9])=[NaN NaN NaN];
>> sum(m)
ans =
NaN NaN NaN
但是通過缺失數(shù)據(jù)的處理,得到有用的信息.
>> nansum(m)
ans =
7 10 13
〉〉nanmax
功能:忽視NaN,求其它數(shù)據(jù)的最大值
格式:m=nanmax(X)
[m,ndx]=nanmax(X)
m=nanmax(a,b)
說明:nanmax(X)返回X中數(shù)據(jù)除nan外的其它的數(shù)據(jù)的最大值,[m,ndx]=nanmax(X)還返回X最大值的序號給ndx.m=nanmax(a,b)返回a或者b的最大值,a,b長度同
>> m=magic(3);
>> m([1 5 9])=[NaN NaN NaN];
>> [m,ndx]=nanmax(m)
m =
4 9 7
ndx =
3 3 2
處理缺失數(shù)據(jù)的常用函數(shù)
Y=nansum(X)
求包含確實數(shù)據(jù)的和
nansum
Y=nanstd(X)
求包含確實數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差
Nanstd
Y=nanmedian(X)
求包含確實數(shù)據(jù)中位數(shù)
Nanmedian
Y=nanmean(X)
求包含確實數(shù)據(jù)的平均值
Nanmean
同上
求包含確實數(shù)據(jù)的最小值
Nanmin
(略)
求包含確實數(shù)據(jù)的最大值
Nanmax
調(diào)用格式
功能
函數(shù)名稱
中心矩 moment
功能:任意階的中心矩
格式:m=moment(X,order)
說明:order為階,函數(shù)本身除以X的長度
例 12 計算樣本函數(shù)的中心矩
>> X=random('Poisson',2,100,4);
>> m=moment(X,1)
m =
0 0 0 0
>> m=moment(X,2)
m =
1.7604 2.0300 1.6336 2.3411
>> m=moment(X,3)
m =
1.3779 2.5500 2.3526 2.2964
百分位數(shù)及其圖形描述
白分位數(shù)圖形可以直觀觀測到樣本的大概中心位置和離散程度,可以對中心趨勢度量和散布度量作補充說明
〉〉prctile
功能:計算樣本的百分位數(shù)
格式:y=prctile(X,p)
說明:計算X中數(shù)據(jù)大于P%的值,P的取值區(qū)間為[0,100],如果X為向量,返回X中P百分位數(shù);X為矩陣,給出一個向量;如果P為向量,則y的第i個行對應(yīng)于X的p(i) 百分位數(shù).例如
>> x=(1:5)'*(1:5)
x =
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20
5 10 15 20 25
>> y=prctile(x,[25,50,75])
y =
1.7500 3.5000 5.2500 7.0000 8.7500
3.0000 6.0000 9.0000 12.0000 15.0000
4.2500 8.5000 12.7500 17.0000 21.2500
做出相應(yīng)的百分位數(shù)的圖形
>> boxplot(x)
5列分位數(shù)構(gòu)造5個盒圖,見下頁.
相關(guān)系數(shù) corrcoef
功能:相關(guān)系數(shù)
格式:R=corrcoef(X)
例13 合金的強度y與含碳量x的樣本如下,試計算r(x,y).
>> X=[41 42.5 45 45.5 45 47.5 49 51 50 55 57.5 59.5;
0.1,0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.22 0.24]';
>> R=corrcoef(X)
R =
1.0000 0.9897
0.9897 1.0000
樣本峰度 kurtosis
功能:樣本峰度
格式:k=kurtosis(X)
說明:峰度為單峰分布區(qū)線"峰的平坦程度"的度量,其定義為
Matlab 工具箱中峰度不采用一般定義(k-3,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰度為0).而是定義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布峰度為3,曲線比正態(tài)分布平坦,峰度大于3,反之,小于3.
例14 計算隨機樣本的峰度
>> X=random('F',10,20,100,4);
>> k=kurtosis(X)
k =
6.5661 5.5851
6.0349 7.0129
樣本偏度 skewness
功能:樣本偏度
格式:y=skewness(X)
說明:偏度是度量樣本圍繞其均值的對稱情況.如果偏度為負(fù),則數(shù)據(jù)分布偏向左邊,反之,偏向右邊.其定義為
>> X=random('F',9,10,100,4);
>> y=skewness(X)
y =
1.0934 1.5513 2.0522 2.9240
自助法 bootstrap
引例:一組來自15個法律學(xué)校的學(xué)生的lsat分?jǐn)?shù) 和gpa進行比較的樣本.
> load lawdata
>> x=[lsat gpa]
x =
576.0000 3.3900
635.0000 3.3000
558.0000 2.8100
578.0000 3.0300
666.0000 3.4400
580.0000 3.0700
555.0000 3.0000
661.0000 3.4300
651.0000 3.3600
605.0000 3.1300
653.0000 3.1200
575.0000 2.7400
545.0000 2.7600
572.0000 2.8800
594.0000 2.9600
繪圖,并進行曲線擬合
>> plot(lsat,gpa,'+')
>> lsline
通過上圖的擬合可以看出,lsat隨著gpa增長而提高,但是我們確信此結(jié)論的程度是多少 曲線只給出了直觀表現(xiàn),沒有量的表示.計算相關(guān)系數(shù)
>> y=corrcoef(lsat,gpa)
y =
1.0000 0.7764
0.7764 1.0000
相關(guān)系數(shù)是0.7764,但是由于樣本容量n=15比較小,我們?nèi)匀徊荒艽_定在統(tǒng)計上相關(guān)的顯著性多大.應(yīng)此,必須采用bootstrp函數(shù)對lsat和gpa樣本來從新采樣,并考察相關(guān)系數(shù)的變化.
