定義：一個n × n的實對稱矩陣 M 是正定的當且僅當對于所有的非零實系數向量z，都有 zTMz > 0。 正定矩陣判定： 1. 矩陣M的所有的特征值 λi都是正的。根據譜定理，M必然與一個實對角矩陣D相似（也就是說M = P ? 1DP，其中P是幺正矩陣，或者說M在某 個正交基可以表示為一個實對角矩陣）。因此，M是正定陣當且僅當相應的D的對角線上元素都是正數。 2. 半雙線性形式 定義了一個Cn上的內積。實際上，所有Cn上的內積都可看做由某個正定陣通過此種方式得到。 3. M是n個線性無關的n維向量 的Gram矩陣，其中的k為某個正整數。更精確地說，M定義為： 換句話說，M具有A*A的形式，其中A不一定是方陣，但需要是單射的。 4. M的所有順序主子式，也就是順序主子陣的行列式都是正的（西爾維斯特準則）。明確來說，就是考察下列矩陣的行列式： M左上角1× 1的矩陣 M左上角2× 2矩陣 ... M自身。 對于半正定矩陣來說，相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負并不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子： 5. 存在唯一的下三角矩陣 L，其主對角線上的元素全是正的，使得： M = LL * . 其中L * 是L的共軛轉置。 T這一分解被稱為Cholesky分解。 正定矩陣性質： 若M為半正定陣，可以寫作。如果M是正定陣，可以寫作M > 0。這個記法來自泛函分析，其中的正定陣定義了正算子。 對于一般的埃爾米特矩陣，M、N，當且僅當。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關系。類似地，可以定義 M > N。 1. 每個正定陣都是可逆的，它的逆也是正定陣。如果 那么 。 2. 如果M是正定陣，r > 0為正實數，那么 rM 也是正定陣。 如果 M、N 是正定陣，那么和M + N、乘積 MNM 與 NMN 都是正定的。如果 MN = NM，那么 MN 仍是正定陣。 3. 如果M = (mij) > 0 那么主對角線上的系數mii 為正實數。于是有tr(M) > 0。此外還有 4. 矩陣M 是正定陣當且僅當存在唯一的正定陣B > 0 使得 B2 = M。根據其唯一性可以記作B = M1 / 2，稱B 為M 的平方根。對半正定陣也有類似結論。同時，如果M > N > 0 那么 M1 / 2 > N1 / 2 > 0. 5. 如果M,N > 0 那么 ，其中 表示克羅內克乘積。 6. 對矩陣M = (mij),N = (nij)，將兩者同一位置上的系數相乘所得的矩陣記為，即，稱為M 與 N的阿達馬乘積。如果M,N > 0，那么 。如果 M,N 為實系數矩陣，則有如下不等式成立： 7. 設M > 0，N 為埃爾米特矩陣。如果（MN + NM > 0），那么（N > 0）。 8. 如果為實系數矩陣，則。 9. 如果M > 0為實系數矩陣，那么存在δ > 0 使得，其中 I 為單位矩陣。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的正定矩阵（用于SVM的Mercer定理）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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