本文中，矢量場均用箭頭指示，例如

為矢量場， 為標量場。

本文只涉及吳望一《流體力學》第一章中所列的17條微分運算公式，不含積分運算公式。

先把所有公式一并列出，以便查找：

1、

2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、
12、（拉普拉斯算子的定義）
13、（旋度的散度為零）
14、（梯度的旋度為零）
15、
16、
17、

---

下面逐個證明這17條公式。

1、

證明：Nabla算子是線性的。這個顯然成立，過程略。

2、

證明：可以像計算兩函數乘積的微分一樣計算Nabla算子。也就是：

，其中下標c是“視作常量”的意思。在 中， 被視作常量，不參與微分運算，因此可以移到Nabla算子之外，也就是 。類似地 。證畢。

3、

，其中矢量 是矢徑 ，標量 是矢徑長度（注：書中可能把標量r和矢量r搞反了）。

證明：我們先來考察

的x分量，根據梯度的定義，它應該是 ，注意這里 是一個標量場， 是一個標量到標量的函數。那么，根據復合函數的微分運算法則，我們有： 。

這樣把三個分量加起來就是：

，顯然，這個其實也就是： .

后面那個式子，就是把函數

換了個名字叫 （它和第一問中的 毫無關系），并且把用于產生函數參數的標量場取作矢徑長度 ，我們可以輕易計算出 ，對其他兩個坐標軸有類似推導，總之可以得到 ，證畢。

4、

證明：和梯度一樣，散度算子也是線性的。略。

5、

證明：先展開，也就是

，其中 就代表矢量場 的 分量。

然后可以使用函數乘積的微分運算規則，比如說

，把后面兩項也作類似展開，那就是：

合并一下就是：

前面一項就是

，后面那項就是 .

有一個簡便的理解：也可以采用函數乘積微分運算法則寫成

，前一項自然沒什么問題，就是 ，而后一項，Nabla算子要和標量場 作用，怎么作用呢，那就只有 ，再和 做點積了。

6、

證明：這個同樣適用乘積的運算法則，也就是

而，“先叉積再點積”就是標量三重積（混合積），參與運算的是三個矢量場，結果是一個 標量場，這個標量場等于一個行列式：

在做運算的時候，可以把Nabla算子看作一個矢量，像這樣用行列式展開也就是：

其中

的意思就是“視作常量的 的 分量”。而Nabla算子的三個分量就是沿三個坐標的偏導數，比如 .

然后我們試圖把上面兩個行列式寫回三重積的形式。我們希望把Nabla算子放在第二項，這就需要按循環順序重新排列三行，這不會改變行列式的值：

但這樣還不行，因為Nabla算子不能和常量作用，

這是無意義的。所以需要交換第一個行列式的1，3行，這樣會導致行列式變號：

當然，最終結果里的

下標沒有意義，可以略去，因為我們并沒有計算它的微分。也就是：

，證畢。

7、

證明：和梯度、散度一樣，旋度算子也是線性的。

8、

證明：我們用旋度的行列式定義將左端展開為

類似用乘積微分法則展開之：

先來看第一項，這個

不參與微分運算，而且是一個標量場，因此完全可以提到外邊，則行列式變成：

再來看第二項。我們可以觀察到，在行列式展開的每一項里面，

的各個分量都不參與微分運算，所有微分運算都在 上發生，而 又是一個標量場，所以可以把它“提”到第二行，也就是：

到這里你可以發現，第二行的

是啥？那不就是 么，整個行列式也就等于 ，這樣把兩項加起來，得到 ，證畢。

當然和第5題一樣，也有一個比較簡便的理解方式：

，其中 ， ，后一項也是因為標量場 只能做梯度，所以需要把叉乘“保留”到后面。這類似第5題里面的 .

9、

這里注意，矢量點積Nabla算子的結果仍然是一個微分算子，比如

，而后如果把這個算子作用于矢量場 ，得到的結果仍然是一個矢量，每個分量單獨計算，比如它的x分量就是 。可以發現，這個微分算子 并不會改變作用對象的維數，它作用在矢量場上得到一個矢量場，作用在標量場上還得到一個標量場。所以在我們可以把這個微分算子認為是一個“標量”。

計算這個需要用到向量三重積（矢量三重積）公式：

，注意后面兩項都是矢量乘標量。可以用口訣“bac-cab”（音back-cab）記憶。

使用乘積微分法則：

用向量三重積公式展開第一項：

這個

該如何理解呢？理解方法就是， 不參與微分運算，它和 點積得到的就是一個微分算子，作用在 上。也可以理解為，利用乘法交換律，調換一下順序：

省略了

代表常量的下標 ，同時省略了不必要的括號。

然后再來展開第二項，也需要類似調換一下順序：

把兩項起來就得到：

證畢。

10、

證明：還是先用乘積微分法則展開：

右邊兩項怎么展開呢？需要用一下向量三重積。用向量三重積展開

得到：

第一個等號右端給

加常量下標 的原因，是它并沒有在 中參與微分運算。

把等式右端的

移到左端，我們就得到了：

類似地也有：

加起來就得到：

證畢。

11、

這里面的

意思是矢量 模長的平方，也就是

證明方法很簡單，在上面的第10題里取

即可。

然后這個式子可以寫作

12、（拉普拉斯算子的定義）

證明：

13、（旋度的散度為零）

證明：這是

三個矢量的混合積

等于零的原因是行列式中兩行相同。

14、（梯度的旋度為零）

證明：

觀察可以發現，它的

分量為

類似地，

分量也為零。

15、

證明：用向量三重積展開得到

當然最后一項就是

.

16、

證明：在第5題中我們得到

令這里面的

，則有：

其中

證畢

17、

證明：

而根據乘積微分法則，

因此

在其中用兩次第16題的結果，就得到

證畢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的asp从后台调出的公式怎么参与运算_吴望一《流体力学》第一章中微分运算公式的初等证明...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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