>> y1000=bootstrp(1000,'corrcoef',lsat,gpa);
>> hist(y1000(:,2),30)
繪制lsat,gpa和相關(guān)系數(shù)得直方圖如下
結(jié)果顯示,相關(guān)系數(shù)絕大多數(shù)在區(qū)間[0.4,1]內(nèi),表明lsat分?jǐn)?shù)和gpa具有確定的相關(guān)性,這樣的分析,不需要對象關(guān)系數(shù)的概率分布做出很強的假設(shè).
[size=2][color=blue]第4節(jié) 假設(shè)檢驗[/color][/size]
基本概念
H0:零假設(shè),即初始判斷.
H1:備擇假設(shè),也稱對立假設(shè).
Alpha :顯著水平,在小樣本的前提下,不能肯定自己的結(jié)論,所以事先約定,如果觀測到的符合零假設(shè)的樣本值的概率小于alpha,則拒絕零假設(shè).典型的顯著水平取alpha=0.05.如果想減少犯錯誤的可能,可取更小的值.
P-值:在零假設(shè)為真的條件下,觀測給定樣本結(jié)果的概率值.如果Pmu tail=-1——x>x =[119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118];
>> h=ztest(x,115,4)
h =
0
表明,接受H0,認(rèn)為該種汽油的平均價格為115美分.
>> [h,sig,ci]=ztest(x,115,4,0.01,0)
h = 0
sig =
0.8668
ci =
112.8461 117.4539
>> [h,sig,ci]=ztest(x,115,4,0.01,1)
h =0
sig =
0.4334
ci =
113.0693 Inf
>> [h,sig,ci]=ztest(x,115,4,0.01,-1)
h=0
sig =
0.5666
ci =
-Inf 117.2307
Ttest
功能:單一樣本均值的t檢驗
格式:h=ttest(x,m)
h=ttest(x,m,alpha)
[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)
說明:用于正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時對均值的t檢驗.Tail功能與ztest作用一致.
>> x=random('Normal',0,1,100,1);
>> [h,sig,ci]=ttest(x,0,0.01,-1)
h =
0
sig =
0.0648
ci =
-Inf 0.0808
>> [h,sig,ci]=ttest(x,0,0.001,1)
h =
0
sig =
0.9352
ci =
-0.4542 Inf
Signtest
功能:成對樣本的符號檢驗
格式:p=signtest(x,y,alpha)
[p,h]=signtest(x,y,alpha)
說明:p給出兩個配對樣本x和y的中位數(shù)(對于正態(tài)分布,中位數(shù),就是平均值.相等的顯著性概率.X與y的長度相等.Y也可以為標(biāo)量,計算x的中位數(shù)與常數(shù)y之間差異的概率.[p,h]返回結(jié)果h.如果這樣兩個樣本的中位數(shù)之間差幾乎為0,則h=0,否則有顯著差異,則h=1.
>> x=[0 1 0 1 1 1 1 0 1 0];
>> y=[1 1 0 0 0 0 1 1 0 0];
>> [p,h]=signtest(x,y,0.05)
p =
0.6875
h =
0
Signrank
功能:威爾科克符號秩檢驗
格式:p=signrank(x,y,alpha)
[p,h]=signrank(x,y,alpha)
說明:p給出兩個配對樣本x和y的中位數(shù)(對于正態(tài)分布,中位數(shù)和均值等)相等的假設(shè)的顯著性的概率.X與y的長度相同.[p,h]返回假設(shè)檢驗的結(jié)果,如果兩個樣本的中位數(shù)之差極護衛(wèi)零,則h=0;否則,有顯著差異,則h=1.
>> x=random('Normal',0,1,200,1);
>> y=random('Normal',0.1,2,200,1);
>> [p,h]=signrank(x,y,0.05)
p =
0.9757
h =
0
Ranksum
功能:兩個總體一致性的威爾科克秩和的檢驗
格式:p=ranksum(x,y,alpha)
[p,h]=ranksum(x,y,alpha)
說明:p返回兩個總體樣本x和y一致的顯著性概率.X和y的長度可以不同.但長度長的排在前面.[p,h]返回檢驗結(jié)果,如果總體x和y并非明顯不一致,返回h=0,否則,h=1.
>> x=random('Normal',0,2,20,1);
>> y=random('Normal',0.1,4,10,1);
>> [p,h]=ranksum(x,y,0.05)
p =
0.7918
h =
0
[size=2][color=blue]第5節(jié) 統(tǒng)計繪圖[/color][/size]
統(tǒng)計繪圖就是用圖形表達函數(shù),以便直觀地,充分的表現(xiàn)樣本及其統(tǒng)計量的內(nèi)在本質(zhì)性.
Box圖
功能:數(shù)據(jù)樣本的box圖
格式:boxplot(X) boxplot(X,notch) boxplot(X,notch,'sym')
boxplot(X,notch,'sym,vert) boxplot(X,notch,'sym',vert,whis)
說明1:"盒子"的上底和下底間為四分位間距,"盒子"的上下兩條線分別表示樣本的25%和75%分位數(shù)."盒子"中間線為樣本中位數(shù).如果盒子中間線不在盒子中間,表示樣本存在一定的篇度.
虛線貫穿"盒子"上下,表示樣本的其余部分(除非有野值).樣本最大值為虛線頂端,樣本最小值為虛線底端.用"+"表示野值.
"切口"是樣本的置信區(qū)間,卻省時,沒有切口
說明2:notch=0,盒子沒有切口,notch=1,盒子有切口;'sym'為野值標(biāo)記符號,缺省時,"+"表示.Vert=0時候,box圖水平放置,vert=1時,box圖垂直放置.Whis定義虛線長度為內(nèi)四分位間距(IQR)的函數(shù)(缺省時為1.5*IQR),若whis=0,box圖用'sym'規(guī)定的記號顯示盒子外所有數(shù)據(jù).
>> x1=random('Normal',2,1,100,1);
>> x2=random('Normal',1,2,100,1);
>> x=[x1 x2];
>> boxplot(x,1,'*',1,0)
繪圖結(jié)果見下頁
Errorbar 誤差條圖
功能:誤差條圖
格式:errorbar(X,Y,L,U,symbol)
errorbar(X,Y,L)
errorbar(Y,L)
說明:誤差條是距離點(X,Y)上面的長度為U(i) ,下面的長度為L(i) 的直線.X,Y,L,U的長度必須相同.Symbol為一字符 串,可以規(guī)定線條類型,顏色等.
>> U=ones(20,1);
>> L=ones(20,1);
>> errorbar(r1,r2,L,U,'+')
>> r1=random('Poisson',2,10,1);
>>r2=random('Poisson',10,10,1);
>> U=ones(10,1);
>> L=U;
>> errorbar(r1,r2,L,U,'+')
Lsline 繪制最小二乘擬合線
功能:繪制數(shù)據(jù)的最小二乘擬合曲線
格式:lsline
h=lsline
說明:lsline為當(dāng)前坐標(biāo)系中的每一個線性數(shù)據(jù)給出其最小二乘擬合線.
>> y=[2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]';
>> plot(y,'+')
>> lsline
Refcurve 參考多項式
功能:在當(dāng)前圖形中給出多項式擬合曲線
格式:h=refcurve(p)
說明:在當(dāng)前圖形中給出多項式p(系數(shù)向量)的曲線,n階多項式為
y=p1*x^n+p2*x^(n-1)+…+pn*x+p0
則p=[p1 p2 … pn p0]
>> h=[85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356];
>> plot(h,'+')
>> refcurve([-4.9,100,0]) 與50位技術(shù)專家面對面20年技術(shù)見證，附贈技術(shù)全景圖
〉〉概率分布:提供了20種概率分布,包含離散和連續(xù)分布,且每種分布,提供了5個有用的函數(shù),即概率密度函數(shù),累積分布函數(shù),逆累積分布函數(shù),隨機產(chǎn)生器與方差計算函數(shù).
〉〉參數(shù)估計:依據(jù)特殊分布的原始數(shù)據(jù),可以計算分布參數(shù)的估計值及其置信區(qū)間.
〉〉描述性統(tǒng)計:提供描述數(shù)據(jù)樣本特征的函數(shù),包括位置和散布的度量,分位數(shù)估計值和數(shù)據(jù)處理缺失情況的函數(shù)等.
〉〉線性模型:針對線性模型,工具箱提供的函數(shù)涉及單因素方差分析,雙因素方差分析,多重線性回歸,逐步回歸,響應(yīng)曲面和嶺回歸等.
〉〉非線性模型:為非線性模型提供的函數(shù)涉及參數(shù)估計,多維非線性擬合的交互預(yù)測和可視化以及參數(shù)和預(yù)計值的置信區(qū)間計算等.
〉〉 假設(shè)檢驗: 此間提供最通用的假設(shè)檢驗函數(shù):t檢驗和z檢驗
〉〉其它的功能就不再介紹.
統(tǒng)計工具箱函數(shù)主要分為兩類:
〉數(shù)值計算函數(shù)(M文件)
〉交互式圖形函數(shù)(Gui)
matlab慣例:beta 線性模型中的參數(shù)，E(x) x的數(shù)學(xué)期望， f(x|a,b) 概率密度函數(shù)， F(x|a,b) 累積分布函數(shù) ，I([a,b]) 指示(Indicator)函數(shù)
p,q p事件發(fā)生的概率.
[size=2][color=blue]第1節(jié) 概率分布[/color][/size]
統(tǒng)計工具箱提供的常見分布
Uniform均勻，Weibull威布爾，Noncentral t，Rayleigh瑞利，Poisson泊松，Student's t，Normal正態(tài)，Negative Binomial，Noncentral F
Lognormal對數(shù)，正態(tài)，Hyper G，F分布，Gamma，Geometric幾何，Noncentral chi-square，Exponential指數(shù)，Binomial二項，Chi-square
Beta(分布)，discrete，Continuous，Continuous，離散分布，統(tǒng)計量連續(xù)分布，數(shù)據(jù)連續(xù)分布，概率密度函數(shù) pdf，probbability density function
〉〉功能:可選的通用概率密度函數(shù)
〉〉格式:Y=pdf('Name',X,A1,A1,A3)
'Name' 為特定的分布名稱,第一個字母必須大寫
X 為分布函數(shù)自變量取值矩陣
A1,A2,A3 分別為相應(yīng)分布的參數(shù)值
Y 存放結(jié)果,為概率密度值矩陣
算例:
>> y=pdf('Normal',-2:2,0,1)
y =
0.0540 0.2420 0.3989 0.2420 0.0540
>> Y=pdf('Normal',-2:0.5:2,1,4)
Y =
0.0753 0.0820 0.0880 0.0930 0.0967 0.0990 0.0997 0.0990 0.0967
>> p=pdf('Poisson',0:2:8,2)
p =
0.1353 0.2707 0.0902 0.0120 0.0009
>> p=pdf('F',1:2:10,4,7)
p =
0.4281 0.0636 0.0153 0.0052 0.0021
我們也可以利用這種計算功能和作圖功能,繪制一下密度函數(shù)曲線,例如,繪制不同的正態(tài)分布的密度曲線
>> x=[-6:0.05:6];
>> y1=pdf('Normal',x,0,0.5);
>> y2=pdf('Normal',x,0,1);
>> y3=pdf('Normal',x,0,2);
>> y4=pdf('Normal',x,0,4);
>>plot(x,y1,'K-',x,y2,'K--',x,y3,'*',x,y4,'+')
這個程序計算了mu=0,而sigma取不同值時的正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的形態(tài),可以看出,sigma越大,曲線越平坦.
累積分布函數(shù)及逆累積分布函數(shù) cdf icdf
〉〉功能:計算可選分布函數(shù)的累積分布和逆累積分布函數(shù)
〉〉格式:P=cdf('Name',X,A1,A2,A3)
X=icdf('Name',P,A1,A2,A3)
>> x=[-3:0.5:3];
>> p=cdf('Normal',x,0,1)
p =
0.0013 0.0062 0.0228 0.0668 0.1587 0.3085 0.5000 0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9938 0.9987
>> x=icdf('Normal',p,0,1)
x =
-3.0000 -2.5000 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000
隨機數(shù)產(chǎn)生器 random
〉〉功能:產(chǎn)生可選分布的隨機數(shù)
〉〉格式:y=random('Name',A1,A2,A3,m,n)
A1,A2,A3 分布的參數(shù)
'Name' 分布的名稱
m,n 確定y的數(shù)量,如果參數(shù)是標(biāo)量,則y是m*n矩陣
例如 產(chǎn)生服從參數(shù)為(9,10)的F-分布的4個隨機數(shù)值
>> y=random('F',9,10,2,2)
y =
3.4907 1.6762
0.5702 1.1534
均值和方差 以'stat'結(jié)尾的函數(shù)
均值和方差的計算函數(shù)
[m,v]=normstat(mu,sigma)
正態(tài)分布
[mn,v]=hygestat(M,K,N)
超幾何分布
[m,v]=geostat(P)
幾何分布
[m,v]=gamstat(A,B)
Gamma分布
[m,v]=fstat(v1,v2)
F分布
[m,v]=expstat(mu)
指數(shù)分布
[m,v]=chi2stat(nu)
Chi-squrare分布
[m,v]=binostat(N,P)
二項分布
[m,v]=betastat(A,B)
Beta 分布
函數(shù)名稱及調(diào)用格式
分布類型名稱
[m,v]=weibstat(A,B)
威爾分布
[m,v]=unistat(A,B)
連續(xù)均勻分布
[m,v]=unidstat(N)
離散均勻分布
[m,v]=tstat(nu)
t分布
[m,v]=raylstat(B)
瑞利分布
[m,v]=poisstat(lambda)
泊松分布
[m,v]=ncx2stat(nu,delta)
非中心chi2分布
[m,v]=nctstat(nu,delta)
非中心t分布
[m,v]=ncfstat(nu1,nu2,delta)
非中心F分布
[m,v]=nbinstat(R,P)
負(fù)二項分布
[m,v]=lognstat(mu,sigma)
對數(shù)正態(tài)分布
[size=2][color=blue]第2節(jié) 參數(shù)估計[/color][/size]
參數(shù)估計是總體的分布形式已經(jīng)知道,且可以用有限個參數(shù)表示的估計問題.分為點估計(極大似燃估計Maximum likehood estimation, MLE)和區(qū)間估計.求取各種分布的最大似然估計估計量 mle
〉〉格式:phat=mle('dist',data)
[phat,pci]=mle('dist',data)
[phat,pci]=mle('dist',data,alpha)
[phat,pci]=mle('dist',data,alpha,p1)
〉〉'dist' 給定的特定分布的名稱,'beta','binomial'等.Data為數(shù)據(jù)樣本,矢量形式給出.Alpha用戶給定的置信度值,以給出100(1-alpha)%的置信區(qū)間,缺省為0.05.最后一種是僅供二項分布參數(shù)估計,p1為實驗次數(shù).
例1 計算beta 分布的兩個參數(shù)的似然估計和區(qū)間估計(alpha=0.1,0.05,0.001),樣本由隨機數(shù)產(chǎn)生.
>> random('beta',4,3,100,1);
>> [p,pci]=mle('beta',r,0.1)
p =
4.6613 3.5719
pci =
3.6721 2.7811
5.6504 4.3626
>> [p,pci]=mle('beta',r,0.05)
p =
4.6613 3.5719
pci =
3.4827 2.6296
5.8399 4.5141
>> [p,pci]=mle('beta',r,0.001)
p =
4.6613 3.5719
pci =
2.6825 1.9900
6.6401 5.1538
例 2 計算二項分布的參數(shù)估計與區(qū)間估計,alpha=0.01.
>> r=random('Binomial',10,0.2,10,1);
>> [p,pci]=mle('binomial',r,0.01,10)
p =
0.2000 0.2000 0.1000 0.4000 0.2000 0.2000 0.4000 0 0.1000 0.2000
pci =
0.0109 0.0109 0.0005 0.0768 0.0109 0.0109 0.0768 NaN 0.0005 0.0109
0.6482 0.6482 0.5443 0.8091 0.6482 0.6482 0.8091 0.4113 0.5443 0.6482
[size=2][color=blue]第3節(jié) 描述統(tǒng)計[/color][/size]
描述性統(tǒng)計包括:位置度量,散布度量,缺失數(shù)據(jù)下的統(tǒng)計處理,相關(guān)系數(shù),樣本分位數(shù),樣本峰度,樣本偏度,自助法等
〉〉位置度量:幾何均值(geomean),調(diào)和均值(harmmean),算術(shù)平均值(mean),中位數(shù)(median),修正的樣本均值(trimean).
〉〉散布度量:方差(var),內(nèi)四分位數(shù)間距(iqr),平均絕對偏差(mad),樣本極差(range),標(biāo)準(zhǔn)差(std),任意階中心矩(moment),協(xié)方差矩陣(cov).
〉〉缺失數(shù)據(jù)情況下的處理:忽視缺失數(shù)據(jù)的最大值(nanmax),忽視缺失數(shù)據(jù)的平均值(nanmean),忽視缺失數(shù)據(jù)的中位數(shù)(nanmedian),忽視缺失數(shù)據(jù)的最小值(nanmin),忽視缺失數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差(nanstd),忽視缺失數(shù)據(jù)的和(namsum).
〉〉相關(guān)系數(shù):corrcoef ,計算相關(guān)系數(shù)
〉〉樣本分位數(shù):prctile,計算樣本的經(jīng)驗分位數(shù)
〉〉樣本峰度:kurtosis,計算樣本峰度
〉〉樣本偏度:skewness,計算樣本偏度
〉〉自助法:bootstrp,對樣本從新采樣進行自助統(tǒng)計
中心趨勢(位置)度量
樣本中心趨勢度量的目的在于對數(shù)據(jù)樣本在分布線上分布的中心位置予以定為.均值是對中心位置簡單和通常的估計量.不幸的是,幾乎所有的實際數(shù)據(jù)都存在野值(輸入錯誤或其它小的技術(shù)問題造成的).樣本均值對這樣的值非常敏感.中位數(shù)和修正(剔除樣本高值和低值)后的均值則受野值干擾很小.而幾何均值和調(diào)和均值對野值也較敏感.下面逐個說明這些度量函數(shù).
〉〉geomean
功能:樣本的幾何均值
格式:m=geomean(X)
若X為向量,則返回X中元素的幾何均值;若X位矩陣,給出的結(jié)果為一個行向量,即每列幾何均值.
例 1 計算隨機數(shù)產(chǎn)生的樣本的幾何均值
>> X=random('F',10,10,100,1);
>> m=geomean(X)
m =
1.1007
>> X=random('F',10,10,100,5);
>> m=geomean(X)
m =
0.9661 1.0266 0.9703 1.0268 1.0333
〉〉harmmean
功能:樣本的調(diào)和均值
格式:m=harmmean(X)
例 2 計算隨機數(shù)的調(diào)和均值
>> X=random('Normal',0,1,50,5);
>> m=harmmean(X)
m =
-0.2963 -0.0389 -0.9343 5.2032 0.7122
〉〉mean
功能:樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值
格式:m=mean(x)
例 3 計算正態(tài)隨機數(shù)的算術(shù)平均數(shù)
>>X=random('Normal',0,1,300,5);
>> xbar=mean(X)
xbar =
0.0422 -0.0011 -0.0282 0.0616 -0.0080
〉〉median
功能:樣本數(shù)據(jù)的中值(中位數(shù)),是對中心位值的魯棒估計.
格式:m=median(X)
例 4 計算本的中值
>> X=random('Normal',0,1,5,3)
X =
0.0000 0.8956 0.5689
-0.3179 0.7310 -0.2556
1.0950 0.5779 -0.3775
-1.8740 0.0403 -0.2959
0.4282 0.6771 -1.4751
>> m=median(X)
m =
0.0000 0.6771 -0.2959
〉〉trimmean
功能:剔除極端數(shù)據(jù)的樣本均值.
格式:m=trimmean(X,percent)
說明:計算剔除觀測值中最高percent%和最低percent%的數(shù)據(jù)后的均值
例5 計算修改后的樣本均值
>> X=random('F',9,10,100,4);
>> m=trimmean(X,10)
m =
1.1470 1.1320 1.1614 1.0469
散布度量
散布度量是描述樣本中數(shù)據(jù)離其中心的程度,也稱離差.常用的有極差,標(biāo)準(zhǔn)差,平均絕對差,四分位數(shù)間距
〉〉iqr
功能:計算樣本的內(nèi)四分位數(shù)的間距,是樣本的魯棒估計
格式:y=iqr(X)
說明:計算樣本的75%和25%的分位數(shù)之差,不受野值影響.
例6 計算樣本的四分位間距
>> X=random('Normal',0,1,100,4);
>> m=iqr(X)
m =
1.3225 1.2730 1.3018 1.2322
〉〉mad
功能:樣本數(shù)據(jù)的平均絕對偏差
格式:y=mad(X)
說明:正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差sigma可以用mad乘以1.3估計
例7 計算樣本數(shù)據(jù)的絕對偏差
>> X=random('F',10,10,100,4);
>> y=mad(X)
y =
0.5717 0.5366 0.6642 0.7936
>> y1=var(X)
y1 =
0.6788 0.6875 0.7599 1.3240
>> y2=y*1.3
y2 =
0.8824 0.8938 0.9879 1.7212
〉〉range
功能:計算樣本極差
格式:y=range(X)
說明:極差對野值敏感
例 8 計算樣本值的極差
>> X=random('F',10,10,100,4);
>> y=range(X)
y =
10.8487 3.5941 4.2697 4.0814
〉〉var
功能:計算樣本方差
格式:y=var(X) y=var(X,1) y=var(X,w)
Var(X)經(jīng)過n-1進行了標(biāo)準(zhǔn)化,Var(X,1)經(jīng)過n進行了標(biāo)準(zhǔn)變化
例 9 計算各類方差
>> X=random('Normal',0,1,100,4);
>> y=var(X)
y =
0.9645 0.8209 0.9595 0.9295
>> y1=var(X,1)
y1 =
0.9548 0.8126 0.9499 0.9202
>> w=[1:1:100];
>> y2=var(X,w)
y2 =
0.9095 0.7529 0.9660 0.9142
〉〉std
功能:樣本的標(biāo)準(zhǔn)差
格式:y=std(X)
說明:經(jīng)過n-1標(biāo)準(zhǔn)化后的標(biāo)準(zhǔn)差
例 10計算隨機樣本的標(biāo)準(zhǔn)差
>> X=random('Normal',0,1,100,4);
>> y=std(X)
y =
0.8685 0.9447 0.9569 0.9977
〉〉cov
功能:協(xié)方差矩陣
格式:C=cov(X) C=cov(x,y) C=cov([x y])
說明:若X為向量,cov(X)返回一個方差標(biāo)量;若X為矩陣,則返回協(xié)方差矩陣;cov(x,y)與cov([x y])相同,x與y的長度相同.
例 11 計算協(xié)方差
>> x=random('Normal',2,4,100,1);
>> y=random('Normal',0,1,100,1);
>> C=cov(x,y)
C =
12.0688 -0.0583
-0.0583 0.8924
處理缺失數(shù)據(jù)的函數(shù)
在對大量數(shù)據(jù)樣本時,常常遇到一些無法確定的或者無法找到確切的值.在這種情況下,用符號"NaN"(not a number )標(biāo)注這樣的數(shù)據(jù).這種情況下,一般的函數(shù)得不到任何信息.
例如 m中包含nan數(shù)據(jù)
>> m=magic(3);
>> m([1 5 9])=[NaN NaN NaN];
>> sum(m)
ans =
NaN NaN NaN
但是通過缺失數(shù)據(jù)的處理,得到有用的信息.
>> nansum(m)
ans =
7 10 13
〉〉nanmax
功能:忽視NaN,求其它數(shù)據(jù)的最大值
格式:m=nanmax(X)
[m,ndx]=nanmax(X)
m=nanmax(a,b)
說明:nanmax(X)返回X中數(shù)據(jù)除nan外的其它的數(shù)據(jù)的最大值,[m,ndx]=nanmax(X)還返回X最大值的序號給ndx.m=nanmax(a,b)返回a或者b的最大值,a,b長度同
>> m=magic(3);
>> m([1 5 9])=[NaN NaN NaN];
>> [m,ndx]=nanmax(m)
m =
4 9 7
ndx =
3 3 2
處理缺失數(shù)據(jù)的常用函數(shù)
Y=nansum(X)
求包含確實數(shù)據(jù)的和
nansum
Y=nanstd(X)
求包含確實數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差
Nanstd
Y=nanmedian(X)
求包含確實數(shù)據(jù)中位數(shù)
Nanmedian
Y=nanmean(X)
求包含確實數(shù)據(jù)的平均值
Nanmean
同上
求包含確實數(shù)據(jù)的最小值
Nanmin
(略)
求包含確實數(shù)據(jù)的最大值
Nanmax
調(diào)用格式
功能
函數(shù)名稱
中心矩 moment
功能:任意階的中心矩
格式:m=moment(X,order)
說明:order為階,函數(shù)本身除以X的長度
例 12 計算樣本函數(shù)的中心矩
>> X=random('Poisson',2,100,4);
>> m=moment(X,1)
m =
0 0 0 0
>> m=moment(X,2)
m =
1.7604 2.0300 1.6336 2.3411
>> m=moment(X,3)
m =
1.3779 2.5500 2.3526 2.2964
百分位數(shù)及其圖形描述
白分位數(shù)圖形可以直觀觀測到樣本的大概中心位置和離散程度,可以對中心趨勢度量和散布度量作補充說明
〉〉prctile
功能:計算樣本的百分位數(shù)
格式:y=prctile(X,p)
說明:計算X中數(shù)據(jù)大于P%的值,P的取值區(qū)間為[0,100],如果X為向量,返回X中P百分位數(shù);X為矩陣,給出一個向量;如果P為向量,則y的第i個行對應(yīng)于X的p(i) 百分位數(shù).例如
>> x=(1:5)'*(1:5)
x =
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20
5 10 15 20 25
>> y=prctile(x,[25,50,75])
y =
1.7500 3.5000 5.2500 7.0000 8.7500
3.0000 6.0000 9.0000 12.0000 15.0000
4.2500 8.5000 12.7500 17.0000 21.2500
做出相應(yīng)的百分位數(shù)的圖形
>> boxplot(x)
5列分位數(shù)構(gòu)造5個盒圖,見下頁.
相關(guān)系數(shù) corrcoef
功能:相關(guān)系數(shù)
格式:R=corrcoef(X)
例13 合金的強度y與含碳量x的樣本如下,試計算r(x,y).
>> X=[41 42.5 45 45.5 45 47.5 49 51 50 55 57.5 59.5;
0.1,0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.22 0.24]';
>> R=corrcoef(X)
R =
1.0000 0.9897
0.9897 1.0000
樣本峰度 kurtosis
功能:樣本峰度
格式:k=kurtosis(X)
說明:峰度為單峰分布區(qū)線"峰的平坦程度"的度量,其定義為
Matlab 工具箱中峰度不采用一般定義(k-3,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰度為0).而是定義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布峰度為3,曲線比正態(tài)分布平坦,峰度大于3,反之,小于3.
例14 計算隨機樣本的峰度
>> X=random('F',10,20,100,4);
>> k=kurtosis(X)
k =
6.5661 5.5851
6.0349 7.0129
樣本偏度 skewness
功能:樣本偏度
格式:y=skewness(X)
說明:偏度是度量樣本圍繞其均值的對稱情況.如果偏度為負(fù),則數(shù)據(jù)分布偏向左邊,反之,偏向右邊.其定義為
>> X=random('F',9,10,100,4);
>> y=skewness(X)
y =
1.0934 1.5513 2.0522 2.9240
自助法 bootstrap
引例:一組來自15個法律學(xué)校的學(xué)生的lsat分?jǐn)?shù) 和gpa進行比較的樣本.
> load lawdata
>> x=[lsat gpa]
x =
576.0000 3.3900
635.0000 3.3000
558.0000 2.8100
578.0000 3.0300
666.0000 3.4400
580.0000 3.0700
555.0000 3.0000
661.0000 3.4300
651.0000 3.3600
605.0000 3.1300
653.0000 3.1200
575.0000 2.7400
545.0000 2.7600
572.0000 2.8800
594.0000 2.9600
繪圖,并進行曲線擬合
>> plot(lsat,gpa,'+')
>> lsline
通過上圖的擬合可以看出,lsat隨著gpa增長而提高,但是我們確信此結(jié)論的程度是多少 曲線只給出了直觀表現(xiàn),沒有量的表示.計算相關(guān)系數(shù)
>> y=corrcoef(lsat,gpa)
y =
1.0000 0.7764
0.7764 1.0000
相關(guān)系數(shù)是0.7764,但是由于樣本容量n=15比較小,我們?nèi)匀徊荒艽_定在統(tǒng)計上相關(guān)的顯著性多大.應(yīng)此,必須采用bootstrp函數(shù)對lsat和gpa樣本來從新采樣,并考察相關(guān)系數(shù)的變化.
>> y1000=bootstrp(1000,'corrcoef',lsat,gpa);
>> hist(y1000(:,2),30)
繪制lsat,gpa和相關(guān)系數(shù)得直方圖如下
結(jié)果顯示,相關(guān)系數(shù)絕大多數(shù)在區(qū)間[0.4,1]內(nèi),表明lsat分?jǐn)?shù)和gpa具有確定的相關(guān)性,這樣的分析,不需要對象關(guān)系數(shù)的概率分布做出很強的假設(shè).
[size=2][color=blue]第4節(jié) 假設(shè)檢驗[/color][/size]
基本概念
H0:零假設(shè),即初始判斷.
H1:備擇假設(shè),也稱對立假設(shè).
Alpha :顯著水平,在小樣本的前提下,不能肯定自己的結(jié)論,所以事先約定,如果觀測到的符合零假設(shè)的樣本值的概率小于alpha,則拒絕零假設(shè).典型的顯著水平取alpha=0.05.如果想減少犯錯誤的可能,可取更小的值.
P-值:在零假設(shè)為真的條件下,觀測給定樣本結(jié)果的概率值.如果Pmu tail=-1——x>x =[119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118];
>> h=ztest(x,115,4)
h =
0
表明,接受H0,認(rèn)為該種汽油的平均價格為115美分.
>> [h,sig,ci]=ztest(x,115,4,0.01,0)
h = 0
sig =
0.8668
ci =
112.8461 117.4539
>> [h,sig,ci]=ztest(x,115,4,0.01,1)
h =0
sig =
0.4334
ci =
113.0693 Inf
>> [h,sig,ci]=ztest(x,115,4,0.01,-1)
h=0
sig =
0.5666
ci =
-Inf 117.2307
Ttest
功能:單一樣本均值的t檢驗
格式:h=ttest(x,m)
h=ttest(x,m,alpha)
[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)
說明:用于正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時對均值的t檢驗.Tail功能與ztest作用一致.
>> x=random('Normal',0,1,100,1);
>> [h,sig,ci]=ttest(x,0,0.01,-1)
h =
0
sig =
0.0648
ci =
-Inf 0.0808
>> [h,sig,ci]=ttest(x,0,0.001,1)
h =
0
sig =
0.9352
ci =
-0.4542 Inf
Signtest
功能:成對樣本的符號檢驗
格式:p=signtest(x,y,alpha)
[p,h]=signtest(x,y,alpha)
說明:p給出兩個配對樣本x和y的中位數(shù)(對于正態(tài)分布,中位數(shù),就是平均值.相等的顯著性概率.X與y的長度相等.Y也可以為標(biāo)量,計算x的中位數(shù)與常數(shù)y之間差異的概率.[p,h]返回結(jié)果h.如果這樣兩個樣本的中位數(shù)之間差幾乎為0,則h=0,否則有顯著差異,則h=1.
>> x=[0 1 0 1 1 1 1 0 1 0];
>> y=[1 1 0 0 0 0 1 1 0 0];
>> [p,h]=signtest(x,y,0.05)
p =
0.6875
h =
0
Signrank
功能:威爾科克符號秩檢驗
格式:p=signrank(x,y,alpha)
[p,h]=signrank(x,y,alpha)
說明:p給出兩個配對樣本x和y的中位數(shù)(對于正態(tài)分布,中位數(shù)和均值等)相等的假設(shè)的顯著性的概率.X與y的長度相同.[p,h]返回假設(shè)檢驗的結(jié)果,如果兩個樣本的中位數(shù)之差極護衛(wèi)零,則h=0;否則,有顯著差異,則h=1.
>> x=random('Normal',0,1,200,1);
>> y=random('Normal',0.1,2,200,1);
>> [p,h]=signrank(x,y,0.05)
p =
0.9757
h =
0
Ranksum
功能:兩個總體一致性的威爾科克秩和的檢驗
格式:p=ranksum(x,y,alpha)
[p,h]=ranksum(x,y,alpha)
說明:p返回兩個總體樣本x和y一致的顯著性概率.X和y的長度可以不同.但長度長的排在前面.[p,h]返回檢驗結(jié)果,如果總體x和y并非明顯不一致,返回h=0,否則,h=1.
>> x=random('Normal',0,2,20,1);
>> y=random('Normal',0.1,4,10,1);
>> [p,h]=ranksum(x,y,0.05)
p =
0.7918
h =
0
[size=2][color=blue]第5節(jié) 統(tǒng)計繪圖[/color][/size]
統(tǒng)計繪圖就是用圖形表達函數(shù),以便直觀地,充分的表現(xiàn)樣本及其統(tǒng)計量的內(nèi)在本質(zhì)性.
Box圖
功能:數(shù)據(jù)樣本的box圖
格式:boxplot(X) boxplot(X,notch) boxplot(X,notch,'sym')
boxplot(X,notch,'sym,vert) boxplot(X,notch,'sym',vert,whis)
說明1:"盒子"的上底和下底間為四分位間距,"盒子"的上下兩條線分別表示樣本的25%和75%分位數(shù)."盒子"中間線為樣本中位數(shù).如果盒子中間線不在盒子中間,表示樣本存在一定的篇度.
虛線貫穿"盒子"上下,表示樣本的其余部分(除非有野值).樣本最大值為虛線頂端,樣本最小值為虛線底端.用"+"表示野值.
"切口"是樣本的置信區(qū)間,卻省時,沒有切口
說明2:notch=0,盒子沒有切口,notch=1,盒子有切口;'sym'為野值標(biāo)記符號,缺省時,"+"表示.Vert=0時候,box圖水平放置,vert=1時,box圖垂直放置.Whis定義虛線長度為內(nèi)四分位間距(IQR)的函數(shù)(缺省時為1.5*IQR),若whis=0,box圖用'sym'規(guī)定的記號顯示盒子外所有數(shù)據(jù).
>> x1=random('Normal',2,1,100,1);
>> x2=random('Normal',1,2,100,1);
>> x=[x1 x2];
>> boxplot(x,1,'*',1,0)
繪圖結(jié)果見下頁
Errorbar 誤差條圖
功能:誤差條圖
格式:errorbar(X,Y,L,U,symbol)
errorbar(X,Y,L)
errorbar(Y,L)
說明:誤差條是距離點(X,Y)上面的長度為U(i) ,下面的長度為L(i) 的直線.X,Y,L,U的長度必須相同.Symbol為一字符 串,可以規(guī)定線條類型,顏色等.
>> U=ones(20,1);
>> L=ones(20,1);
>> errorbar(r1,r2,L,U,'+')
>> r1=random('Poisson',2,10,1);
>>r2=random('Poisson',10,10,1);
>> U=ones(10,1);
>> L=U;
>> errorbar(r1,r2,L,U,'+')
Lsline 繪制最小二乘擬合線
功能:繪制數(shù)據(jù)的最小二乘擬合曲線
格式:lsline
h=lsline
說明:lsline為當(dāng)前坐標(biāo)系中的每一個線性數(shù)據(jù)給出其最小二乘擬合線.
>> y=[2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]';
>> plot(y,'+')
>> lsline
Refcurve 參考多項式
功能:在當(dāng)前圖形中給出多項式擬合曲線
格式:h=refcurve(p)
說明:在當(dāng)前圖形中給出多項式p(系數(shù)向量)的曲線,n階多項式為
y=p1*x^n+p2*x^(n-1)+…+pn*x+p0
則p=[p1 p2 … pn p0]
>> h=[85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356];
>> plot(h,'+')
>> refcurve([-4.9,100,0]) 與50位技術(shù)專家面對面20年技術(shù)見證，附贈技術(shù)全景圖
總結(jié)
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